Страница 200 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

587. Решить уравнение:

1) $(x + 9) \cdot 3 = 2x + 17;$

2) $x^2 + \frac{1}{x^2 - 4} = 4 + \frac{1}{x^2 - 4};$

3) $\frac{x - 2}{x^2 - 1} = \frac{1 - 2x}{x^2 - 1};$

4) $\frac{5x - 15}{(x - 3)(x + 2)} = \frac{2}{x + 2}.$

1) $(x + 9) \cdot 3 = 2x + 17$

Это линейное уравнение. Для его решения сначала раскроем скобки в левой части:

$3 \cdot x + 3 \cdot 9 = 2x + 17$

$3x + 27 = 2x + 17$

Теперь перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть уравнения, а свободные члены — в правую, меняя их знаки на противоположные:

$3x - 2x = 17 - 27$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

$x = -10$

Ответ: $-10$

2) $x^2 + \frac{1}{x^2 - 4} = 4 + \frac{1}{x^2 - 4}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю:

$x^2 - 4 \neq 0$

$x^2 \neq 4$

Это означает, что $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

В левой и правой частях уравнения есть одинаковый член $\frac{1}{x^2 - 4}$. Мы можем вычесть его из обеих частей уравнения:

$x^2 + \frac{1}{x^2 - 4} - \frac{1}{x^2 - 4} = 4 + \frac{1}{x^2 - 4} - \frac{1}{x^2 - 4}$

Уравнение упрощается до:

$x^2 = 4$

Решениями этого уравнения являются $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Однако, оба полученных значения не входят в область допустимых значений, так как при $x=2$ и $x=-2$ знаменатель исходной дроби обращается в ноль. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет

3) $\frac{x - 2}{x^2 - 1} = \frac{1 - 2x}{x^2 - 1}$

Найдем ОДЗ. Знаменатель не должен равняться нулю:

$x^2 - 1 \neq 0$

$x^2 \neq 1$

Следовательно, $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Поскольку знаменатели дробей в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их числители (при условии, что мы находимся в ОДЗ):

$x - 2 = 1 - 2x$

Решим полученное линейное уравнение. Перенесем члены с $x$ в левую часть, а константы — в правую:

$x + 2x = 1 + 2$

$3x = 3$

$x = \frac{3}{3}$

$x = 1$

Сравним полученный корень с ОДЗ. Значение $x = 1$ не входит в область допустимых значений. Таким образом, у уравнения нет решений.

Ответ: корней нет

4) $\frac{5x - 15}{(x - 3)(x + 2)} = \frac{2}{x + 2}$

Найдем ОДЗ, приравняв знаменатели к нулю:

$(x - 3)(x + 2) \neq 0$

Отсюда следует, что $x \neq 3$ и $x \neq -2$.

Преобразуем числитель левой части, вынеся общий множитель 5 за скобки:

$5x - 15 = 5(x - 3)$

Подставим это выражение в уравнение:

$\frac{5(x - 3)}{(x - 3)(x + 2)} = \frac{2}{x + 2}$

Так как из ОДЗ мы знаем, что $x \neq 3$, то выражение $(x - 3)$ не равно нулю, и мы можем сократить на него дробь в левой части:

$\frac{5}{x + 2} = \frac{2}{x + 2}$

Перенесем правую часть влево:

$\frac{5}{x + 2} - \frac{2}{x + 2} = 0$

$\frac{5 - 2}{x + 2} = 0$

$\frac{3}{x + 2} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. В нашем случае числитель равен 3, что не является нулем. Следовательно, это уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет

588. Выяснить, равносильны ли следующие уравнения:

1) $5x - 8 = 3x + 5$ и $2x + 13 = 0;$

2) $\frac{1}{7}(2x - 3) = 1$ и $\frac{3x - 1}{14} = 1;$

3) $(x - 5)^2 = 3(x - 5)$ и $x - 5 = 3;$

4) $|x - 2| = -3$ и $3^x = (-1)^3.$

1) Два уравнения называются равносильными, если множества их решений совпадают. Чтобы это проверить, найдем решения каждого уравнения.
Решим первое уравнение: $5x - 8 = 3x + 5$.
Перенесем члены с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$5x - 3x = 5 + 8$
$2x = 13$
$x = \frac{13}{2} = 6.5$
Решение первого уравнения: $x = 6.5$.
Теперь решим второе уравнение: $2x + 13 = 0$.
$2x = -13$
$x = -\frac{13}{2} = -6.5$
Решение второго уравнения: $x = -6.5$.
Так как корни уравнений не совпадают ($6.5 \neq -6.5$), множества их решений различны. Следовательно, уравнения не являются равносильными.
Ответ: не равносильны.

