Страница 206 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Рис. 81

602. (Устно.) Решить уравнение:

1) $\sqrt{x}=2;$

2) $\sqrt{x}=7;$

3) $\sqrt[3]{x}=2;$

4) $\sqrt[3]{x}=-3;$

5) $\sqrt[3]{1-3x}=0;$

6) $\sqrt[4]{x}=1;$

7) $\sqrt[4]{2-x}=0.$

1) Дано уравнение $\sqrt{x} = 2$.
Чтобы найти $x$, необходимо избавиться от знака корня. Для этого возведем обе части уравнения в квадрат (во вторую степень). При этом необходимо учесть, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным ($x \geq 0$), а также значение корня должно быть неотрицательным, что выполняется ($2 \geq 0$).
$(\sqrt{x})^2 = 2^2$
$x = 4$
Найденное значение $x=4$ удовлетворяет условию $x \geq 0$.
Ответ: 4

2) Дано уравнение $\sqrt{x} = 7$.
Возведем обе части уравнения в квадрат. Условия существования корня ($x \geq 0$ и $7 \geq 0$) выполняются.
$(\sqrt{x})^2 = 7^2$
$x = 49$
Значение $x=49$ удовлетворяет условию $x \geq 0$.
Ответ: 49

3) Дано уравнение $\sqrt[3]{x} = 2$.
Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в куб (в третью степень). Для корня нечетной степени ограничений на подкоренное выражение нет.
$(\sqrt[3]{x})^3 = 2^3$
$x = 8$
Ответ: 8

4) Дано уравнение $\sqrt[3]{x} = -3$.
Возведем обе части уравнения в куб. Корень нечетной степени может быть отрицательным числом, поэтому решение существует.
$(\sqrt[3]{x})^3 = (-3)^3$
$x = -27$
Ответ: -27

5) Дано уравнение $\sqrt[3]{1-3x} = 0$.
Возведем обе части уравнения в куб, чтобы избавиться от знака корня.
$(\sqrt[3]{1-3x})^3 = 0^3$
$1 - 3x = 0$
Перенесем 1 в правую часть:
$-3x = -1$
Разделим обе части на -3:
$x = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$
Ответ: $\frac{1}{3}$

6) Дано уравнение $\sqrt[4]{x} = 1$.
Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в четвертую степень. Для корня четной степени подкоренное выражение должно быть неотрицательным ($x \geq 0$), а значение корня также должно быть неотрицательным, что выполняется ($1 \geq 0$).
$(\sqrt[4]{x})^4 = 1^4$
$x = 1$
Найденное значение $x=1$ удовлетворяет условию $x \geq 0$.
Ответ: 1

7) Дано уравнение $\sqrt[4]{2-x} = 0$.
Возведем обе части уравнения в четвертую степень. Область допустимых значений определяется условием $2-x \geq 0$, то есть $x \leq 2$.
$(\sqrt[4]{2-x})^4 = 0^4$
$2 - x = 0$
$x = 2$
Найденное значение $x=2$ удовлетворяет условию $x \leq 2$.
Ответ: 2

Решить уравнение (603—605).

603. 1) $\sqrt{x+1}=3;$

2) $\sqrt{x-2}=5;$

3) $\sqrt{4+x}=\sqrt{2x-1}.$

1) Дано уравнение $ \sqrt{x + 1} = 3 $.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $ x + 1 \ge 0 $, что дает $ x \ge -1 $.
Чтобы решить уравнение, возведем обе его части в квадрат:
$ (\sqrt{x + 1})^2 = 3^2 $
$ x + 1 = 9 $
Отсюда находим $ x $:
$ x = 9 - 1 = 8 $
Найденный корень $ x = 8 $ удовлетворяет ОДЗ ($ 8 \ge -1 $).
Выполним проверку, подставив найденное значение в исходное уравнение: $ \sqrt{8 + 1} = \sqrt{9} = 3 $. Равенство $ 3=3 $ верное.
Ответ: $ x = 8 $.

2) Дано уравнение $ \sqrt{x - 2} = 5 $.
ОДЗ: выражение под корнем должно быть неотрицательным, т.е. $ x - 2 \ge 0 $, откуда $ x \ge 2 $.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$ (\sqrt{x - 2})^2 = 5^2 $
$ x - 2 = 25 $
Найдем $ x $:
$ x = 25 + 2 = 27 $
Корень $ x = 27 $ удовлетворяет ОДЗ ($ 27 \ge 2 $).
Проверка: $ \sqrt{27 - 2} = \sqrt{25} = 5 $. Равенство $ 5=5 $ верное.
Ответ: $ x = 27 $.

