Номер 1, страница 172 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Вычислить:

1) $\frac{81^{-\frac{3}{4}} + 27^{-\frac{4}{3}}}{3 \cdot 9^{-1.5} - 27^{-1}};

2) $\left(5^{\frac{1-\sqrt{3}}{3}}\right)^{1+\sqrt{3}} \cdot \sqrt[3]{25}$

1) Для решения этого примера необходимо преобразовать все числа в степени с основанием 3.

Сначала преобразуем числитель дроби: $ 81^{-\frac{3}{4}} + 27^{-\frac{4}{3}} $.
Так как $ 81 = 3^4 $ и $ 27 = 3^3 $, мы можем переписать выражения:
$ 81^{-\frac{3}{4}} = (3^4)^{-\frac{3}{4}} = 3^{4 \cdot (-\frac{3}{4})} = 3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27} $.
$ 27^{-\frac{4}{3}} = (3^3)^{-\frac{4}{3}} = 3^{3 \cdot (-\frac{4}{3})} = 3^{-4} = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{81} $.
Сумма в числителе равна: $ \frac{1}{27} + \frac{1}{81} = \frac{3}{81} + \frac{1}{81} = \frac{4}{81} $.

Теперь преобразуем знаменатель: $ 3 \cdot 9^{-1.5} - 27^{-1} $.
Так как $ 9 = 3^2 $ и $ 1.5 = \frac{3}{2} $, получаем:
$ 3 \cdot 9^{-1.5} = 3^1 \cdot (3^2)^{-\frac{3}{2}} = 3^1 \cdot 3^{2 \cdot (-\frac{3}{2})} = 3^1 \cdot 3^{-3} = 3^{1-3} = 3^{-2} = \frac{1}{9} $.
$ 27^{-1} = \frac{1}{27} $.
Разность в знаменателе равна: $ \frac{1}{9} - \frac{1}{27} = \frac{3}{27} - \frac{1}{27} = \frac{2}{27} $.

Наконец, разделим результат преобразования числителя на результат преобразования знаменателя:
$ \frac{\frac{4}{81}}{\frac{2}{27}} = \frac{4}{81} \cdot \frac{27}{2} = \frac{4 \cdot 27}{81 \cdot 2} = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 1} = \frac{2}{3} $.

Ответ: $ \frac{2}{3} $

2) Рассмотрим выражение $ (5^{\frac{1-\sqrt{3}}{3}})^{1+\sqrt{3}} \cdot \sqrt[3]{25} $.

Сначала упростим первую часть выражения, используя свойство степеней $ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $:
$ (5^{\frac{1-\sqrt{3}}{3}})^{1+\sqrt{3}} = 5^{\frac{1-\sqrt{3}}{3} \cdot (1+\sqrt{3})} $.
Вычислим показатель степени, используя формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $:
$ \frac{1-\sqrt{3}}{3} \cdot (1+\sqrt{3}) = \frac{(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})}{3} = \frac{1^2 - (\sqrt{3})^2}{3} = \frac{1-3}{3} = -\frac{2}{3} $.
Таким образом, первая часть выражения равна $ 5^{-\frac{2}{3}} $.

Теперь преобразуем вторую часть выражения: $ \sqrt[3]{25} $.
Так как $ 25 = 5^2 $, то $ \sqrt[3]{25} = \sqrt[3]{5^2} = 5^{\frac{2}{3}} $.

Перемножим полученные результаты, используя свойство степеней $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $:
$ 5^{-\frac{2}{3}} \cdot 5^{\frac{2}{3}} = 5^{-\frac{2}{3} + \frac{2}{3}} = 5^0 $.
Любое ненулевое число в нулевой степени равно 1, следовательно $ 5^0 = 1 $.

Ответ: $ 1 $