Страница 183 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

550. Изобразить схематически график функции, указать её область определения и множество значений:

1) $y = x^6$;

2) $y = x^5$;

3) $y = x^{11}$;

4) $y = x^{-1}$;

5) $y = x^{-4}$.

1) $y=x^6$

Это степенная функция с натуральным четным показателем степени $n=6$.

Область определения: Функция определена для всех действительных чисел, так как любое число можно возвести в шестую степень.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений: Поскольку показатель степени $6$ является четным числом, результат возведения любого действительного числа (кроме нуля) в эту степень будет положительным. При $x=0$, $y=0$. Таким образом, функция принимает только неотрицательные значения.
$E(y) = [0; +\infty)$.

Схематический график:
Функция является четной, так как $y(-x) = (-x)^6 = x^6 = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (OY).
График проходит через точки $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(-1; 1)$.
График напоминает параболу, но его ветви при $|x| > 1$ поднимаются круче, чем у параболы $y=x^2$, а в интервале $(-1; 1)$ он более пологий (ближе прижат к оси абсцисс). Ветви направлены вверх.

Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Множество значений: $E(y) = [0; +\infty)$. График функции — кривая, похожая на параболу с вершиной в начале координат, симметричная относительно оси OY, с ветвями, направленными вверх.

2) $y=x^5$

Это степенная функция с натуральным нечетным показателем степени $n=5$.

Область определения: Функция определена для всех действительных чисел.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений: Поскольку показатель степени $5$ является нечетным числом, функция может принимать как положительные, так и отрицательные значения, а также ноль. Множеством значений является вся числовая прямая.
$E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Схематический график:
Функция является нечетной, так как $y(-x) = (-x)^5 = -x^5 = -y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно начала координат.
График проходит через точки $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(-1; -1)$.
График похож на кубическую параболу $y=x^3$. Он расположен в I и III координатных четвертях. При $|x| > 1$ ветви графика растут быстрее, чем у $y=x^3$.

Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Множество значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$. График функции — кривая, проходящая через начало координат, симметричная относительно него и расположенная в I и III координатных четвертях.

3) $y=x^{11}$

Это степенная функция с натуральным нечетным показателем степени $n=11$.

Область определения: Функция определена для всех действительных чисел.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений: Показатель степени $11$ — нечетный, поэтому функция может принимать любые действительные значения.
$E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Схематический график:
Функция является нечетной ($y(-x) = (-x)^{11} = -x^{11} = -y(x)$), график симметричен относительно начала координат.
График проходит через точки $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(-1; -1)$.
График очень похож на график $y=x^5$, но рост при $|x| > 1$ еще более резкий (ветви круче), а в интервале $(-1; 1)$ график еще сильнее прижат к оси абсцисс. Расположен в I и III координатных четвертях.

Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Множество значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$. График — кривая, симметричная относительно начала координат, расположенная в I и III четвертях, похожая на график $y=x^5$, но с более крутыми ветвями.

4) $y=x^{-1}$

Это степенная функция с целым отрицательным нечетным показателем. Ее можно записать как $y = \frac{1}{x}$.

Область определения: Функция не определена в точке, где знаменатель равен нулю, то есть при $x=0$.
$D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Множество значений: Дробь $\frac{1}{x}$ не может быть равна нулю ни при каком значении $x$. Она может принимать любые другие действительные значения.
$E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Схематический график:
Графиком является гипербола.
Функция нечетная ($y(-x) = \frac{1}{-x} = -y(x)$), график симметричен относительно начала координат.
Ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях.
Оси координат являются асимптотами для графика: ось OY ($x=0$) — вертикальная асимптота, ось OX ($y=0$) — горизонтальная асимптота.

Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Множество значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. График — гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях и с асимптотами в виде осей координат.

5) $y=x^{-4}$

Это степенная функция с целым отрицательным четным показателем. Ее можно записать как $y = \frac{1}{x^4}$.

Область определения: Функция не определена в точке, где знаменатель $x^4$ равен нулю, то есть при $x=0$.
$D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Множество значений: Знаменатель $x^4$ всегда положителен для любого $x \neq 0$. Следовательно, значение функции $y = \frac{1}{x^4}$ всегда будет строго положительным.
$E(y) = (0; +\infty)$.

Схематический график:
Функция четная ($y(-x) = \frac{1}{(-x)^4} = \frac{1}{x^4} = y(x)$), график симметричен относительно оси ординат (OY).
Ветви графика расположены в I и II координатных четвертях.
Оси координат являются асимптотами: ось OY ($x=0$) — вертикальная асимптота, ось OX ($y=0$) — горизонтальная асимптота.
График проходит через точки $(1; 1)$ и $(-1; 1)$.

Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Множество значений: $E(y) = (0; +\infty)$. График — кривая с двумя ветвями в I и II координатных четвертях, симметричная относительно оси OY, с асимптотами в виде осей координат.

551. Выяснить, является ли функция возрастающей при $x > 0$:

1) $y = -x^4$;

2) $y = x^{15}$;

3) $y = x^{-3}$.

Чтобы выяснить, является ли функция возрастающей на заданном промежутке, можно найти ее производную и определить знак производной на этом промежутке. Функция является возрастающей, если ее производная $y'(x) > 0$ для всех значений $x$ из этого промежутка. В данной задаче мы рассматриваем промежуток $x > 0$, то есть $(0; +\infty)$.

1) $y = -x^4$

Найдем производную данной функции по правилу дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$: $y' = (-x^4)' = -4x^3$. Теперь определим знак производной на промежутке $x > 0$. Если $x$ — положительное число, то $x^3$ также будет положительным. Тогда произведение $-4 \cdot x^3$ будет отрицательным, так как мы умножаем отрицательное число на положительное. Следовательно, $y' = -4x^3 < 0$ при $x > 0$. Поскольку производная функции отрицательна на всем промежутке $(0; +\infty)$, функция на этом промежутке убывает.

Ответ: нет, не является (функция убывает).

2) $y = x^{15}$

Найдем производную функции: $y' = (x^{15})' = 15x^{14}$. Определим знак производной при $x > 0$. Если $x$ — положительное число, то $x^{14}$ также будет положительным (любое положительное число в четной степени положительно). Произведение $15 \cdot x^{14}$ будет положительным, так как мы умножаем положительное число на положительное. Следовательно, $y' = 15x^{14} > 0$ при $x > 0$. Поскольку производная функции положительна на всем промежутке $(0; +\infty)$, функция на этом промежутке является возрастающей.

Ответ: да, является.

3) $y = x^{-3}$

Найдем производную функции: $y' = (x^{-3})' = -3x^{-3-1} = -3x^{-4}$. Функцию производной можно переписать в виде дроби: $y' = -\frac{3}{x^4}$. Определим знак производной при $x > 0$. Если $x$ — положительное число, то $x^4$ будет положительным. Тогда дробь $\frac{3}{x^4}$ также будет положительной. Знак "минус" перед дробью делает все выражение отрицательным. Следовательно, $y' = -\frac{3}{x^4} < 0$ при $x > 0$. Поскольку производная функции отрицательна на всем промежутке $(0; +\infty)$, функция на этом промежутке убывает.

Ответ: нет, не является (функция убывает).

552. Выяснить, является ли функция ограниченной сверху (снизу):

1) $y = x^8$;

2) $y = -x^{16}$;

3) $y = x^{-2}$.

Чтобы выяснить, является ли функция ограниченной сверху или снизу, необходимо проанализировать ее множество значений.

Определение: Функция $f(x)$ называется ограниченной сверху на своей области определения, если существует такое число $M$, что для всех допустимых значений $x$ выполняется неравенство $f(x) \le M$.

Определение: Функция $f(x)$ называется ограниченной снизу на своей области определения, если существует такое число $m$, что для всех допустимых значений $x$ выполняется неравенство $f(x) \ge m$.

1) $y = x^8$

Это степенная функция с четным натуральным показателем. Область определения функции — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Поскольку показатель степени 8 — четное число, для любого действительного значения $x$ результат возведения в степень будет неотрицательным: $x^8 \ge 0$.

Ограниченность снизу: Так как для любого $x$ выполняется неравенство $y = x^8 \ge 0$, функция ограничена снизу. В качестве нижней границы можно взять число 0. Наименьшее значение функции $y_{min} = 0$ достигается при $x=0$.

Ограниченность сверху: При неограниченном увеличении $x$ (например, $x \to +\infty$), значение $y = x^8$ также неограниченно возрастает ($y \to +\infty$). Это означает, что не существует такого числа $M$, которое было бы больше или равно всем значениям функции. Следовательно, функция не ограничена сверху.

Ответ: функция ограничена снизу, но не ограничена сверху.

2) $y = -x^{16}$

Это степенная функция с четным натуральным показателем, взятая со знаком минус. Область определения — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Так как показатель 16 — четное число, выражение $x^{16}$ всегда неотрицательно: $x^{16} \ge 0$. Умножая на -1, получаем, что $y = -x^{16} \le 0$ для любого $x$.

Ограниченность сверху: Поскольку для любого $x$ выполняется неравенство $y = -x^{16} \le 0$, функция ограничена сверху. В качестве верхней границы можно взять число 0. Наибольшее значение функции $y_{max} = 0$ достигается при $x=0$.