3) Дано уравнение $ \sqrt{4 + x} = \sqrt{2x - 1} $.
Найдем ОДЗ. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными, что приводит к системе неравенств:
$ \begin{cases} 4 + x \ge 0 \\ 2x - 1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -4 \\ x \ge 0.5 \end{cases} $
Пересечением этих условий является $ x \ge 0.5 $.
Возведем обе части уравнения в квадрат, так как они обе неотрицательны:
$ (\sqrt{4 + x})^2 = (\sqrt{2x - 1})^2 $
$ 4 + x = 2x - 1 $
Решим полученное линейное уравнение:
$ 4 + 1 = 2x - x $
$ 5 = x $
Корень $ x = 5 $ удовлетворяет ОДЗ ($ 5 \ge 0.5 $).
Проверка: левая часть $ \sqrt{4 + 5} = \sqrt{9} = 3 $, правая часть $ \sqrt{2 \cdot 5 - 1} = \sqrt{10 - 1} = \sqrt{9} = 3 $. Равенство $ 3 = 3 $ верное.
Ответ: $ x = 5 $.

604. 1) $\sqrt[3]{2x+3}=1$;

2) $\sqrt[3]{1-x}=2$;

3) $\sqrt[3]{3x^2-3}=\sqrt[3]{8x}$.

1) $\sqrt[3]{2x+3}=1$

Чтобы решить данное иррациональное уравнение, необходимо избавиться от знака корня. Для этого возведем обе части уравнения в третью степень:

$(\sqrt[3]{2x+3})^3 = 1^3$

В результате получаем линейное уравнение:

$2x+3 = 1$

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$2x = 1 - 3$

$2x = -2$

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{-2}{2}$

$x = -1$

При возведении в нечетную степень посторонние корни не появляются, но для уверенности можно выполнить проверку. Подставим $x=-1$ в исходное уравнение: $\sqrt[3]{2(-1)+3} = \sqrt[3]{-2+3} = \sqrt[3]{1} = 1$. Равенство $1=1$ верное.

Ответ: $-1$

2) $\sqrt[3]{1-x}=2$

Аналогично предыдущему примеру, возведем обе части уравнения в куб, чтобы убрать радикал:

$(\sqrt[3]{1-x})^3 = 2^3$

Получаем линейное уравнение:

$1-x = 8$

Выразим $x$:

$-x = 8 - 1$

$-x = 7$

$x = -7$

Проверка: подставим $x=-7$ в исходное уравнение: $\sqrt[3]{1-(-7)} = \sqrt[3]{1+7} = \sqrt[3]{8} = 2$. Равенство $2=2$ верное.

Ответ: $-7$

3) $\sqrt[3]{3x^2-3}=\sqrt[3]{8x}$

В данном уравнении кубические корни присутствуют в обеих частях. Возведем обе части в третью степень:

$(\sqrt[3]{3x^2-3})^3 = (\sqrt[3]{8x})^3$

После возведения в степень получаем квадратное уравнение:

$3x^2 - 3 = 8x$

Приведем уравнение к стандартному виду $ax^2+bx+c=0$, перенеся все слагаемые в левую часть:

$3x^2 - 8x - 3 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2-4ac$.

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{8 + 10}{6} = \frac{18}{6} = 3$

$x_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{8 - 10}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Оба корня являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $3; -\frac{1}{3}$

605. 1) $x+1=\sqrt{1-x}$;

2) $x=1+\sqrt{x+11}$;

3) $\sqrt{x+3}=\sqrt{5-x}$;

4) $\sqrt{x^2-x-3}=3$.

1)

Дано иррациональное уравнение: $x+1 = \sqrt{1-x}$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным, и так как корень арифметический (неотрицательный), то и левая часть уравнения должна быть неотрицательной.

$ \begin{cases} 1-x \ge 0 \\ x+1 \ge 0 \end{cases} $

$ \begin{cases} x \le 1 \\ x \ge -1 \end{cases} $

Таким образом, ОДЗ: $x \in [-1; 1]$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(x+1)^2 = (\sqrt{1-x})^2$

$x^2 + 2x + 1 = 1 - x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$x^2 + 2x + x + 1 - 1 = 0$

$x^2 + 3x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x+3) = 0$

Получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -3$.

Проверим, принадлежат ли корни ОДЗ ($x \in [-1; 1]$).

Корень $x_1 = 0$ принадлежит ОДЗ, так как $-1 \le 0 \le 1$.

Корень $x_2 = -3$ не принадлежит ОДЗ, так как $-3 < -1$. Это посторонний корень.

Проверим найденный корень $x=0$ подстановкой в исходное уравнение:

$0+1 = \sqrt{1-0}$

$1 = \sqrt{1}$

$1 = 1$ (верно).

Ответ: $0$.

2)

Дано иррациональное уравнение: $x = 1 + \sqrt{x+11}$.

Сначала изолируем корень:

$x-1 = \sqrt{x+11}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем и левая часть уравнения должны быть неотрицательными.

$ \begin{cases} x+11 \ge 0 \\ x-1 \ge 0 \end{cases} $

$ \begin{cases} x \ge -11 \\ x \ge 1 \end{cases} $

Таким образом, ОДЗ: $x \ge 1$.

Возведем обе части уравнения $x-1 = \sqrt{x+11}$ в квадрат:

$(x-1)^2 = (\sqrt{x+11})^2$

$x^2 - 2x + 1 = x + 11$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 2x - x + 1 - 11 = 0$

$x^2 - 3x - 10 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Ищем два числа, произведение которых равно -10, а сумма равна 3. Это числа 5 и -2.

