Номер 561, страница 184 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

561. Пользуясь свойствами степенной функции, сравнить с единицей число:

1) $4,1^{2,7}$;

2) $0,2^{0,3}$;

3) $0,7^{9,1}$;

4) $(\sqrt{3})^{0,2}$.

1) В выражении $4.1^{2.7}$ основание степени $x = 4.1$ больше 1, а показатель степени $a = 2.7$ является положительным числом. Свойство степенной функции $y = x^a$ гласит, что если основание $x > 1$ и показатель $a > 0$, то функция возрастает. Так как $4.1 > 1$, то $4.1^{2.7} > 1^{2.7}$. Поскольку $1$ в любой степени равно $1$, получаем $4.1^{2.7} > 1$.
Ответ: $4.1^{2.7} > 1$.

2) В выражении $0.2^{0.3}$ основание степени $x = 0.2$ меньше 1 (но больше 0), а показатель степени $a = 0.3$ является положительным. Для степенной функции с положительным показателем ($a > 0$) свойственно возрастание. Так как основание $0.2 < 1$, то и значение степени будет меньше единицы: $0.2^{0.3} < 1^{0.3}$. Так как $1^{0.3} = 1$, то $0.2^{0.3} < 1$.
Ответ: $0.2^{0.3} < 1$.

3) В выражении $0.7^{-9.1}$ основание степени $x = 0.7$ меньше 1 (но больше 0), а показатель степени $a = -9.1$ является отрицательным. Свойство степенной функции $y = x^a$ гласит, что если показатель $a < 0$, то функция является убывающей. Это значит, что для большего значения аргумента значение функции будет меньше. Так как $0.7 < 1$, при возведении в отрицательную степень знак неравенства изменится на противоположный: $0.7^{-9.1} > 1^{-9.1}$. Поскольку $1^{-9.1} = 1$, получаем $0.7^{-9.1} > 1$.
Ответ: $0.7^{-9.1} > 1$.

4) В выражении $(\sqrt{3})^{0.2}$ основание степени $x = \sqrt{3}$. Сначала сравним основание с единицей. Так как $3 > 1$, то $\sqrt{3} > \sqrt{1}$, следовательно, $\sqrt{3} > 1$. Показатель степени $a = 0.2$ является положительным. Так как основание больше 1, а показатель положителен, значение степени будет больше 1. Используя свойство возрастания степенной функции с положительным показателем: поскольку $\sqrt{3} > 1$, то $(\sqrt{3})^{0.2} > 1^{0.2}$. Так как $1^{0.2} = 1$, то $(\sqrt{3})^{0.2} > 1$.
Ответ: $(\sqrt{3})^{0.2} > 1$.