Ограниченность снизу: При неограниченном увеличении $x$ по модулю (например, $x \to +\infty$ или $x \to -\infty$), значение $x^{16}$ стремится к $+\infty$, а $y = -x^{16}$ стремится к $-\infty$. Это означает, что не существует такого числа $m$, которое было бы меньше или равно всем значениям функции. Следовательно, функция не ограничена снизу.

Ответ: функция ограничена сверху, но не ограничена снизу.

3) $y = x^{-2}$

Данную функцию можно представить в виде $y = \frac{1}{x^2}$.

Область определения функции — все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю. $x^2 = 0$ при $x=0$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Для любого $x$ из области определения знаменатель $x^2$ является строго положительным числом ($x^2 > 0$). Следовательно, и сама дробь $y = \frac{1}{x^2}$ будет всегда строго положительной.

Ограниченность снизу: Так как для любого $x \ne 0$ выполняется неравенство $y = \frac{1}{x^2} > 0$, функция ограничена снизу. В качестве нижней границы можно взять число 0.

Ограниченность сверху: Рассмотрим поведение функции при $x$, стремящемся к 0. В этом случае знаменатель $x^2$ также стремится к 0, оставаясь положительным, а значение дроби $y = \frac{1}{x^2}$ неограниченно возрастает ($y \to +\infty$). Следовательно, функция не ограничена сверху.

Ответ: функция ограничена снизу, но не ограничена сверху.

553. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке:

1) $y = x^4, x \in [-1; 2];$

2) $y = x^7, x \in [-2; 3];$

3) $y = x^{-1}, x \in [-3; -1];$

4) $y = x^{-2}, x \in [1; 4].$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке необходимо:

1. Найти производную функции.
2. Найти критические точки функции, решив уравнение $y' = 0$.
3. Выбрать критические точки, принадлежащие данному отрезку.
4. Вычислить значения функции в этих критических точках и на концах отрезка.
5. Сравнить полученные значения и выбрать из них наибольшее и наименьшее.

1)

Дана функция $y = x^4$ на отрезке $x \in [-1; 2]$.

1. Находим производную функции: $y' = (x^4)' = 4x^3$.

2. Находим критические точки: $4x^3 = 0$, откуда $x = 0$.

3. Критическая точка $x=0$ принадлежит отрезку $[-1; 2]$.

4. Вычисляем значения функции в критической точке и на концах отрезка:

• $y(-1) = (-1)^4 = 1$
• $y(0) = 0^4 = 0$
• $y(2) = 2^4 = 16$

5. Сравнивая значения $1$, $0$ и $16$, находим, что наименьшее значение функции равно $0$, а наибольшее равно $16$.

Ответ: Наименьшее значение функции на отрезке $[-1; 2]$ равно $0$ (достигается при $x=0$), наибольшее значение равно $16$ (достигается при $x=2$).

2)

Дана функция $y = x^7$ на отрезке $x \in [-2; 3]$.

1. Находим производную функции: $y' = (x^7)' = 7x^6$.

2. Находим критические точки: $7x^6 = 0$, откуда $x = 0$.

3. Критическая точка $x=0$ принадлежит отрезку $[-2; 3]$.

4. Вычисляем значения функции в критической точке и на концах отрезка:

• $y(-2) = (-2)^7 = -128$
• $y(0) = 0^7 = 0$
• $y(3) = 3^7 = 2187$

5. Сравнивая значения $-128$, $0$ и $2187$, находим, что наименьшее значение функции равно $-128$, а наибольшее равно $2187$.

Ответ: Наименьшее значение функции на отрезке $[-2; 3]$ равно $-128$ (достигается при $x=-2$), наибольшее значение равно $2187$ (достигается при $x=3$).

3)

Дана функция $y = x^{-1} = \frac{1}{x}$ на отрезке $x \in [-3; -1]$.

1. Находим производную функции: $y' = (x^{-1})' = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.

2. Уравнение $y' = 0$, то есть $-\frac{1}{x^2} = 0$, не имеет решений. Следовательно, у функции нет критических точек.

3. Поскольку функция непрерывна на отрезке $[-3; -1]$ и не имеет на нем критических точек, свои наибольшее и наименьшее значения она принимает на концах этого отрезка.

4. Вычисляем значения функции на концах отрезка:

• $y(-3) = (-3)^{-1} = -\frac{1}{3}$
• $y(-1) = (-1)^{-1} = -1$

5. Сравнивая значения $-\frac{1}{3}$ и $-1$, находим, что наименьшее значение функции равно $-1$, а наибольшее равно $-\frac{1}{3}$.