Корни уравнения: $x_1 = 5$ и $x_2 = -2$.

Проверим, принадлежат ли корни ОДЗ ($x \ge 1$).

Корень $x_1 = 5$ принадлежит ОДЗ, так как $5 \ge 1$.

Корень $x_2 = -2$ не принадлежит ОДЗ, так как $-2 < 1$. Это посторонний корень.

Проверим корень $x=5$ подстановкой в исходное уравнение:

$5 = 1 + \sqrt{5+11}$

$5 = 1 + \sqrt{16}$

$5 = 1 + 4$

$5 = 5$ (верно).

Ответ: $5$.

3)

Дано уравнение: $\sqrt{x+3} = \sqrt{5-x}$.

Найдем ОДЗ. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными.

$ \begin{cases} x+3 \ge 0 \\ 5-x \ge 0 \end{cases} $

$ \begin{cases} x \ge -3 \\ x \le 5 \end{cases} $

Таким образом, ОДЗ: $x \in [-3; 5]$.

Так как обе части уравнения неотрицательны, возведем их в квадрат:

$(\sqrt{x+3})^2 = (\sqrt{5-x})^2$

$x+3 = 5-x$

Решим полученное линейное уравнение:

$x+x = 5-3$

$2x = 2$

$x = 1$

Проверим, принадлежит ли корень ОДЗ ($x \in [-3; 5]$).

Корень $x=1$ принадлежит ОДЗ, так как $-3 \le 1 \le 5$.

Проверим корень подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{1+3} = \sqrt{5-1}$

$\sqrt{4} = \sqrt{4}$

$2 = 2$ (верно).

Ответ: $1$.

4)

Дано уравнение: $\sqrt{x^2 - x - 3} = 3$.

Правая часть уравнения - положительное число, поэтому для нахождения решения достаточно возвести обе части в квадрат. При этом нужно учесть ОДЗ, либо выполнить проверку найденных корней.

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{x^2 - x - 3})^2 = 3^2$

$x^2 - x - 3 = 9$

Перенесем 9 в левую часть:

$x^2 - x - 3 - 9 = 0$

$x^2 - x - 12 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -12. Это числа 4 и -3.

Корни уравнения: $x_1 = 4$ и $x_2 = -3$.

Поскольку возведение в квадрат в данном случае является равносильным преобразованием (так как $3 \ge 0$), оба корня являются решениями. Выполним проверку для уверенности.

Проверка для $x_1 = 4$:

$\sqrt{4^2 - 4 - 3} = \sqrt{16 - 4 - 3} = \sqrt{9} = 3$ (верно).

Проверка для $x_2 = -3$:

$\sqrt{(-3)^2 - (-3) - 3} = \sqrt{9 + 3 - 3} = \sqrt{9} = 3$ (верно).

Оба корня подходят.

Ответ: $-3; 4$.

606. Решить систему уравнений:

1) $ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5, \\ x - y = 10; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = 4, \\ x - y = 24; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} \sqrt{x+1} - \sqrt{y-1} = 1, \\ x - y = 3; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} x + y = 2, \\ \sqrt{x+2} + \sqrt{3-y} = 3. \end{cases} $

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5 \\ x - y = 10 \end{cases} $$

Область допустимых значений (ОДЗ) для этой системы определяется условиями $x \ge 0$ и $y \ge 0$.

Второе уравнение $x - y = 10$ можно представить, используя формулу разности квадратов: $x - y = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})$.

Подставим в это уравнение значение $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 5$ из первого уравнения системы: $10 = (\sqrt{x} - \sqrt{y}) \cdot 5$.

Отсюда находим, что $\sqrt{x} - \sqrt{y} = \frac{10}{5} = 2$.

Теперь мы имеем новую систему линейных уравнений относительно $\sqrt{x}$ и $\sqrt{y}$: $$ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5 \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 2 \end{cases} $$

Сложим эти два уравнения: $(\sqrt{x} + \sqrt{y}) + (\sqrt{x} - \sqrt{y}) = 5 + 2$, что дает $2\sqrt{x} = 7$, откуда $\sqrt{x} = \frac{7}{2}$. Возведя в квадрат, получаем $x = (\frac{7}{2})^2 = \frac{49}{4}$.

Подставим значение $\sqrt{x} = \frac{7}{2}$ в первое уравнение новой системы: $\frac{7}{2} + \sqrt{y} = 5$, откуда $\sqrt{y} = 5 - \frac{7}{2} = \frac{3}{2}$. Возведя в квадрат, получаем $y = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$.

Решение $( \frac{49}{4}; \frac{9}{4} )$ удовлетворяет ОДЗ. Выполним проверку, подставив значения в исходную систему:
$\sqrt{\frac{49}{4}} + \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{7}{2} + \frac{3}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
$\frac{49}{4} - \frac{9}{4} = \frac{40}{4} = 10$.
Оба уравнения верны.

