Страница 185 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

570. Начальная масса тела $(m_0)$ при движении этого тела со скоростью $v$ меняется и достигает значения $m$, вычисляемого по формуле $m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, где $c$ — скорость света, $c \approx 3 \cdot 10^5$ км/с.

Как изменится начальная масса тела при движении со скоростью, равной половине величины скорости света?

Чтобы определить, как изменится масса тела, воспользуемся формулой для релятивистской массы, приведенной в условии задачи:

$m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

Здесь $m_0$ — это начальная масса тела (масса покоя), $m$ — масса тела при движении со скоростью $v$, а $c$ — скорость света.

По условию, скорость тела равна половине величины скорости света. Запишем это соотношение:

$v = \frac{1}{2}c$ или $v = \frac{c}{2}$

Теперь подставим это значение скорости $v$ в исходную формулу для массы:

$m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{(\frac{c}{2})^2}{c^2}}}$

Далее проведем упрощение выражения в знаменателе. Сначала возведем в квадрат скорость $v$:

$(\frac{c}{2})^2 = \frac{c^2}{4}$

Подставим результат обратно в формулу:

$m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{c^2/4}{c^2}}}$

Сократим $c^2$ в дроби под корнем:

$m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{1}{4}}}$

Вычислим значение подкоренного выражения:

$m = \frac{m_0}{\sqrt{\frac{3}{4}}}$

Извлечем квадратный корень из знаменателя:

$m = \frac{m_0}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

Чтобы найти итоговое значение массы $m$, разделим $m_0$ на полученную дробь (что эквивалентно умножению на перевернутую дробь):

$m = m_0 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}$

Для более стандартной формы записи избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$m = m_0 \cdot \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = m_0 \cdot \frac{2\sqrt{3}}{3}$

Таким образом, масса тела $m$ при движении со скоростью, равной половине скорости света, будет в $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ раз больше начальной массы $m_0$. Приблизительное значение этого множителя составляет $1.155$.

Ответ: При движении со скоростью, равной половине величины скорости света, масса тела увеличится в $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ раза.

571. Вес тела изменяется прямо пропорционально его расстоянию от центра Земли, если тело находится внутри Земли, и обратно пропорционально квадрату расстояния до центра Земли, если оно находится над поверхностью Земли.

1) Схематически изобразить график изменения веса тела как функции его расстояния от центра Земли, предполагая, что на поверхности Земли вес тела равен 100 кг.

2) На каком расстоянии от центра Земли (но над её поверхностью) тело будет иметь тот же вес, что и на расстоянии 1600 км от центра Земли? (Принять диаметр Земли равным 12 800 км.)

Для решения задачи введем следующие обозначения:
$P$ – вес тела в кг (по условию задачи вес измеряется в килограммах, хотя это единица массы; будем следовать условию).
$r$ – расстояние от центра Земли в км.
$R$ – радиус Земли.
$P_0$ – вес тела на поверхности Земли, $P_0 = 100$ кг.

Из условия известно, что диаметр Земли равен 12 800 км. Следовательно, радиус Земли: $R = \frac{12800 \text{ км}}{2} = 6400 \text{ км}$

1) Схематически изобразить график изменения веса тела как функции его расстояния от центра Земли, предполагая, что на поверхности Земли вес тела равен 100 кг.

Разобьем задачу на два случая в соответствии с условием.

Случай 1: Тело находится внутри Земли ($0 \le r \le R$)
Вес тела ($P_{вн}$) прямо пропорционален расстоянию от центра Земли ($r$). Это можно записать в виде формулы: $P_{вн}(r) = k_1 \cdot r$, где $k_1$ – коэффициент пропорциональности. Чтобы найти $k_1$, воспользуемся известным значением веса на поверхности Земли, где $r=R=6400$ км, а вес $P(R) = P_0 = 100$ кг. $100 = k_1 \cdot 6400$ $k_1 = \frac{100}{6400} = \frac{1}{64}$ Таким образом, для $0 \le r \le 6400$ км функция веса имеет вид: $P_{вн}(r) = \frac{1}{64}r$ График этой функции – прямая линия, проходящая через начало координат (0,0) и точку (6400, 100).

