Номер 15, страница 171 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

15. Доказать теорему о том, что $a^{x_1} < a^{x_2}$ при $a > 1$ и $x_1 < x_2$.

Сформулировать следствия из этой теоремы.

Доказательство теоремы

Теорема утверждает, что для показательной функции $y = a^x$ с основанием $a > 1$, большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Формально: если даны $a > 1$ и $x_1 < x_2$, то необходимо доказать, что $a^{x_1} < a^{x_2}$.

Для доказательства воспользуемся методами дифференциального исчисления. Рассмотрим показательную функцию $f(x) = a^x$.

Найдем ее производную: $$ f'(x) = (a^x)' = a^x \ln a $$

Проанализируем знак этой производной при условии, что $a > 1$.
1. По определению показательной функции, $a^x > 0$ для любых действительных значений $x$.
2. Так как основание $a > 1$, его натуральный логарифм положителен: $\ln a > 0$.

Поскольку производная $f'(x)$ является произведением двух положительных величин ($a^x$ и $\ln a$), она всегда положительна: $f'(x) > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Согласно свойству производной, если производная функции положительна на некотором интервале, то функция на этом интервале строго возрастает. Так как $f'(x) > 0$ для всех действительных чисел, функция $f(x) = a^x$ является строго возрастающей на всей числовой оси.

По определению строго возрастающей функции, для любых двух аргументов $x_1$ и $x_2$ из области определения, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) < f(x_2)$. В нашем случае это означает, что из $x_1 < x_2$ следует $a^{x_1} < a^{x_2}$. Теорема доказана.

Ответ: Теорема доказана с использованием производной. Так как производная функции $y=a^x$ при $a>1$ всегда положительна, функция является строго возрастающей, и, следовательно, для любых $x_1 < x_2$ выполняется неравенство $a^{x_1} < a^{x_2}$.

Следствия из этой теоремы

На основе доказанной теоремы о монотонном возрастании функции $y=a^x$ при $a>1$ можно сформулировать несколько важных следствий, которые широко применяются при решении показательных уравнений и неравенств.

1. Сравнение степеней с основанием $0 < a < 1$.
Если основание степени $a$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$ и $x_1 < x_2$, то $a^{x_1} > a^{x_2}$.
Доказательство: Пусть $a \in (0, 1)$. Тогда $b = \frac{1}{a} > 1$. Из $x_1 < x_2$ следует $-x_1 > -x_2$. По доказанной теореме, так как $b > 1$, имеем $b^{-x_2} < b^{-x_1}$. Подставляя обратно $a$, получаем $(\frac{1}{a})^{-x_2} < (\frac{1}{a})^{-x_1}$, что равносильно $a^{x_2} < a^{x_1}$.
Таким образом, показательная функция с основанием $0 < a < 1$ является строго убывающей.

2. Решение показательных уравнений.
Если $a > 0$ и $a \neq 1$, то равенство $a^{x_1} = a^{x_2}$ выполняется тогда и только тогда, когда $x_1 = x_2$.
Это следует из строгой монотонности функции (строго возрастающей при $a>1$ и строго убывающей при $0<a<1$), которая каждому значению аргумента ставит в соответствие уникальное значение функции.

3. Решение показательных неравенств.
При решении неравенств вида $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ (или с другими знаками неравенств):
- если $a > 1$, то неравенство равносильно неравенству $f(x) > g(x)$ (знак неравенства сохраняется);
- если $0 < a < 1$, то неравенство равносильно неравенству $f(x) < g(x)$ (знак неравенства меняется на противоположный).
Это является прямым следствием монотонности функции.

4. Сравнение значения степени с единицей.
- Если $a > 1$, то $a^x > 1$ при $x > 0$, и $a^x < 1$ при $x < 0$. (Сравнение $x$ с $0$ и $a^x$ с $a^0=1$).
- Если $0 < a < 1$, то $a^x < 1$ при $x > 0$, и $a^x > 1$ при $x < 0$. (Следствие из убывания функции).

Ответ: Основными следствиями являются: 1) правило сравнения степеней с основанием $0 < a < 1$ (функция убывает); 2) критерий равенства показателей при равенстве степеней; 3) правила решения показательных неравенств (сохранение или изменение знака в зависимости от основания); 4) правила сравнения значения степени с единицей.