Номер 588, страница 200 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

588. Выяснить, равносильны ли следующие уравнения:

1) $5x - 8 = 3x + 5$ и $2x + 13 = 0;$

2) $\frac{1}{7}(2x - 3) = 1$ и $\frac{3x - 1}{14} = 1;$

3) $(x - 5)^2 = 3(x - 5)$ и $x - 5 = 3;$

4) $|x - 2| = -3$ и $3^x = (-1)^3.$

1) Два уравнения называются равносильными, если множества их решений совпадают. Чтобы это проверить, найдем решения каждого уравнения.
Решим первое уравнение: $5x - 8 = 3x + 5$.
Перенесем члены с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$5x - 3x = 5 + 8$
$2x = 13$
$x = \frac{13}{2} = 6.5$
Решение первого уравнения: $x = 6.5$.
Теперь решим второе уравнение: $2x + 13 = 0$.
$2x = -13$
$x = -\frac{13}{2} = -6.5$
Решение второго уравнения: $x = -6.5$.
Так как корни уравнений не совпадают ($6.5 \neq -6.5$), множества их решений различны. Следовательно, уравнения не являются равносильными.
Ответ: не равносильны.

2) Найдем решения для каждого из уравнений.
Решим первое уравнение: $\frac{1}{7}(2x - 3) = 1$.
Умножим обе части уравнения на 7, чтобы избавиться от дроби:
$2x - 3 = 7$
$2x = 7 + 3$
$2x = 10$
$x = 5$
Решение первого уравнения: $x = 5$.
Решим второе уравнение: $\frac{3x - 1}{14} = 1$.
Умножим обе части уравнения на 14:
$3x - 1 = 14$
$3x = 14 + 1$
$3x = 15$
$x = 5$
Решение второго уравнения: $x = 5$.
Корни обоих уравнений совпадают. Следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: равносильны.

3) Найдем множества решений для обоих уравнений.
Решим первое уравнение: $(x - 5)^2 = 3(x - 5)$.
Перенесем все члены в левую часть уравнения:
$(x - 5)^2 - 3(x - 5) = 0$
Вынесем общий множитель $(x - 5)$ за скобку:
$(x - 5)((x - 5) - 3) = 0$
$(x - 5)(x - 8) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x - 5 = 0$ или $x - 8 = 0$
$x_1 = 5$, $x_2 = 8$
Множество решений первого уравнения: $\{5, 8\}$.
Теперь решим второе уравнение: $x - 5 = 3$.
$x = 3 + 5$
$x = 8$
Множество решений второго уравнения: $\{8\}$.
Множества решений уравнений не совпадают, так как первое уравнение имеет два корня, а второе — только один. Следовательно, уравнения не равносильны.
Ответ: не равносильны.

4) Проанализируем каждое уравнение.
Первое уравнение: $|x - 2| = -3$.
По определению, модуль (абсолютная величина) любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $|a| \geq 0$. Таким образом, выражение $|x - 2|$ не может быть равно отрицательному числу -3. У этого уравнения нет действительных решений. Его множество решений — пустое множество ($\emptyset$).
Второе уравнение: $3^x = (-1)^3$.
Сначала вычислим правую часть: $(-1)^3 = -1 \times -1 \times -1 = -1$.
Уравнение принимает вид $3^x = -1$.
Показательная функция $y = a^x$ с основанием $a > 0$ (здесь $a=3$) принимает только положительные значения. Следовательно, она не может быть равна -1. У этого уравнения также нет действительных решений. Его множество решений — пустое множество ($\emptyset$).
Поскольку множества решений обоих уравнений совпадают (оба пусты), уравнения являются равносильными.
Ответ: равносильны.