Номер 3, страница 171 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

3. Сократить дробь: $ \frac{a - 9a^{\frac{1}{2}}}{7a^{\frac{1}{4}} + 21} $; $ \frac{\sqrt{x} + 1}{x - 1} $.

$\frac{a - 9a^{\frac{1}{2}}}{7a^{\frac{1}{4}} + 21}$

Чтобы сократить данную дробь, необходимо разложить её числитель и знаменатель на множители.

1. Начнем с числителя: $a - 9a^{\frac{1}{2}}$.
Заменим $a$ на $(a^{\frac{1}{2}})^2$ и вынесем общий множитель $a^{\frac{1}{2}}$ за скобки:
$a - 9a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - 9)$.
Выражение в скобках, $a^{\frac{1}{2}} - 9$, представляет собой разность квадратов, поскольку $a^{\frac{1}{2}} = (a^{\frac{1}{4}})^2$ и $9 = 3^2$.
Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$a^{\frac{1}{2}} - 9 = (a^{\frac{1}{4}})^2 - 3^2 = (a^{\frac{1}{4}} - 3)(a^{\frac{1}{4}} + 3)$.
Таким образом, числитель полностью раскладывается на множители: $a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{4}} - 3)(a^{\frac{1}{4}} + 3)$.

2. Теперь разложим на множители знаменатель: $7a^{\frac{1}{4}} + 21$.
Вынесем общий множитель 7 за скобки:
$7a^{\frac{1}{4}} + 21 = 7(a^{\frac{1}{4}} + 3)$.

3. Подставим разложенные числитель и знаменатель обратно в дробь и выполним сокращение:
$\frac{a - 9a^{\frac{1}{2}}}{7a^{\frac{1}{4}} + 21} = \frac{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{4}} - 3)(a^{\frac{1}{4}} + 3)}{7(a^{\frac{1}{4}} + 3)}$.
Сократим общий множитель $(a^{\frac{1}{4}} + 3)$:
$\frac{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{4}} - 3)\cancel{(a^{\frac{1}{4}} + 3)}}{7\cancel{(a^{\frac{1}{4}} + 3)}} = \frac{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{4}} - 3)}{7}$.

Ответ: $\frac{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{4}} - 3)}{7}$.

$\frac{\sqrt{x} + 1}{x - 1}$

Для сокращения этой дроби разложим её знаменатель на множители, используя формулу разности квадратов.

1. Знаменатель $x - 1$ можно представить как разность квадратов, так как $x = (\sqrt{x})^2$ и $1 = 1^2$.
Применяя формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, получаем:
$x - 1 = (\sqrt{x})^2 - 1^2 = (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)$.

2. Теперь подставим разложенный знаменатель в исходную дробь:
$\frac{\sqrt{x} + 1}{x - 1} = \frac{\sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}$.

3. Сократим общий множитель $(\sqrt{x} + 1)$ в числителе и знаменателе. Область допустимых значений для переменной $x$ это $x \ge 0$ и $x \neq 1$.
$\frac{\cancel{(\sqrt{x} + 1)}}{(\sqrt{x} - 1)\cancel{(\sqrt{x} + 1)}} = \frac{1}{\sqrt{x} - 1}$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{x} - 1}$.