Номер 560, страница 184 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

560. Изобразить схематически график функции:

1) $y = x^{\frac{2}{3}};$

2) $y = x^{\frac{3}{2}};$

3) $y = x^{-5};$

4) $y = x^{\sqrt{5}}.$

1) $y = x^{\frac{2}{3}}$

Это степенная функция $y=x^p$ с показателем $p = \frac{2}{3}$. Функцию можно представить в виде $y = \sqrt[3]{x^2}$.

Анализ функции:

• Область определения: Так как кубический корень извлекается из любого действительного числа, а $x^2$ определено для всех $x$, то область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Четность: Проверим значение функции для $-x$: $y(-x) = (-x)^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{(-x)^2} = \sqrt[3]{x^2} = x^{\frac{2}{3}} = y(x)$. Функция является четной, следовательно, ее график симметричен относительно оси ординат (OY).
• Область значений: Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то и $y = \sqrt[3]{x^2} \ge 0$. Область значений $E(y) = [0; +\infty)$.
• Ключевые точки и поведение: График проходит через начало координат (0, 0). При $x=1$, $y=1$. При $x=8$, $y=8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$. В силу четности, график также проходит через точки (-1, 1) и (-8, 4). Производная $y' = \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$ показывает, что функция убывает при $x<0$ и возрастает при $x>0$. В точке $x=0$ производная не определена, что указывает на наличие точки возврата (касп).

Ответ: Схематический график функции — это кривая, расположенная в верхней полуплоскости, симметричная относительно оси OY. График убывает на $(-\infty, 0]$ и возрастает на $[0, +\infty)$. В точке (0, 0) находится точка минимума, которая является точкой возврата (каспом), где касательные с обеих сторон стремятся к вертикальному положению.

2) $y = x^{\frac{3}{2}}$

Это степенная функция $y=x^p$ с показателем $p = \frac{3}{2}$. Функцию можно представить в виде $y = \sqrt{x^3}$ или $y = (\sqrt{x})^3$.

Анализ функции:

• Область определения: Из-за наличия квадратного корня функция определена только для неотрицательных значений аргумента, $D(y) = [0; +\infty)$.
• Четность: Область определения несимметрична относительно нуля, значит функция не является ни четной, ни нечетной.
• Область значений: Для всех $x \ge 0$, значение $y \ge 0$. Область значений $E(y) = [0; +\infty)$.
• Ключевые точки и поведение: График начинается в точке (0, 0). При $x=1$, $y=1$. При $x=4$, $y=4^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$. Производная $y' = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2}\sqrt{x}$. Так как $y' > 0$ для $x>0$, функция монотонно возрастает. При $x=0$, $y'(0)=0$, что означает, что касательная к графику в начале координат горизонтальна. Вторая производная $y'' = \frac{3}{4\sqrt{x}} > 0$, следовательно, график является вогнутым (выпуклым вниз).

Ответ: График функции представляет собой ветвь, расположенную в первой координатной четверти. Она начинается в точке (0, 0), касаясь оси OX, и монотонно возрастает, будучи вогнутой (выпуклой вниз). График проходит через точки (0, 0), (1, 1), (4, 8).

3) $y = x^{-5}$

Это степенная функция $y=x^p$ с показателем $p = -5$. Функцию можно представить в виде $y = \frac{1}{x^5}$.

Анализ функции:

• Область определения: Знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. Область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Четность: Проверим значение функции для $-x$: $y(-x) = (-x)^{-5} = \frac{1}{(-x)^5} = -\frac{1}{x^5} = -y(x)$. Функция является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат.
• Асимптоты: При $x \to 0$, $y \to \infty$. Ось OY ($x=0$) является вертикальной асимптотой. При $x \to \pm\infty$, $y \to 0$. Ось OX ($y=0$) является горизонтальной асимптотой.
• Ключевые точки и поведение: График проходит через точки (1, 1) и (-1, -1). Производная $y' = -5x^{-6} = -\frac{5}{x^6}$ всегда отрицательна, поэтому функция убывает на обоих промежутках области определения.

Ответ: График функции — это гипербола, состоящая из двух ветвей в первой и третьей координатных четвертях, симметричных относительно начала координат. В первой четверти ветвь убывает от $+\infty$ до 0, проходя через точку (1, 1). В третьей четверти ветвь убывает от 0 до $-\infty$, проходя через точку (-1, -1). Координатные оси являются асимптотами графика.

4) $y = x^{\sqrt{5}}$

Это степенная функция $y=x^p$ с иррациональным показателем $p = \sqrt{5} \approx 2.236$.

Анализ функции:

• Область определения: Степенная функция с иррациональным показателем по определению рассматривается для неотрицательных оснований. Область определения $D(y) = [0; +\infty)$.
• Четность: Область определения несимметрична, функция общего вида.
• Область значений: Для всех $x \ge 0$, значение $y \ge 0$. Область значений $E(y) = [0; +\infty)$.
• Ключевые точки и поведение: График начинается в точке (0, 0). При $x=1$, $y=1$. Показатель $p=\sqrt{5} > 1$. Производная $y' = \sqrt{5}x^{\sqrt{5}-1}$. Так как $\sqrt{5}-1 > 0$, производная положительна для $x>0$, и функция монотонно возрастает. При $x=0$, $y'(0)=0$, касательная в начале координат горизонтальна. Вторая производная $y'' = \sqrt{5}(\sqrt{5}-1)x^{\sqrt{5}-2} > 0$ для $x>0$, следовательно, график является вогнутым (выпуклым вниз).

Ответ: График функции — это ветвь, расположенная в первой координатной четверти. Она начинается в точке (0, 0), касаясь оси OX, монотонно возрастает и является вогнутой. График проходит через точки (0, 0) и (1, 1). Его форма напоминает график параболы $y=x^2$, но рост происходит быстрее, так как $\sqrt{5} > 2$.