Ответ: Наименьшее значение функции на отрезке $[-3; -1]$ равно $-1$ (достигается при $x=-1$), наибольшее значение равно $-\frac{1}{3}$ (достигается при $x=-3$).

4)

Дана функция $y = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$ на отрезке $x \in [1; 4]$.

1. Находим производную функции: $y' = (x^{-2})' = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$.

2. Уравнение $y' = 0$, то есть $-\frac{2}{x^3} = 0$, не имеет решений. Следовательно, у функции нет критических точек.

3. Функция непрерывна на отрезке $[1; 4]$ и не имеет на нем критических точек, значит, наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах отрезка.

4. Вычисляем значения функции на концах отрезка:

• $y(1) = 1^{-2} = \frac{1}{1^2} = 1$
• $y(4) = 4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}$

5. Сравнивая значения $1$ и $\frac{1}{16}$, находим, что наименьшее значение функции равно $\frac{1}{16}$, а наибольшее равно $1$.

Ответ: Наименьшее значение функции на отрезке $[1; 4]$ равно $\frac{1}{16}$ (достигается при $x=4$), наибольшее значение равно $1$ (достигается при $x=1$).

554. С помощью свойств степенной функции сравнить с единицей число:

1) $(0,7)^8$;

2) $(1,02)^4$;

3) $(1,03)^7$;

4) $(0,75)^5$;

5) $(1,3)^{-2}$;

6) $(0,8)^{-1}$.

Для решения задачи воспользуемся свойствами степенной функции $y=a^x$. Основное правило для сравнения с единицей зависит от основания степени $a$ и знака показателя $x$.

Свойство 1: Если основание степени больше единицы ($a > 1$):
- при положительном показателе ($x > 0$) результат будет больше единицы ($a^x > 1$);
- при отрицательном показателе ($x < 0$) результат будет меньше единицы ($a^x < 1$).

Свойство 2: Если основание степени находится в интервале от 0 до 1 ($0 < a < 1$):
- при положительном показателе ($x > 0$) результат будет меньше единицы ($a^x < 1$);
- при отрицательном показателе ($x < 0$) результат будет больше единицы ($a^x > 1$).

В любом случае, $a^0 = 1$ (при $a \neq 0$) и $1^x = 1$.

1) $(0,7)^8$

Основание степени $a = 0,7$. Так как основание находится в интервале $0 < 0,7 < 1$, а показатель степени $x = 8$ положителен ($8 > 0$), то по свойству 2 значение выражения будет меньше 1.

Ответ: $(0,7)^8 < 1$.

2) $(1,02)^4$

Основание степени $a = 1,02$. Так как основание больше 1 ($1,02 > 1$), а показатель степени $x = 4$ положителен ($4 > 0$), то по свойству 1 значение выражения будет больше 1.

Ответ: $(1,02)^4 > 1$.

3) $(1,03)^7$

Основание степени $a = 1,03$. Так как основание больше 1 ($1,03 > 1$), а показатель степени $x = 7$ положителен ($7 > 0$), то по свойству 1 значение выражения будет больше 1.

Ответ: $(1,03)^7 > 1$.

4) $(0,75)^5$

Основание степени $a = 0,75$. Так как основание находится в интервале $0 < 0,75 < 1$, а показатель степени $x = 5$ положителен ($5 > 0$), то по свойству 2 значение выражения будет меньше 1.

Ответ: $(0,75)^5 < 1$.

5) $(1,3)^{-2}$

Основание степени $a = 1,3$. Так как основание больше 1 ($1,3 > 1$), а показатель степени $x = -2$ отрицателен ($-2 < 0$), то по свойству 1 значение выражения будет меньше 1.
Можно также преобразовать выражение: $(1,3)^{-2} = \frac{1}{(1,3)^2}$. Поскольку $(1,3)^2 > 1$, то обратная величина $\frac{1}{(1,3)^2}$ будет меньше 1.

Ответ: $(1,3)^{-2} < 1$.

6) $(0,8)^{-1}$

Основание степени $a = 0,8$. Так как основание находится в интервале $0 < 0,8 < 1$, а показатель степени $x = -1$ отрицателен ($-1 < 0$), то по свойству 2 значение выражения будет больше 1.
Можно также преобразовать выражение: $(0,8)^{-1} = \frac{1}{0,8} = \frac{10}{8} = 1,25$. Так как $1,25 > 1$, то исходное число больше 1.

Ответ: $(0,8)^{-1} > 1$.

