Номер 550, страница 183 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

§1. Степенная функция, её свойства и график. Глава V. Степенная функция - номер 550, страница 183.

Условие.

550. Изобразить схематически график функции, указать её область определения и множество значений:

1) $y = x^6$;

2) $y = x^5$;

3) $y = x^{11}$;

4) $y = x^{-1}$;

5) $y = x^{-4}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) $y=x^6$

Это степенная функция с натуральным четным показателем степени $n=6$.

Область определения: Функция определена для всех действительных чисел, так как любое число можно возвести в шестую степень.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений: Поскольку показатель степени $6$ является четным числом, результат возведения любого действительного числа (кроме нуля) в эту степень будет положительным. При $x=0$, $y=0$. Таким образом, функция принимает только неотрицательные значения.
$E(y) = [0; +\infty)$.

Схематический график:
Функция является четной, так как $y(-x) = (-x)^6 = x^6 = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (OY).
График проходит через точки $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(-1; 1)$.
График напоминает параболу, но его ветви при $|x| > 1$ поднимаются круче, чем у параболы $y=x^2$, а в интервале $(-1; 1)$ он более пологий (ближе прижат к оси абсцисс). Ветви направлены вверх.

Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Множество значений: $E(y) = [0; +\infty)$. График функции — кривая, похожая на параболу с вершиной в начале координат, симметричная относительно оси OY, с ветвями, направленными вверх.

2) $y=x^5$

Это степенная функция с натуральным нечетным показателем степени $n=5$.

Область определения: Функция определена для всех действительных чисел.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений: Поскольку показатель степени $5$ является нечетным числом, функция может принимать как положительные, так и отрицательные значения, а также ноль. Множеством значений является вся числовая прямая.
$E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Схематический график:
Функция является нечетной, так как $y(-x) = (-x)^5 = -x^5 = -y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно начала координат.
График проходит через точки $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(-1; -1)$.
График похож на кубическую параболу $y=x^3$. Он расположен в I и III координатных четвертях. При $|x| > 1$ ветви графика растут быстрее, чем у $y=x^3$.

Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Множество значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$. График функции — кривая, проходящая через начало координат, симметричная относительно него и расположенная в I и III координатных четвертях.

3) $y=x^{11}$

Это степенная функция с натуральным нечетным показателем степени $n=11$.

Область определения: Функция определена для всех действительных чисел.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений: Показатель степени $11$ — нечетный, поэтому функция может принимать любые действительные значения.
$E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Схематический график:
Функция является нечетной ($y(-x) = (-x)^{11} = -x^{11} = -y(x)$), график симметричен относительно начала координат.
График проходит через точки $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(-1; -1)$.
График очень похож на график $y=x^5$, но рост при $|x| > 1$ еще более резкий (ветви круче), а в интервале $(-1; 1)$ график еще сильнее прижат к оси абсцисс. Расположен в I и III координатных четвертях.

Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Множество значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$. График — кривая, симметричная относительно начала координат, расположенная в I и III четвертях, похожая на график $y=x^5$, но с более крутыми ветвями.

4) $y=x^{-1}$

Это степенная функция с целым отрицательным нечетным показателем. Ее можно записать как $y = \frac{1}{x}$.

Область определения: Функция не определена в точке, где знаменатель равен нулю, то есть при $x=0$.
$D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Множество значений: Дробь $\frac{1}{x}$ не может быть равна нулю ни при каком значении $x$. Она может принимать любые другие действительные значения.
$E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Схематический график:
Графиком является гипербола.
Функция нечетная ($y(-x) = \frac{1}{-x} = -y(x)$), график симметричен относительно начала координат.
Ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях.
Оси координат являются асимптотами для графика: ось OY ($x=0$) — вертикальная асимптота, ось OX ($y=0$) — горизонтальная асимптота.

Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Множество значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. График — гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях и с асимптотами в виде осей координат.

5) $y=x^{-4}$

Это степенная функция с целым отрицательным четным показателем. Ее можно записать как $y = \frac{1}{x^4}$.

Область определения: Функция не определена в точке, где знаменатель $x^4$ равен нулю, то есть при $x=0$.
$D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Множество значений: Знаменатель $x^4$ всегда положителен для любого $x \neq 0$. Следовательно, значение функции $y = \frac{1}{x^4}$ всегда будет строго положительным.
$E(y) = (0; +\infty)$.

Схематический график:
Функция четная ($y(-x) = \frac{1}{(-x)^4} = \frac{1}{x^4} = y(x)$), график симметричен относительно оси ординат (OY).
Ветви графика расположены в I и II координатных четвертях.
Оси координат являются асимптотами: ось OY ($x=0$) — вертикальная асимптота, ось OX ($y=0$) — горизонтальная асимптота.
График проходит через точки $(1; 1)$ и $(-1; 1)$.

Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Множество значений: $E(y) = (0; +\infty)$. График — кривая с двумя ветвями в I и II координатных четвертях, симметричная относительно оси OY, с асимптотами в виде осей координат.