2) Найдем решения для каждого из уравнений.
Решим первое уравнение: $\frac{1}{7}(2x - 3) = 1$.
Умножим обе части уравнения на 7, чтобы избавиться от дроби:
$2x - 3 = 7$
$2x = 7 + 3$
$2x = 10$
$x = 5$
Решение первого уравнения: $x = 5$.
Решим второе уравнение: $\frac{3x - 1}{14} = 1$.
Умножим обе части уравнения на 14:
$3x - 1 = 14$
$3x = 14 + 1$
$3x = 15$
$x = 5$
Решение второго уравнения: $x = 5$.
Корни обоих уравнений совпадают. Следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: равносильны.

3) Найдем множества решений для обоих уравнений.
Решим первое уравнение: $(x - 5)^2 = 3(x - 5)$.
Перенесем все члены в левую часть уравнения:
$(x - 5)^2 - 3(x - 5) = 0$
Вынесем общий множитель $(x - 5)$ за скобку:
$(x - 5)((x - 5) - 3) = 0$
$(x - 5)(x - 8) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x - 5 = 0$ или $x - 8 = 0$
$x_1 = 5$, $x_2 = 8$
Множество решений первого уравнения: $\{5, 8\}$.
Теперь решим второе уравнение: $x - 5 = 3$.
$x = 3 + 5$
$x = 8$
Множество решений второго уравнения: $\{8\}$.
Множества решений уравнений не совпадают, так как первое уравнение имеет два корня, а второе — только один. Следовательно, уравнения не равносильны.
Ответ: не равносильны.

4) Проанализируем каждое уравнение.
Первое уравнение: $|x - 2| = -3$.
По определению, модуль (абсолютная величина) любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $|a| \geq 0$. Таким образом, выражение $|x - 2|$ не может быть равно отрицательному числу -3. У этого уравнения нет действительных решений. Его множество решений — пустое множество ($\emptyset$).
Второе уравнение: $3^x = (-1)^3$.
Сначала вычислим правую часть: $(-1)^3 = -1 \times -1 \times -1 = -1$.
Уравнение принимает вид $3^x = -1$.
Показательная функция $y = a^x$ с основанием $a > 0$ (здесь $a=3$) принимает только положительные значения. Следовательно, она не может быть равна -1. У этого уравнения также нет действительных решений. Его множество решений — пустое множество ($\emptyset$).
Поскольку множества решений обоих уравнений совпадают (оба пусты), уравнения являются равносильными.
Ответ: равносильны.

589. Выяснить, равносильны ли неравенства:

1) $2x - 1 \ge 2$ и $2(x - 1) \ge 1$;

2) $(x - 1)(x + 2) < 0$ и $x^2 + x < 2$;

3) $(x - 3)(x + 2) < 3x + 6$ и $x - 3 < 3$;

4) $x(x + 3) \ge 2x$ и $x^2(x + 3) \ge 2x^2$.

1) $2x - 1 \ge 2$ и $2(x - 1) \ge 1$
Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают. Решим каждое неравенство и сравним их решения.
Решим первое неравенство:
$2x - 1 \ge 2$
$2x \ge 2 + 1$
$2x \ge 3$
$x \ge \frac{3}{2}$
Множество решений этого неравенства: $[\frac{3}{2}; +\infty)$.
Теперь решим второе неравенство:
$2(x - 1) \ge 1$
$2x - 2 \ge 1$
$2x \ge 1 + 2$
$2x \ge 3$
$x \ge \frac{3}{2}$
Множество решений этого неравенства: $[\frac{3}{2}; +\infty)$.
Так как множества решений обоих неравенств совпадают, они являются равносильными.
Ответ: равносильны.

