Номер 1, страница 171 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Вычислить:

1) $\frac{12^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{7}{3}}}{4^{-\frac{1}{3}}}$; 2) $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} - \left(\frac{1}{27}\right)^{\frac{1}{3}} + 3 \cdot 589^0$; 3) $\left(\sqrt[3]{128} + \sqrt[3]{\frac{1}{4}}\right) : \sqrt[3]{2}.$

1) Для вычисления значения выражения $\frac{12^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{7}{3}}}{4^{-\frac{1}{3}}}$ представим основания степеней в виде произведения простых чисел и воспользуемся свойствами степеней.
Представим числа 12 и 4 в виде степеней простых чисел: $12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$, а $4 = 2^2$.
Подставим эти значения в исходное выражение:
$\frac{(2^2 \cdot 3)^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{7}{3}}}{(2^2)^{-\frac{1}{3}}}$.
Применим свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$ и свойство степени в степени $(a^m)^n = a^{mn}$:
$\frac{(2^2)^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{7}{3}}}{2^{2 \cdot (-\frac{1}{3})}} = \frac{2^{\frac{4}{3}} \cdot 3^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{7}{3}}}{2^{-\frac{2}{3}}}$.
Применим свойство произведения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ в числителе:
$\frac{2^{\frac{4}{3}} \cdot 3^{\frac{2}{3} + \frac{7}{3}}}{2^{-\frac{2}{3}}} = \frac{2^{\frac{4}{3}} \cdot 3^{\frac{9}{3}}}{2^{-\frac{2}{3}}} = \frac{2^{\frac{4}{3}} \cdot 3^3}{2^{-\frac{2}{3}}}$.
Применим свойство частного степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$2^{\frac{4}{3} - (-\frac{2}{3})} \cdot 3^3 = 2^{\frac{4}{3} + \frac{2}{3}} \cdot 3^3 = 2^{\frac{6}{3}} \cdot 3^3 = 2^2 \cdot 3^3$.
Вычислим окончательное значение:
$2^2 \cdot 3^3 = 4 \cdot 27 = 108$.
Ответ: 108.

2) Рассмотрим выражение $(\frac{2}{3})^{-2} - (\frac{1}{27})^{\frac{1}{3}} + 3 \cdot 589^0$. Вычислим значение каждого слагаемого по отдельности.
Первое слагаемое: $(\frac{2}{3})^{-2}$. Используем свойство степени с отрицательным показателем $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.
$(\frac{2}{3})^{-2} = (\frac{3}{2})^2 = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4}$.
Второе слагаемое: $(\frac{1}{27})^{\frac{1}{3}}$. Это кубический корень из $\frac{1}{27}$.
$(\frac{1}{27})^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{\frac{1}{27}} = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{1}{3}$.
Третье слагаемое: $3 \cdot 589^0$. Любое ненулевое число в степени 0 равно 1, то есть $589^0 = 1$.
$3 \cdot 589^0 = 3 \cdot 1 = 3$.
Теперь подставим вычисленные значения в исходное выражение:
$\frac{9}{4} - \frac{1}{3} + 3$.
Приведем дроби к общему знаменателю 12:
$\frac{9 \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{3 \cdot 12}{12} = \frac{27}{12} - \frac{4}{12} + \frac{36}{12}$.
Выполним сложение и вычитание:
$\frac{27 - 4 + 36}{12} = \frac{23 + 36}{12} = \frac{59}{12}$.
Ответ: $\frac{59}{12}$.

3) Для вычисления значения выражения $(\sqrt[3]{128} + \sqrt[3]{\frac{1}{4}}) : \sqrt[3]{2}$ воспользуемся свойством дистрибутивности деления относительно сложения и свойствами корней.
Раскроем скобки, разделив каждый член в скобках на $\sqrt[3]{2}$:
$(\sqrt[3]{128} + \sqrt[3]{\frac{1}{4}}) : \sqrt[3]{2} = \frac{\sqrt[3]{128}}{\sqrt[3]{2}} + \frac{\sqrt[3]{\frac{1}{4}}}{\sqrt[3]{2}}$.
Используем свойство частного корней $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$:
$\sqrt[3]{\frac{128}{2}} + \sqrt[3]{\frac{1/4}{2}} = \sqrt[3]{64} + \sqrt[3]{\frac{1}{8}}$.
Теперь вычислим значения кубических корней:
$\sqrt[3]{64} = 4$.
$\sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{1}{2}$.
Сложим полученные результаты:
$4 + \frac{1}{2} = 4,5$.
Ответ: 4,5.