Номер 556, страница 183 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

556. В одной системе координат построить график двух функций, предварительно находя их области определения и множества значений:

1) $y = x^3$ и $y = \sqrt[3]{x}$;

2) $y = x^2$ и $y = \sqrt{x}$.

1) $y=x^3$ и $y=\sqrt[3]{x}$

Сначала проанализируем каждую функцию, чтобы найти их области определения и множества значений.

Функция $y=x^3$ (кубическая парабола)
Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как выражение $x^3$ определено для любого действительного числа $x$.
Множество значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$, так как для любого действительного $y_0$ уравнение $x^3=y_0$ имеет решение $x=\sqrt[3]{y_0}$.

Функция $y=\sqrt[3]{x}$ (кубический корень)
Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как кубический корень можно извлечь из любого действительного числа.
Множество значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$, так как результат извлечения кубического корня может быть любым действительным числом.

Функции $y=x^3$ и $y=\sqrt[3]{x}$ являются взаимно обратными. Их графики симметричны относительно прямой $y=x$. Для построения найдем несколько точек для каждого графика.
Точки для $y=x^3$: (-2; -8), (-1; -1), (0; 0), (1; 1), (2; 8).
Точки для $y=\sqrt[3]{x}$: (-8; -2), (-1; -1), (0; 0), (1; 1), (8; 2).
Графики пересекаются в точках, где $x^3 = x$, то есть при $x=-1$, $x=0$ и $x=1$. Точки пересечения: (-1, -1), (0, 0) и (1, 1).

Построим графики в одной системе координат.

На рисунке синим цветом показан график функции $y=x^3$, красным — график функции $y=\sqrt[3]{x}$, а серой пунктирной линией — прямая $y=x$, относительно которой графики симметричны.

Ответ: Для функции $y=x^3$: область определения $D(y)=(-\infty; +\infty)$, множество значений $E(y)=(-\infty; +\infty)$. Для функции $y=\sqrt[3]{x}$: область определения $D(y)=(-\infty; +\infty)$, множество значений $E(y)=(-\infty; +\infty)$. Графики функций построены выше.

2) $y=x^2$ и $y=\sqrt{x}$

Рассмотрим свойства каждой из функций.

Функция $y=x^2$ (парабола)
Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как выражение $x^2$ определено для любого действительного $x$.
Множество значений: $E(y) = [0; +\infty)$, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен ($x^2 \ge 0$).

Функция $y=\sqrt{x}$ (ветвь параболы)
Область определения: $D(y) = [0; +\infty)$, так как выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.
Множество значений: $E(y) = [0; +\infty)$, так как по определению арифметический квадратный корень является неотрицательным.

Функция $y=\sqrt{x}$ является обратной к функции $y=x^2$ на промежутке $x \ge 0$. Их графики на этом промежутке симметричны относительно прямой $y=x$. Найдем точки для построения.
Точки для $y=x^2$: (-2; 4), (-1; 1), (0; 0), (1; 1), (2; 4).
Точки для $y=\sqrt{x}$: (0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3).
Графики пересекаются в точках, где $x^2 = x$ (при $x \ge 0$), то есть при $x=0$ и $x=1$. Точки пересечения: (0, 0) и (1, 1).

Построим графики в одной системе координат.

На рисунке синим цветом показан график функции $y=x^2$, красным — график функции $y=\sqrt{x}$, а серой пунктирной линией — прямая $y=x$. График $y=\sqrt{x}$ симметричен правой ветви параболы $y=x^2$ (при $x \ge 0$) относительно прямой $y=x$.

Ответ: Для функции $y=x^2$: область определения $D(y)=(-\infty; +\infty)$, множество значений $E(y)=[0; +\infty)$. Для функции $y=\sqrt{x}$: область определения $D(y)=[0; +\infty)$, множество значений $E(y)=[0; +\infty)$. Графики функций построены выше.