2) $(x - 1)(x + 2) < 0$ и $x^2 + x < 2$
Решим первое неравенство $(x - 1)(x + 2) < 0$.
Это квадратичное неравенство. Корни соответствующего уравнения $(x - 1)(x + 2) = 0$ равны $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$. Графиком функции $y = (x - 1)(x + 2)$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции отрицательны между корнями.
Множество решений первого неравенства: $(-2; 1)$.
Решим второе неравенство:
$x^2 + x < 2$
$x^2 + x - 2 < 0$
Найдем корни уравнения $x^2 + x - 2 = 0$. Используя теорему Виета, получаем корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$. Графиком функции $y = x^2 + x - 2$ также является парабола с ветвями вверх.
Множество решений второго неравенства: $(-2; 1)$.
Множества решений совпадают. Заметим, что второе неравенство получается из первого путем раскрытия скобок, что является равносильным преобразованием: $(x-1)(x+2) = x^2+2x-x-2 = x^2+x-2$. Таким образом, неравенство $(x - 1)(x + 2) < 0$ эквивалентно $x^2+x-2<0$, что, в свою очередь, эквивалентно $x^2+x<2$.
Ответ: равносильны.

3) $(x - 3)(x + 2) < 3x + 6$ и $x - 3 < 3$
Решим первое неравенство:
$(x - 3)(x + 2) < 3x + 6$
$x^2 + 2x - 3x - 6 < 3x + 6$
$x^2 - x - 6 < 3x + 6$
$x^2 - 4x - 12 < 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 4x - 12 = 0$. По теореме Виета $x_1 = 6$ и $x_2 = -2$. Это парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется на интервале между корнями.
Множество решений первого неравенства: $(-2; 6)$.
Решим второе неравенство:
$x - 3 < 3$
$x < 6$
Множество решений второго неравенства: $(-\infty; 6)$.
Множества решений $(-2; 6)$ и $(-\infty; 6)$ не совпадают. Например, число $x=-5$ является решением второго неравенства ($ -5 < 6$), но не является решением первого (при $x=-5$ получаем $(-5-3)(-5+2)=(-8)(-3)=24$, а $3(-5)+6 = -9$, и $24 < -9$ неверно).
Ответ: не равносильны.

4) $x(x + 3) \ge 2x$ и $x^2(x + 3) \ge 2x^2$
Решим первое неравенство:
$x(x + 3) \ge 2x$
$x^2 + 3x - 2x \ge 0$
$x^2 + x \ge 0$
$x(x + 1) \ge 0$
Корни уравнения $x(x + 1) = 0$ это $x_1=0$ и $x_2=-1$. График $y = x^2 + x$ — парабола с ветвями вверх. Неравенство выполняется на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[0; +\infty)$.
Множество решений первого неравенства: $(-\infty; -1] \cup [0; +\infty)$.
Решим второе неравенство:
$x^2(x + 3) \ge 2x^2$
$x^2(x + 3) - 2x^2 \ge 0$
$x^2(x + 3 - 2) \ge 0$
$x^2(x + 1) \ge 0$
Множитель $x^2$ всегда неотрицателен ($x^2 \ge 0$).
Если $x = 0$, неравенство принимает вид $0 \ge 0$, что верно. Значит, $x=0$ — решение.
Если $x \ne 0$, то $x^2 > 0$. Можно разделить обе части неравенства на $x^2$, не меняя знака:
$x + 1 \ge 0$
$x \ge -1$
С учетом условия $x \ne 0$, получаем $[-1; 0) \cup (0; +\infty)$.
Объединяя оба случая ($x=0$ и $x \ne 0$), получаем множество решений второго неравенства: $[-1; +\infty)$.
Множества решений $(-\infty; -1] \cup [0; +\infty)$ и $[-1; +\infty)$ не совпадают. Например, $x=-2$ является решением первого неравенства, но не второго. А $x=-0.5$ является решением второго, но не первого.
Ответ: не равносильны.