Ответ: $(\frac{49}{4}; \frac{9}{4})$.

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = 4 \\ x - y = 24 \end{cases} $$

ОДЗ: $x \ge 0$, $y \ge 0$.

Используем формулу разности квадратов для второго уравнения: $x - y = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})$.

Подставляем известные значения: $24 = 4 \cdot (\sqrt{x} + \sqrt{y})$. Отсюда $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \frac{24}{4} = 6$.

Получаем новую систему: $$ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 6 \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 4 \end{cases} $$

Сложив уравнения, находим $2\sqrt{x} = 10 \Rightarrow \sqrt{x} = 5 \Rightarrow x = 25$.

Подставив $\sqrt{x} = 5$ в первое уравнение новой системы, получаем $5 + \sqrt{y} = 6 \Rightarrow \sqrt{y} = 1 \Rightarrow y = 1$.

Проверка: $\sqrt{25} - \sqrt{1} = 5 - 1 = 4$. И $25 - 1 = 24$. Решение верное.

Ответ: $(25; 1)$.

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \sqrt{x+1} - \sqrt{y-1} = 1 \\ x - y = 3 \end{cases} $$

ОДЗ: $x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1$ и $y-1 \ge 0 \Rightarrow y \ge 1$.

Преобразуем второе уравнение: $x - y = (x+1) - (y-1) - 2 = 3$, откуда $(x+1) - (y-1) = 5$.

Сделаем замену переменных: $u = \sqrt{x+1}$, $v = \sqrt{y-1}$. При этом $u \ge 0, v \ge 0$. Система принимает вид: $$ \begin{cases} u - v = 1 \\ u^2 - v^2 = 5 \end{cases} $$

Из второго уравнения $u^2 - v^2 = (u-v)(u+v) = 5$. Подставляя $u-v=1$, получаем $1 \cdot (u+v) = 5$, т.е. $u+v=5$.

Решаем систему для $u$ и $v$: $$ \begin{cases} u + v = 5 \\ u - v = 1 \end{cases} $$

Складывая уравнения, получаем $2u=6 \Rightarrow u=3$. Вычитая второе из первого, получаем $2v=4 \Rightarrow v=2$.

Возвращаемся к исходным переменным:
$u = \sqrt{x+1} = 3 \Rightarrow x+1=9 \Rightarrow x=8$.
$v = \sqrt{y-1} = 2 \Rightarrow y-1=4 \Rightarrow y=5$.

Проверка: $\sqrt{8+1} - \sqrt{5-1} = \sqrt{9} - \sqrt{4} = 3-2=1$. И $8-5=3$. Решение верное.

Ответ: $(8; 5)$.

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x + y = 2 \\ \sqrt{x+2} + \sqrt{3-y} = 3 \end{cases} $$

ОДЗ: $x+2 \ge 0 \Rightarrow x \ge -2$ и $3-y \ge 0 \Rightarrow y \le 3$.

Из первого уравнения выразим $y = 2 - x$ и подставим во второе: $\sqrt{x+2} + \sqrt{3-(2-x)} = 3$
$\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1} = 3$

Уединим один из радикалов: $\sqrt{x+2} = 3 - \sqrt{x+1}$.

Возведем обе части в квадрат (при условии $3 - \sqrt{x+1} \ge 0$):
$x+2 = 9 - 6\sqrt{x+1} + (x+1)$
$x+2 = 10 + x - 6\sqrt{x+1}$

Упрощаем уравнение: $-8 = -6\sqrt{x+1}$, откуда $\sqrt{x+1} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.

Возводим в квадрат еще раз: $x+1 = (\frac{4}{3})^2 = \frac{16}{9}$. Отсюда $x = \frac{16}{9} - 1 = \frac{7}{9}$.

Находим $y$: $y = 2 - x = 2 - \frac{7}{9} = \frac{18-7}{9} = \frac{11}{9}$.

Проверим условие возведения в квадрат: $\sqrt{x+1} = \sqrt{\frac{7}{9}+1} = \sqrt{\frac{16}{9}} = \frac{4}{3}$. Тогда $3 - \sqrt{x+1} = 3 - \frac{4}{3} = \frac{5}{3} > 0$, условие выполнено. Решение корректно.

Проверка в исходной системе: $x+y = \frac{7}{9} + \frac{11}{9} = \frac{18}{9} = 2$.
$\sqrt{x+2} + \sqrt{3-y} = \sqrt{\frac{7}{9}+2} + \sqrt{3-\frac{11}{9}} = \sqrt{\frac{25}{9}} + \sqrt{\frac{16}{9}} = \frac{5}{3} + \frac{4}{3} = \frac{9}{3} = 3$.
Решение верное.

Ответ: $(\frac{7}{9}; \frac{11}{9})$.

Решить уравнение (607—613).

607. 1) $\sqrt{x} - x = -12$;

2) $x + \sqrt{x} = 2(x - 1)$;

3) $\sqrt{x - 1} = x - 3$;

4) $\sqrt{6 + x - x^2} = 1 - x$.