Случай 2: Тело находится над поверхностью Земли ($r > R$)
Вес тела ($P_{внеш}$) обратно пропорционален квадрату расстояния до центра Земли ($r$). Это можно записать в виде формулы: $P_{внеш}(r) = \frac{k_2}{r^2}$, где $k_2$ – другой коэффициент пропорциональности. Для нахождения $k_2$ снова используем данные на поверхности ($r=R=6400$ км, $P(R) = 100$ кг). $100 = \frac{k_2}{6400^2}$ $k_2 = 100 \cdot 6400^2 = 100 \cdot (6.4 \cdot 10^3)^2 = 100 \cdot 40.96 \cdot 10^6 = 4.096 \cdot 10^9$ Таким образом, для $r > 6400$ км функция веса имеет вид: $P_{внеш}(r) = \frac{100 \cdot 6400^2}{r^2} = 100 \left(\frac{6400}{r}\right)^2$ График этой функции – ветвь гиперболы, убывающая с ростом $r$ и асимптотически приближающаяся к нулю.

Схематический график: Оси координат: горизонтальная ось – расстояние $r$ (в км), вертикальная ось – вес $P$ (в кг).

• От $r=0$ до $r=6400$ км график представляет собой прямую линию, идущую из точки (0, 0) в точку (6400, 100).
• При $r=6400$ км вес достигает своего максимального значения – 100 кг.
• При $r > 6400$ км график представляет собой кривую, которая начинается в точке (6400, 100) и плавно убывает, стремясь к нулю по мере увеличения $r$.

Ответ: График зависимости веса тела от расстояния до центра Земли представляет собой ломаную линию, состоящую из отрезка прямой от (0, 0) до (6400, 100) и ветви гиперболы, убывающей от точки (6400, 100) при $r \to \infty$.

2) На каком расстоянии от центра Земли (но над её поверхностью) тело будет иметь тот же вес, что и на расстоянии 1600 км от центра Земли?

Шаг 1: Найдем вес тела на расстоянии 1600 км от центра Земли.
Поскольку $1600 \text{ км} < R = 6400 \text{ км}$, тело находится внутри Земли. Используем формулу для веса внутри Земли: $P_{вн}(r) = \frac{1}{64}r$ Подставим $r = 1600$ км: $P_{вн}(1600) = \frac{1}{64} \cdot 1600 = \frac{1600}{64} = 25 \text{ кг}$

Шаг 2: Найдем расстояние над поверхностью Земли, где вес тела также равен 25 кг.
Теперь мы ищем такое расстояние $r_{внеш} > R$, что $P_{внеш}(r_{внеш}) = 25$ кг. Используем формулу для веса над поверхностью Земли: $P_{внеш}(r) = \frac{100 \cdot 6400^2}{r^2}$ Приравняем это выражение к 25 кг и решим уравнение относительно $r_{внеш}$: $25 = \frac{100 \cdot 6400^2}{r_{внеш}^2}$ $r_{внеш}^2 = \frac{100 \cdot 6400^2}{25}$ $r_{внеш}^2 = 4 \cdot 6400^2$ Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения: $r_{внеш} = \sqrt{4 \cdot 6400^2} = 2 \cdot 6400 = 12800 \text{ км}$ Это расстояние от центра Земли. Условие, что тело находится над поверхностью ($r_{внеш} > R$), выполняется, так как $12800 \text{ км} > 6400 \text{ км}$.

Ответ: На расстоянии 12 800 км от центра Земли тело будет иметь тот же вес, что и на расстоянии 1600 км от центра.

572. Вес тела на высоте $h$ от поверхности Земли можно найти по формуле $p_h = \left(\frac{R}{R+h}\right)^2 \cdot p_0$, где $p_h$ — вес на расстоянии $h$ км над поверхностью Земли, $R$ — радиус Земли (принять равным 6400 км), $p_0$ — вес тела на уровне моря, $h$ — расстояние от поверхности Земли.

1) Изобразить схематически график изменения веса тела человека при подъёме на расстояние, равное $0, R, 2R, 3R, \ldots$, если его вес на уровне моря равен 50 кг.