555. Сравнить значения выражений:

1) $(0,35)^8$ и $(-5,4)^8$;

2) $(-\frac{11}{17})^5$ и $(-\frac{6}{13})^5$;

3) $(1-\sqrt{5})^7$ и $(\sqrt{3}-1)^7$;

4) $(\sqrt{3}+1)^{10}$ и $(\sqrt{2}+2)^{10}$.

1) Сравнить $(0,35)^8$ и $(-5,4)^8$.

Поскольку показатель степени 8 является четным числом, то любое ненулевое число в этой степени будет положительным. В частности, $(-5,4)^8 = |-5,4|^8 = (5,4)^8$. Теперь задача сводится к сравнению $(0,35)^8$ и $(5,4)^8$.

Рассмотрим степенную функцию $y = x^8$. Для положительных значений аргумента ($x > 0$) эта функция является возрастающей. Это означает, что для любых $a > b > 0$ будет выполняться неравенство $a^8 > b^8$.

Сравним основания степеней: $0,35$ и $5,4$. Очевидно, что $5,4 > 0,35$. Так как основания положительны и $5,4 > 0,35$, то $(5,4)^8 > (0,35)^8$. Заменив $(5,4)^8$ на исходное выражение $(-5,4)^8$, получаем итоговое неравенство.

Ответ: $(0,35)^8 < (-5,4)^8$.

2) Сравнить $(-\frac{11}{17})^5$ и $(-\frac{6}{13})^5$.

Показатель степени 5 является нечетным числом. Степенная функция $y = x^5$ является возрастающей на всей числовой оси. Это означает, что для любых $a > b$ будет выполняться неравенство $a^5 > b^5$. Таким образом, чтобы сравнить значения выражений, достаточно сравнить их основания: $-\frac{11}{17}$ и $-\frac{6}{13}$.

Сначала сравним модули этих чисел, то есть дроби $\frac{11}{17}$ и $\frac{6}{13}$. Приведем их к общему знаменателю: $17 \cdot 13 = 221$. $\frac{11}{17} = \frac{11 \cdot 13}{17 \cdot 13} = \frac{143}{221}$;
$\frac{6}{13} = \frac{6 \cdot 17}{13 \cdot 17} = \frac{102}{221}$.

Так как $143 > 102$, то $\frac{143}{221} > \frac{102}{221}$, следовательно $\frac{11}{17} > \frac{6}{13}$. Для отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный: $-\frac{11}{17} < -\frac{6}{13}$.

Поскольку функция $y=x^5$ возрастающая и $-\frac{11}{17} < -\frac{6}{13}$, то и значения степеней будут находиться в том же соотношении.

Ответ: $(-\frac{11}{17})^5 < (-\frac{6}{13})^5$.

3) Сравнить $(1-\sqrt{5})^7$ и $(\sqrt{3}-1)^7$.

Показатель степени 7 является нечетным числом, а функция $y=x^7$ является возрастающей на всей числовой оси. Поэтому для сравнения значений выражений достаточно сравнить их основания: $1-\sqrt{5}$ и $\sqrt{3}-1$.

Оценим знак каждого основания. Известно, что $2 < \sqrt{5} < 3$ (так как $4 < 5 < 9$). Следовательно, $1-\sqrt{5}$ является отрицательным числом. Также известно, что $1 < \sqrt{3} < 2$ (так как $1 < 3 < 4$). Следовательно, $\sqrt{3}-1$ является положительным числом.

Любое отрицательное число меньше любого положительного числа, поэтому $1-\sqrt{5} < \sqrt{3}-1$. Так как функция $y=x^7$ возрастающая, из неравенства для оснований следует такое же неравенство для их седьмых степеней.

Ответ: $(1-\sqrt{5})^7 < (\sqrt{3}-1)^7$.

4) Сравнить $(\sqrt{3}+1)^{10}$ и $(\sqrt{2}+2)^{10}$.

Показатель степени 10 является четным числом. Основания $\sqrt{3}+1$ и $\sqrt{2}+2$ являются положительными числами. Функция $y = x^{10}$ является возрастающей для положительных значений $x$. Поэтому для сравнения значений выражений достаточно сравнить их основания: $\sqrt{3}+1$ и $\sqrt{2}+2$.

Сравним $\sqrt{3}+1$ и $\sqrt{2}+2$. Вычтем 1 из обеих частей предполагаемого неравенства. Задача сводится к сравнению $\sqrt{3}$ и $\sqrt{2}+1$. Так как обе части, $\sqrt{3}$ и $\sqrt{2}+1$, положительны, мы можем сравнить их квадраты, при этом знак неравенства не изменится.

$(\sqrt{3})^2 = 3$.
$(\sqrt{2}+1)^2 = (\sqrt{2})^2 + 2\cdot\sqrt{2}\cdot1 + 1^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2}$.