1) $\sqrt{x} - x = -12$

Данное уравнение является иррациональным. Перепишем его в виде $x - \sqrt{x} - 12 = 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условием $x \ge 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x}$. Поскольку корень арифметический, должно выполняться условие $t \ge 0$.

Подставив $t$ в уравнение, получим квадратное уравнение:
$t^2 - t - 12 = 0$.

Решим это уравнение с помощью теоремы Виета. Ищем два числа, сумма которых равна 1, а произведение равно -12. Это числа 4 и -3.
$t_1 = 4$, $t_2 = -3$.

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.
$t_1 = 4$ удовлетворяет условию.
$t_2 = -3$ не удовлетворяет условию ($ -3 < 0 $), поэтому это посторонний корень.

Выполним обратную замену для $t_1 = 4$:
$\sqrt{x} = 4$.

Возведем обе части в квадрат, чтобы найти $x$:
$x = 4^2 = 16$.

Проверим найденный корень. Он удовлетворяет ОДЗ ($16 \ge 0$). Подставим его в исходное уравнение:
$\sqrt{16} - 16 = 4 - 16 = -12$.
$-12 = -12$.
Равенство верное, значит, корень найден правильно.

Ответ: $x=16$.

2) $x + \sqrt{x} = 2(x - 1)$

Раскроем скобки в правой части: $x + \sqrt{x} = 2x - 2$.

Определим ОДЗ. Во-первых, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$. Во-вторых, левая часть $x + \sqrt{x}$ для $x \ge 0$ всегда неотрицательна, значит, и правая часть должна быть неотрицательной: $2(x-1) \ge 0$, что дает $x \ge 1$. Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge 1$.

Перенесем все члены, не содержащие корень, в правую часть:
$\sqrt{x} = 2x - x - 2$
$\sqrt{x} = x - 2$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = (x - 2)^2$
$x = x^2 - 4x + 4$.

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$x^2 - 5x + 4 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 4. Корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = 1$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 1$). Оба корня подходят под это условие.

Однако, при возведении в квадрат могли появиться посторонние корни, поэтому необходимо выполнить проверку подстановкой в уравнение *до* возведения в квадрат: $\sqrt{x} = x - 2$.
Для $x_1 = 4$: $\sqrt{4} = 4 - 2 \implies 2 = 2$. Верно.
Для $x_2 = 1$: $\sqrt{1} = 1 - 2 \implies 1 = -1$. Неверно. Значит, $x=1$ — посторонний корень.

Проверка подстановкой в исходное уравнение для $x=4$:
$4 + \sqrt{4} = 2(4 - 1)$
$4 + 2 = 2(3)$
$6 = 6$.
Равенство верное.

Ответ: $x=4$.

3) $\sqrt{x - 1} = x - 3$

Определим ОДЗ. Система условий:
1) $x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$.
2) $x - 3 \ge 0$ (так как значение арифметического корня не может быть отрицательным) $\implies x \ge 3$.
Общее ОДЗ: $x \ge 3$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x - 1})^2 = (x - 3)^2$
$x - 1 = x^2 - 6x + 9$.

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 - 7x + 10 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 7, а произведение 10. Корни: $x_1 = 5$ и $x_2 = 2$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 3$).
$x_1 = 5$ удовлетворяет условию ($5 \ge 3$).
$x_2 = 2$ не удовлетворяет условию ($2 < 3$), следовательно, это посторонний корень.

Выполним проверку для $x=5$ подстановкой в исходное уравнение:
$\sqrt{5 - 1} = 5 - 3$
$\sqrt{4} = 2$
$2 = 2$.
Равенство верное.

Ответ: $x=5$.

4) $\sqrt{6 + x - x^2} = 1 - x$

Определим ОДЗ. Должны выполняться два условия:
1) Подкоренное выражение неотрицательно: $6 + x - x^2 \ge 0$. Умножим на -1: $x^2 - x - 6 \le 0$. Корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$ равны -2 и 3. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями: $-2 \le x \le 3$.
2) Правая часть уравнения неотрицательна: $1 - x \ge 0 \implies x \le 1$.
Объединяя оба условия, получаем ОДЗ: $-2 \le x \le 1$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{6 + x - x^2})^2 = (1 - x)^2$
$6 + x - x^2 = 1 - 2x + x^2$.

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$2x^2 - 3x - 5 = 0$.

Решим это уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm 7}{4}$.
$x_1 = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = 2.5$.
$x_2 = \frac{3 - 7}{4} = \frac{-4}{4} = -1$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($-2 \le x \le 1$).
$x_1 = 2.5$ не принадлежит интервалу $[-2, 1]$, значит, это посторонний корень.
$x_2 = -1$ принадлежит интервалу $[-2, 1]$, значит, это потенциальный корень.

Выполним проверку для $x=-1$ подстановкой в исходное уравнение:
$\sqrt{6 + (-1) - (-1)^2} = 1 - (-1)$
$\sqrt{6 - 1 - 1} = 1 + 1$
$\sqrt{4} = 2$
$2 = 2$.
Равенство верное.

