Номер 2, страница 172 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

2.Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную периодическую десятичную дробь: $0,2(18)$; $3,15(12)$.

0,2(18)

Для того чтобы преобразовать смешанную периодическую десятичную дробь в обыкновенную, выполним следующие шаги.
1. Обозначим исходное число переменной $x$:
$x = 0,2(18) = 0,2181818...$

2. Умножим уравнение на $10$ (так как до периода одна цифра), чтобы непериодическая часть оказалась слева от десятичной запятой:
$10x = 2,181818...$

3. Умножим исходное уравнение на $1000$ (так как всего до конца первого периода три цифры: '2', '1', '8'), чтобы сместить один полный период влево от запятой:
$1000x = 218,181818...$

4. Теперь у нас есть два уравнения с одинаковой дробной частью. Вычтем из второго уравнения первое, чтобы избавиться от бесконечной периодической части:
$1000x - 10x = 218,181818... - 2,181818...$
$990x = 216$

5. Решим уравнение относительно $x$:
$x = \frac{216}{990}$

6. Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 216 и 990 равен 18.
$x = \frac{216 \div 18}{990 \div 18} = \frac{12}{55}$

Ответ: $\frac{12}{55}$

3,15(12)

Применим тот же метод для второго числа.
1. Обозначим исходное число переменной $x$:
$x = 3,15(12) = 3,15121212...$

2. Умножим уравнение на $100$ (так как до периода две цифры: '1', '5'), чтобы непериодическая часть оказалась слева от десятичной запятой:
$100x = 315,121212...$

3. Умножим исходное уравнение на $10000$ (так как всего до конца первого периода четыре цифры: '1', '5', '1', '2'), чтобы сместить один полный период влево от запятой:
$10000x = 31512,121212...$

4. Вычтем из второго полученного уравнения первое, чтобы исключить периодическую часть:
$10000x - 100x = 31512,121212... - 315,121212...$
$9900x = 31197$

5. Найдем $x$:
$x = \frac{31197}{9900}$

6. Сократим дробь. Проверим делимость на общие множители. Сумма цифр числителя $3+1+1+9+7=21$, что делится на 3. Сумма цифр знаменателя $9+9+0+0=18$, что делится на 3 и 9. Разделим числитель и знаменатель на 3:
$x = \frac{31197 \div 3}{9900 \div 3} = \frac{10399}{3300}$
Дальнейшее сокращение невозможно, так как числитель 10399 не делится на простые множители знаменателя (2, 3, 5, 11). Дробь является несократимой.

Ответ: $\frac{10399}{3300}$