Теперь сравним $3$ и $3 + 2\sqrt{2}$. Так как $2\sqrt{2} > 0$, очевидно, что $3 < 3 + 2\sqrt{2}$. Отсюда следует, что $(\sqrt{3})^2 < (\sqrt{2}+1)^2$, а значит $\sqrt{3} < \sqrt{2}+1$. Вернувшись к исходным основаниям (прибавив 1 к обеим частям), получаем $\sqrt{3}+1 < \sqrt{2}+2$.

Поскольку основания положительны и $\sqrt{3}+1 < \sqrt{2}+2$, а функция $y=x^{10}$ возрастающая для $x > 0$, то итоговое неравенство будет таким же.

Ответ: $(\sqrt{3}+1)^{10} < (\sqrt{2}+2)^{10}$.

556. В одной системе координат построить график двух функций, предварительно находя их области определения и множества значений:

1) $y = x^3$ и $y = \sqrt[3]{x}$;

2) $y = x^2$ и $y = \sqrt{x}$.

1) $y=x^3$ и $y=\sqrt[3]{x}$

Сначала проанализируем каждую функцию, чтобы найти их области определения и множества значений.

Функция $y=x^3$ (кубическая парабола)
Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как выражение $x^3$ определено для любого действительного числа $x$.
Множество значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$, так как для любого действительного $y_0$ уравнение $x^3=y_0$ имеет решение $x=\sqrt[3]{y_0}$.

Функция $y=\sqrt[3]{x}$ (кубический корень)
Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как кубический корень можно извлечь из любого действительного числа.
Множество значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$, так как результат извлечения кубического корня может быть любым действительным числом.

Функции $y=x^3$ и $y=\sqrt[3]{x}$ являются взаимно обратными. Их графики симметричны относительно прямой $y=x$. Для построения найдем несколько точек для каждого графика.
Точки для $y=x^3$: (-2; -8), (-1; -1), (0; 0), (1; 1), (2; 8).
Точки для $y=\sqrt[3]{x}$: (-8; -2), (-1; -1), (0; 0), (1; 1), (8; 2).
Графики пересекаются в точках, где $x^3 = x$, то есть при $x=-1$, $x=0$ и $x=1$. Точки пересечения: (-1, -1), (0, 0) и (1, 1).

Построим графики в одной системе координат.

На рисунке синим цветом показан график функции $y=x^3$, красным — график функции $y=\sqrt[3]{x}$, а серой пунктирной линией — прямая $y=x$, относительно которой графики симметричны.

Ответ: Для функции $y=x^3$: область определения $D(y)=(-\infty; +\infty)$, множество значений $E(y)=(-\infty; +\infty)$. Для функции $y=\sqrt[3]{x}$: область определения $D(y)=(-\infty; +\infty)$, множество значений $E(y)=(-\infty; +\infty)$. Графики функций построены выше.

2) $y=x^2$ и $y=\sqrt{x}$

Рассмотрим свойства каждой из функций.

Функция $y=x^2$ (парабола)
Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как выражение $x^2$ определено для любого действительного $x$.
Множество значений: $E(y) = [0; +\infty)$, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен ($x^2 \ge 0$).

Функция $y=\sqrt{x}$ (ветвь параболы)
Область определения: $D(y) = [0; +\infty)$, так как выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.
Множество значений: $E(y) = [0; +\infty)$, так как по определению арифметический квадратный корень является неотрицательным.

Функция $y=\sqrt{x}$ является обратной к функции $y=x^2$ на промежутке $x \ge 0$. Их графики на этом промежутке симметричны относительно прямой $y=x$. Найдем точки для построения.
Точки для $y=x^2$: (-2; 4), (-1; 1), (0; 0), (1; 1), (2; 4).
Точки для $y=\sqrt{x}$: (0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3).
Графики пересекаются в точках, где $x^2 = x$ (при $x \ge 0$), то есть при $x=0$ и $x=1$. Точки пересечения: (0, 0) и (1, 1).

Построим графики в одной системе координат.

На рисунке синим цветом показан график функции $y=x^2$, красным — график функции $y=\sqrt{x}$, а серой пунктирной линией — прямая $y=x$. График $y=\sqrt{x}$ симметричен правой ветви параболы $y=x^2$ (при $x \ge 0$) относительно прямой $y=x$.

Ответ: Для функции $y=x^2$: область определения $D(y)=(-\infty; +\infty)$, множество значений $E(y)=[0; +\infty)$. Для функции $y=\sqrt{x}$: область определения $D(y)=[0; +\infty)$, множество значений $E(y)=[0; +\infty)$. Графики функций построены выше.