Ответ: $x=-1$.

608. 1) $\sqrt{2x - 34} = 1 + \sqrt{x};$

2) $\sqrt{5x} + \sqrt{14 - x} = 8;$

3) $\sqrt{15 + x} + \sqrt{3 + x} = 6;$

4) $\sqrt{3 - 2x} - \sqrt{1 - x} = 1.$

1) $\sqrt{2x-34}=1+\sqrt{x}$

Первым шагом определим область допустимых значений (ОДЗ). Для этого выражения под знаками квадратного корня должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} 2x - 34 \ge 0 \\ x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 2x \ge 34 \\ x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 17 \\ x \ge 0 \end{cases}$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge 17$.

Теперь возведем обе части исходного уравнения в квадрат, чтобы избавиться от одного из корней:

$(\sqrt{2x-34})^2 = (1+\sqrt{x})^2$

$2x - 34 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{x} + (\sqrt{x})^2$

$2x - 34 = 1 + 2\sqrt{x} + x$

Уединим оставшийся радикал в одной части уравнения:

$2x - x - 34 - 1 = 2\sqrt{x}$

$x - 35 = 2\sqrt{x}$

Поскольку правая часть уравнения ($2\sqrt{x}$) неотрицательна, левая часть также должна быть неотрицательной: $x - 35 \ge 0$, что означает $x \ge 35$. Это более сильное ограничение, чем исходное ОДЗ ($x \ge 17$), поэтому мы будем использовать его.

Снова возведем обе части в квадрат:

$(x - 35)^2 = (2\sqrt{x})^2$

$x^2 - 70x + 1225 = 4x$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 70x - 4x + 1225 = 0$

$x^2 - 74x + 1225 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 74, а их произведение – 1225. Подбором находим корни: $x_1 = 25$ и $x_2 = 49$.

Теперь проверим найденные корни на соответствие условию $x \ge 35$.

Корень $x_1 = 25$ не удовлетворяет этому условию ($25 < 35$), следовательно, это посторонний корень.

Корень $x_2 = 49$ удовлетворяет условию ($49 \ge 35$).

Для полной уверенности выполним проверку подстановкой $x=49$ в исходное уравнение:

Левая часть: $\sqrt{2 \cdot 49 - 34} = \sqrt{98 - 34} = \sqrt{64} = 8$.

Правая часть: $1 + \sqrt{49} = 1 + 7 = 8$.

$8=8$. Равенство верно, значит, корень найден правильно.

Ответ: $49$.

2) $\sqrt{5x}+\sqrt{14-x}=8$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 5x \ge 0 \\ 14 - x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 0 \\ x \le 14 \end{cases}$

Следовательно, ОДЗ: $0 \le x \le 14$.

Уединим один из радикалов. Перенесем $\sqrt{14-x}$ в правую часть:

$\sqrt{5x} = 8 - \sqrt{14-x}$

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{5x})^2 = (8 - \sqrt{14-x})^2$

$5x = 64 - 16\sqrt{14-x} + (14-x)$

$5x = 78 - x - 16\sqrt{14-x}$

Теперь уединим оставшийся радикал:

$16\sqrt{14-x} = 78 - x - 5x$

$16\sqrt{14-x} = 78 - 6x$

Можно сократить обе части уравнения на 2:

$8\sqrt{14-x} = 39 - 3x$

Левая часть неотрицательна, значит $39 - 3x \ge 0 \implies 3x \le 39 \implies x \le 13$. С учетом ОДЗ получаем новое ограничение: $0 \le x \le 13$.

Возводим в квадрат еще раз:

$(8\sqrt{14-x})^2 = (39 - 3x)^2$

$64(14-x) = 1521 - 2 \cdot 39 \cdot 3x + 9x^2$

$896 - 64x = 1521 - 234x + 9x^2$

Приводим к стандартному виду квадратного уравнения:

$9x^2 - 234x + 64x + 1521 - 896 = 0$

$9x^2 - 170x + 625 = 0$

Решаем через дискриминант:

$D = (-170)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 625 = 28900 - 36 \cdot 625 = 28900 - 22500 = 6400 = 80^2$

$x = \frac{170 \pm \sqrt{6400}}{2 \cdot 9} = \frac{170 \pm 80}{18}$

$x_1 = \frac{170+80}{18} = \frac{250}{18} = \frac{125}{9} = 13\frac{8}{9}$

$x_2 = \frac{170-80}{18} = \frac{90}{18} = 5$

Проверим корни по условию $0 \le x \le 13$.

$x_1 = 13\frac{8}{9}$ не удовлетворяет условию $x \le 13$. Это посторонний корень.

$x_2 = 5$ удовлетворяет условию $0 \le 5 \le 13$.

Проверка подстановкой $x=5$ в исходное уравнение:

$\sqrt{5 \cdot 5} + \sqrt{14 - 5} = \sqrt{25} + \sqrt{9} = 5 + 3 = 8$.

$8=8$. Верно.

Ответ: $5$.

