Номер 551, страница 183 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

551. Выяснить, является ли функция возрастающей при $x > 0$:

1) $y = -x^4$;

2) $y = x^{15}$;

3) $y = x^{-3}$.

Чтобы выяснить, является ли функция возрастающей на заданном промежутке, можно найти ее производную и определить знак производной на этом промежутке. Функция является возрастающей, если ее производная $y'(x) > 0$ для всех значений $x$ из этого промежутка. В данной задаче мы рассматриваем промежуток $x > 0$, то есть $(0; +\infty)$.

1) $y = -x^4$

Найдем производную данной функции по правилу дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$: $y' = (-x^4)' = -4x^3$. Теперь определим знак производной на промежутке $x > 0$. Если $x$ — положительное число, то $x^3$ также будет положительным. Тогда произведение $-4 \cdot x^3$ будет отрицательным, так как мы умножаем отрицательное число на положительное. Следовательно, $y' = -4x^3 < 0$ при $x > 0$. Поскольку производная функции отрицательна на всем промежутке $(0; +\infty)$, функция на этом промежутке убывает.

Ответ: нет, не является (функция убывает).

2) $y = x^{15}$

Найдем производную функции: $y' = (x^{15})' = 15x^{14}$. Определим знак производной при $x > 0$. Если $x$ — положительное число, то $x^{14}$ также будет положительным (любое положительное число в четной степени положительно). Произведение $15 \cdot x^{14}$ будет положительным, так как мы умножаем положительное число на положительное. Следовательно, $y' = 15x^{14} > 0$ при $x > 0$. Поскольку производная функции положительна на всем промежутке $(0; +\infty)$, функция на этом промежутке является возрастающей.

Ответ: да, является.

3) $y = x^{-3}$

Найдем производную функции: $y' = (x^{-3})' = -3x^{-3-1} = -3x^{-4}$. Функцию производной можно переписать в виде дроби: $y' = -\frac{3}{x^4}$. Определим знак производной при $x > 0$. Если $x$ — положительное число, то $x^4$ будет положительным. Тогда дробь $\frac{3}{x^4}$ также будет положительной. Знак "минус" перед дробью делает все выражение отрицательным. Следовательно, $y' = -\frac{3}{x^4} < 0$ при $x > 0$. Поскольку производная функции отрицательна на всем промежутке $(0; +\infty)$, функция на этом промежутке убывает.

Ответ: нет, не является (функция убывает).