557. Построить график функции, указать её область определения и множество значений; выяснить, является ли функция возрастающей (убывающей), является ли функция ограниченной, принимает ли она наибольшее (наименьшее) значение:

1) $y=-(x-2)^3-1;$

2) $y=(x+3)^4+2.$

1) $y = -(x - 2)^3 - 1$

Построение графика:
График данной функции получается из графика базовой функции $y = x^3$ (кубическая парабола) путем последовательных преобразований:
1. Сдвиг графика $y=x^3$ на 2 единицы вправо по оси абсцисс. Получаем $y=(x-2)^3$.
2. Симметричное отражение полученного графика относительно оси абсцисс. Получаем $y=-(x-2)^3$.
3. Сдвиг полученного графика на 1 единицу вниз по оси ординат. Получаем $y=-(x-2)^3 - 1$.
В результате этих преобразований точка перегиба из $(0,0)$ перемещается в точку $(2, -1)$.

Область определения и множество значений:
Функция является многочленом, поэтому ее область определения — все действительные числа.
Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Для кубической функции, подвергнутой сдвигам и отражению, множество значений также остается всеми действительными числами.
Множество значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Возрастание и убывание:
Базовая функция $y=x^3$ является возрастающей. После отражения относительно оси Ox (умножение на -1) функция становится убывающей на всей области определения. Сдвиги не влияют на характер монотонности. Таким образом, функция $y = -(x - 2)^3 - 1$ является убывающей на всей своей области определения.

Ограниченность:
Поскольку множество значений функции $E(y) = (-\infty; +\infty)$, функция не ограничена ни сверху, ни снизу.

Наибольшее и наименьшее значения:
Так как функция не ограничена ни сверху, ни снизу, она не принимает ни наибольшего, ни наименьшего значения.

Ответ: График — кубическая парабола с точкой перегиба в $(2,-1)$, полученная сдвигом $y=x^3$ на 2 вправо, отражением по оси Ox и сдвигом на 1 вниз; область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$; множество значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$; функция является убывающей на всей области определения; функция не ограничена; наибольшего и наименьшего значений не принимает.

2) $y = (x + 3)^4 + 2$

Построение графика:
График данной функции получается из графика базовой функции $y = x^4$ (парабола четвертой степени) путем последовательных преобразований:
1. Сдвиг графика $y=x^4$ на 3 единицы влево по оси абсцисс. Получаем $y=(x+3)^4$.
2. Сдвиг полученного графика на 2 единицы вверх по оси ординат. Получаем $y=(x+3)^4 + 2$.
В результате этих преобразований вершина графика из $(0,0)$ перемещается в точку $(-3, 2)$. Ветви графика направлены вверх.

Область определения и множество значений:
Функция является многочленом, поэтому ее область определения — все действительные числа.
Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Поскольку $(x+3)^4 \ge 0$ для любого $x$, то наименьшее значение выражения $(x+3)^4$ равно 0 (при $x=-3$). Следовательно, наименьшее значение функции $y$ равно $0 + 2 = 2$.
Множество значений: $E(y) = [2; +\infty)$.

Возрастание и убывание:
Функция имеет точку минимума при $x=-3$. Следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty; -3]$ и возрастает на промежутке $[-3; +\infty)$. На всей области определения функция не является монотонной.

Ограниченность:
Поскольку $y \ge 2$ для всех $x$ из области определения, функция ограничена снизу числом 2. Сверху функция не ограничена.

Наибольшее и наименьшее значения:
Функция принимает свое наименьшее значение в вершине. $y_{наим} = 2$ при $x=-3$. Так как функция не ограничена сверху, она не имеет наибольшего значения.

Ответ: График — парабола четвертой степени с вершиной в точке $(-3, 2)$ и ветвями вверх; область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$; множество значений $E(y) = [2; +\infty)$; функция убывает на $(-\infty; -3]$ и возрастает на $[-3; +\infty)$; функция ограничена снизу; принимает наименьшее значение $y_{наим} = 2$, наибольшего значения не принимает.

558. Изобразить схематически график функции и указать её область определения и множество значений:

1) $y=x^{\frac{1}{2}}$;

2) $y=x^{-4}$;

3) $y=x^{-3}$;

4) $y=x^{\frac{1}{5}}$.