3) $\sqrt{15+x}+\sqrt{3+x}=6$

Определим ОДЗ:

$\begin{cases} 15 + x \ge 0 \\ 3 + x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -15 \\ x \ge -3 \end{cases}$

ОДЗ: $x \ge -3$.

Уединим один из радикалов:

$\sqrt{15+x} = 6 - \sqrt{3+x}$

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{15+x})^2 = (6 - \sqrt{3+x})^2$

$15+x = 36 - 12\sqrt{3+x} + (3+x)$

$15+x = 39 + x - 12\sqrt{3+x}$

Упростим уравнение, уединив радикал:

$12\sqrt{3+x} = 39 + x - 15 - x$

$12\sqrt{3+x} = 24$

$\sqrt{3+x} = 2$

Возведем обе части в квадрат:

$3+x = 4$

$x = 1$

Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ: $1 \ge -3$. Удовлетворяет.

Проверка подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{15+1} + \sqrt{3+1} = \sqrt{16} + \sqrt{4} = 4+2=6$.

$6=6$. Верно.

Ответ: $1$.

4) $\sqrt{3-2x}-\sqrt{1-x}=1$

Определим ОДЗ:

$\begin{cases} 3 - 2x \ge 0 \\ 1 - x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 2x \le 3 \\ x \le 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 1.5 \\ x \le 1 \end{cases}$

ОДЗ: $x \le 1$.

Перенесем радикал с отрицательным знаком в правую часть, чтобы упростить возведение в квадрат:

$\sqrt{3-2x} = 1 + \sqrt{1-x}$

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{3-2x})^2 = (1 + \sqrt{1-x})^2$

$3-2x = 1 + 2\sqrt{1-x} + (1-x)$

$3-2x = 2 - x + 2\sqrt{1-x}$

Уединим оставшийся радикал:

$3 - 2x - 2 + x = 2\sqrt{1-x}$

$1 - x = 2\sqrt{1-x}$

Возведем обе части в квадрат. Отметим, что $1-x \ge 0$ по ОДЗ.

$(1-x)^2 = (2\sqrt{1-x})^2$

$(1-x)^2 = 4(1-x)$

Перенесем все в одну часть и разложим на множители:

$(1-x)^2 - 4(1-x) = 0$

$(1-x)((1-x) - 4) = 0$

$(1-x)(-x-3) = 0$

Отсюда получаем два возможных корня:

$1-x=0 \implies x_1=1$

$-x-3=0 \implies x_2=-3$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \le 1$).

Проверим оба корня подстановкой в исходное уравнение.

Для $x=1$: $\sqrt{3-2(1)} - \sqrt{1-1} = \sqrt{1} - \sqrt{0} = 1-0 = 1$. Верно.

Для $x=-3$: $\sqrt{3-2(-3)} - \sqrt{1-(-3)} = \sqrt{3+6} - \sqrt{1+3} = \sqrt{9} - \sqrt{4} = 3-2 = 1$. Верно.

Оба корня являются решениями уравнения.

Ответ: $-3; 1$.

609. 1) $\sqrt{x^2+2} + \sqrt{x^3+x^2} = 0;$

2) $\sqrt[3]{1+x^4} = \sqrt[3]{1+x^2}.$

1) Дано уравнение $\sqrt{x^2 + 2} + \sqrt{x^3 + x^2} = 0$.
По определению, арифметический квадратный корень всегда является неотрицательной величиной. Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю.
Рассмотрим первое слагаемое: $\sqrt{x^2 + 2}$. Для любого действительного числа $x$, выражение $x^2 \ge 0$. Следовательно, $x^2 + 2 \ge 2$. Таким образом, $\sqrt{x^2 + 2} \ge \sqrt{2}$. Это означает, что первое слагаемое всегда строго больше нуля.
Рассмотрим второе слагаемое: $\sqrt{x^3 + x^2}$. Его значение также должно быть неотрицательным.
Сумма строго положительного числа ($\sqrt{x^2 + 2}$) и неотрицательного числа ($\sqrt{x^3 + x^2}$) не может равняться нулю.
Следовательно, данное уравнение не имеет решений в действительных числах.
Ответ: нет решений (или $x \in \emptyset$).

2) Дано уравнение $\sqrt[3]{1 + x^4} = \sqrt[3]{1 + x^2}$.
Поскольку функция кубического корня является взаимно-однозначной, мы можем приравнять подкоренные выражения. Для этого возведем обе части уравнения в третью степень:
$(\sqrt[3]{1 + x^4})^3 = (\sqrt[3]{1 + x^2})^3$
Получим:
$1 + x^4 = 1 + x^2$
Вычтем 1 из обеих частей уравнения и перенесем $x^2$ в левую часть:
$x^4 - x^2 = 0$
Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:
$x^2(x^2 - 1) = 0$
Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для выражения в скобках:
$x^2(x - 1)(x + 1) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем три возможных решения:
$x^2 = 0 \implies x = 0$
$x - 1 = 0 \implies x = 1$
$x + 1 = 0 \implies x = -1$
Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 0, x_3 = 1$.

