Номер 2, страница 171 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

2. Упростить выражение при $a > 0, b > 0, c > 0$:

1) $\sqrt[3]{\frac{ab^2}{c}} \cdot \sqrt[3]{\frac{a^5b}{c^2}}$

2) $\frac{a^{-3} \cdot a^{\frac{7}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}}$

1) Для упрощения данного выражения воспользуемся свойством произведения корней одинаковой степени: $\sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{xy}$. Учитывая, что $a > 0, b > 0, c > 0$, все подкоренные выражения положительны.

Объединим два кубических корня в один:

$\sqrt[3]{\frac{ab^2}{c}} \cdot \sqrt[3]{\frac{a^5b}{c^2}} = \sqrt[3]{\frac{ab^2}{c} \cdot \frac{a^5b}{c^2}}$

Теперь перемножим дроби под знаком корня. Для этого используем правило умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$\sqrt[3]{\frac{a \cdot a^5 \cdot b^2 \cdot b}{c \cdot c^2}} = \sqrt[3]{\frac{a^{1+5} \cdot b^{2+1}}{c^{1+2}}} = \sqrt[3]{\frac{a^6b^3}{c^3}}$

Далее, воспользуемся свойством корня из дроби $\sqrt[n]{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}}$ и свойством извлечения корня из степени $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$:

$\sqrt[3]{\frac{a^6b^3}{c^3}} = \frac{\sqrt[3]{a^6} \cdot \sqrt[3]{b^3}}{\sqrt[3]{c^3}} = \frac{a^{\frac{6}{3}} \cdot b^{\frac{3}{3}}}{c^{\frac{3}{3}}} = \frac{a^2 b^1}{c^1} = \frac{a^2b}{c}$

Ответ: $\frac{a^2b}{c}$

2) Для упрощения данного выражения воспользуемся свойствами степеней. Условие $a > 0$ обеспечивает корректность всех операций с дробными показателями.

Сначала упростим числитель, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$a^{-3} \cdot a^{\frac{7}{3}} = a^{-3 + \frac{7}{3}}$

Приведем показатели к общему знаменателю:

$-3 + \frac{7}{3} = -\frac{9}{3} + \frac{7}{3} = \frac{-9+7}{3} = -\frac{2}{3}$

Таким образом, выражение принимает вид:

$\frac{a^{-\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}}$

Теперь воспользуемся правилом деления степеней с одинаковым основанием $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

$a^{-\frac{2}{3} - \frac{1}{3}} = a^{\frac{-2-1}{3}} = a^{\frac{-3}{3}} = a^{-1}$

Запишем результат в виде дроби, используя определение степени с отрицательным показателем $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$:

$a^{-1} = \frac{1}{a}$

Ответ: $\frac{1}{a}$