1) Функция $y = x^{\frac{1}{2}}$ представляет собой степенную функцию, которая эквивалентна функции квадратного корня $y = \sqrt{x}$. Область определения данной функции определяется условием неотрицательности подкоренного выражения, то есть $x \ge 0$. Таким образом, область определения $D(y) = [0, +\infty)$. Множество значений для арифметического квадратного корня также состоит из неотрицательных чисел, поэтому $y \ge 0$, и множество значений $E(y) = [0, +\infty)$. Схематический график — это ветвь параболы, выходящая из начала координат (0,0) и расположенная в первой координатной четверти. Функция является возрастающей на всей области определения. График проходит через точки (1,1) и (4,2).
Ответ: Область определения: $[0, +\infty)$; множество значений: $[0, +\infty)$.

2) Функция $y = x^{-4}$ является степенной функцией с отрицательным целым показателем. Её можно записать в виде $y = \frac{1}{x^4}$. Область определения функции исключает значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль. Так как $x^4=0$ только при $x=0$, область определения $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$. Поскольку знаменатель $x^4$ всегда положителен для любого $x \ne 0$, значения функции $y$ также всегда положительны. Следовательно, множество значений $E(y) = (0, +\infty)$. График функции симметричен относительно оси ординат (так как функция четная) и состоит из двух ветвей, расположенных в первой и второй координатных четвертях. Ось $Oy$ ($x=0$) является вертикальной асимптотой, а ось $Ox$ ($y=0$) — горизонтальной асимптотой. График проходит через точки (1,1) и (-1,1).
Ответ: Область определения: $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$; множество значений: $(0, +\infty)$.

3) Функция $y = x^{-3}$ — это степенная функция, которую можно представить как $y = \frac{1}{x^3}$. Знаменатель обращается в ноль при $x=0$, поэтому область определения функции $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$. В отличие от предыдущего случая, здесь показатель степени нечетный. Если $x > 0$, то $y > 0$. Если $x < 0$, то $y < 0$. Таким образом, функция может принимать любые значения, кроме нуля. Множество значений $E(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$. График функции симметричен относительно начала координат (так как функция нечетная) и состоит из двух ветвей (гипербола), расположенных в первой и третьей координатных четвертях. Оси координат служат асимптотами. График проходит через точки (1,1) и (-1,-1).
Ответ: Область определения: $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$; множество значений: $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

4) Функция $y = x^{\frac{1}{5}}$ эквивалентна функции корня пятой степени $y = \sqrt[5]{x}$. Корень нечетной степени определен для любого действительного числа, поэтому область определения функции $D(y) = (-\infty, +\infty)$. Множество значений также охватывает все действительные числа, то есть $E(y) = (-\infty, +\infty)$. График функции симметричен относительно начала координат (функция нечетная), проходит через точки (-1, -1), (0, 0) и (1, 1). Функция является монотонно возрастающей на всей числовой прямой. Схематически график похож на график функции $y=x^3$, но отраженный относительно прямой $y=x$, и имеет вертикальную касательную в начале координат.
Ответ: Область определения: $(-\infty, +\infty)$; множество значений: $(-\infty, +\infty)$.

559. (Устно.) Выяснить, является ли функция $y=x^p$ возрастающей (убывающей) при $x > 0$, если:

1) $p=\frac{2}{\pi}$;

2) $p=-\frac{2}{\pi}$;

3) $p=0,(6)$.

Для анализа монотонности степенной функции вида $y = x^p$ на промежутке $x > 0$ используется следующее свойство:

• если показатель степени $p > 0$, то функция возрастает;
• если показатель степени $p < 0$, то функция убывает.

Проверим каждый случай.

1) $p = \frac{2}{\pi}$

Значение числа $\pi$ приблизительно равно $3.14$, то есть $\pi > 0$. Следовательно, показатель степени $p = \frac{2}{\pi}$ является положительным числом ($p > 0$). Таким образом, функция $y = x^{2/\pi}$ является возрастающей при $x > 0$.

Ответ: возрастающая.

2) $p = -\frac{2}{\pi}$

Поскольку $\frac{2}{\pi} > 0$, показатель степени $p = -\frac{2}{\pi}$ является отрицательным числом ($p < 0$). Таким образом, функция $y = x^{-2/\pi}$ является убывающей при $x > 0$.

Ответ: убывающая.

3) $p = 0,(6)$

Запись $0,(6)$ означает бесконечную периодическую дробь $0.666...$. Переведем ее в обыкновенную дробь. Пусть $a = 0,(6)$. Тогда $10a = 6,(6)$. Вычтем из второго уравнения первое: $10a - a = 6,(6) - 0,(6)$ $9a = 6$ $a = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ Итак, $p = \frac{2}{3}$. Показатель степени $p = \frac{2}{3}$ является положительным числом ($p > 0$). Таким образом, функция $y = x^{2/3}$ является возрастающей при $x > 0$.

Ответ: возрастающая.