2) На какой высоте над поверхностью Земли вес тела уменьшится вдвое?

В задаче рассматривается зависимость веса тела от высоты над поверхностью Земли, описываемая формулой $P_h = \left(\frac{R}{R+h}\right)^2 \cdot P_0$.

Здесь:

• $P_h$ — вес на высоте $h$ над поверхностью Земли.
• $P_0$ — вес тела на уровне моря (в данном случае $P_0 = 50$ кг).
• $R$ — радиус Земли (принят равным $6400$ км).
• $h$ — высота над поверхностью Земли.

1) Изобразить схематически график изменения веса тела человека при подъёме на расстояние, равное 0, R, 2R, 3R, ..., если его вес на уровне моря равен 50 кг

Для построения схематического графика рассчитаем контрольные точки, то есть значения веса $P_h$ на заданных высотах.

При $h=0$ (на поверхности Земли):
$P_{h=0} = \left(\frac{R}{R+0}\right)^2 \cdot P_0 = 1^2 \cdot 50 = 50$ кг.
Координаты точки: $(0; 50)$.

При $h=R$ (на высоте, равной радиусу Земли):
$P_{h=R} = \left(\frac{R}{R+R}\right)^2 \cdot P_0 = \left(\frac{R}{2R}\right)^2 \cdot 50 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot 50 = \frac{1}{4} \cdot 50 = 12,5$ кг.
Координаты точки: $(R; 12,5)$.

При $h=2R$:
$P_{h=2R} = \left(\frac{R}{R+2R}\right)^2 \cdot P_0 = \left(\frac{R}{3R}\right)^2 \cdot 50 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 \cdot 50 = \frac{1}{9} \cdot 50 \approx 5,56$ кг.
Координаты точки: $(2R; \approx 5,56)$.

При $h=3R$:
$P_{h=3R} = \left(\frac{R}{R+3R}\right)^2 \cdot P_0 = \left(\frac{R}{4R}\right)^2 \cdot 50 = \left(\frac{1}{4}\right)^2 \cdot 50 = \frac{1}{16} \cdot 50 = 3,125$ кг.
Координаты точки: $(3R; 3,125)$.

Схематический график — это кривая, которая начинается на оси веса (ось ординат) в точке $(0; 50)$. С увеличением высоты $h$ (ось абсцисс) вес плавно и нелинейно уменьшается, асимптотически приближаясь к нулю (к оси высот).

Ответ: Ключевые точки для построения графика (высота; вес в кг): $(0; 50)$, $(R; 12,5)$, $(2R; \approx 5,56)$, $(3R; 3,125)$. График представляет собой гладкую убывающую кривую, которая начинается в точке $(0; 50)$ и асимптотически стремится к оси высот.

2) На какой высоте над поверхностью Земли вес тела уменьшится вдвое?

Чтобы найти искомую высоту $h$, необходимо решить уравнение для условия, что вес на этой высоте станет равен половине веса на уровне моря: $P_h = \frac{1}{2}P_0$.

Подставим это условие в исходную формулу:

$\frac{1}{2}P_0 = \left(\frac{R}{R+h}\right)^2 \cdot P_0$

Сократим обе части уравнения на $P_0$ (поскольку вес не равен нулю):

$\frac{1}{2} = \left(\frac{R}{R+h}\right)^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Так как $R$ и $h$ являются положительными физическими величинами, мы рассматриваем только положительный корень:

$\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{R}{R+h}$

$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{R}{R+h}$

Теперь выразим $h$ из полученного уравнения:

$R+h = R\sqrt{2}$

$h = R\sqrt{2} - R = R(\sqrt{2}-1)$

Подставим числовые значения $R = 6400$ км и $\sqrt{2} \approx 1,4142$:

$h \approx 6400 \cdot (1,4142 - 1) = 6400 \cdot 0,4142 = 2650,88$ км.

Округлим результат до целого значения.

Ответ: Вес тела уменьшится вдвое на высоте $h = R(\sqrt{2}-1) \approx 2651$ км над поверхностью Земли.