610. 1) $\sqrt{5-x} - \sqrt{5+x} = 2;$

2) $\sqrt{12+x} - \sqrt{1-x} = 1;$

3) $\sqrt{x-2} + \sqrt{x+6} = 0;$

4) $\sqrt{x+7} + \sqrt{x-2} = 9.$

1)
Исходное уравнение: $\sqrt{5-x} - \sqrt{5+x} = 2$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнями должны быть неотрицательными:
$\begin{cases} 5-x \ge 0 \\ 5+x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 5 \\ x \ge -5 \end{cases}$
Следовательно, ОДЗ: $x \in [-5, 5]$.
Перенесем один из корней в правую часть уравнения:
$\sqrt{5-x} = 2 + \sqrt{5+x}$
Обе части уравнения неотрицательны, поэтому можно возвести их в квадрат:
$(\sqrt{5-x})^2 = (2 + \sqrt{5+x})^2$
$5-x = 4 + 4\sqrt{5+x} + 5+x$
$5-x = 9 + x + 4\sqrt{5+x}$
Уединим оставшийся корень:
$-4-2x = 4\sqrt{5+x}$
Разделим обе части на 2:
$-2-x = 2\sqrt{5+x}$
Правая часть уравнения $2\sqrt{5+x}$ неотрицательна, значит, и левая часть должна быть неотрицательной: $-2-x \ge 0$, что означает $x \le -2$.
С учетом ОДЗ, получаем, что возможное решение должно находиться в промежутке $x \in [-5, -2]$.
Снова возведем обе части в квадрат:
$(-2-x)^2 = (2\sqrt{5+x})^2$
$(x+2)^2 = 4(5+x)$
$x^2 + 4x + 4 = 20 + 4x$
$x^2 = 16$
Отсюда получаем два корня: $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.
Проверим найденные корни. Корень $x=4$ не удовлетворяет условию $x \le -2$, поэтому это посторонний корень. Корень $x=-4$ удовлетворяет условию $x \in [-5, -2]$.
Выполним проверку подстановкой $x=-4$ в исходное уравнение:
$\sqrt{5-(-4)} - \sqrt{5+(-4)} = \sqrt{9} - \sqrt{1} = 3-1 = 2$.
Равенство верно.
Ответ: -4.

2)
Исходное уравнение: $\sqrt{12+x} - \sqrt{1-x} = 1$.
ОДЗ: $\begin{cases} 12+x \ge 0 \\ 1-x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -12 \\ x \le 1 \end{cases}$
ОДЗ: $x \in [-12, 1]$.
Перенесем корень: $\sqrt{12+x} = 1 + \sqrt{1-x}$.
Возведем обе неотрицательные части в квадрат:
$12+x = (1+\sqrt{1-x})^2$
$12+x = 1 + 2\sqrt{1-x} + 1-x$
$12+x = 2 - x + 2\sqrt{1-x}$
$10+2x = 2\sqrt{1-x}$
$5+x = \sqrt{1-x}$
Так как правая часть неотрицательна, то $5+x \ge 0$, откуда $x \ge -5$.
С учетом ОДЗ, получаем $x \in [-5, 1]$.
Возводим в квадрат еще раз:
$(5+x)^2 = 1-x$
$x^2 + 10x + 25 = 1 - x$
$x^2 + 11x + 24 = 0$
Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = -3$, $x_2 = -8$.
Проверяем корни. $x=-8$ не принадлежит промежутку $[-5, 1]$, значит, это посторонний корень. $x=-3$ принадлежит промежутку $[-5, 1]$.
Проверка подстановкой $x=-3$ в исходное уравнение:
$\sqrt{12+(-3)} - \sqrt{1-(-3)} = \sqrt{9} - \sqrt{4} = 3-2=1$.
Равенство верно.
Ответ: -3.

3)
Исходное уравнение: $\sqrt{x-2} + \sqrt{x+6} = 0$.
ОДЗ: $\begin{cases} x-2 \ge 0 \\ x+6 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 2 \\ x \ge -6 \end{cases}$
ОДЗ: $x \ge 2$.
Арифметический квадратный корень является неотрицательной величиной. Таким образом, $\sqrt{x-2} \ge 0$ и $\sqrt{x+6} \ge 0$.
Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю только в том случае, если каждое из слагаемых равно нулю.
$\begin{cases} \sqrt{x-2} = 0 \\ \sqrt{x+6} = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x-2=0 \\ x+6=0 \end{cases} \implies \begin{cases} x=2 \\ x=-6 \end{cases}$
Эта система не имеет решений, так как $x$ не может одновременно равняться 2 и -6.
Следовательно, исходное уравнение не имеет корней.
Ответ: корней нет.

4)
Исходное уравнение: $\sqrt{x+7} + \sqrt{x-2} = 9$.
ОДЗ: $\begin{cases} x+7 \ge 0 \\ x-2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -7 \\ x \ge 2 \end{cases}$
ОДЗ: $x \ge 2$.
Уединим один из корней:
$\sqrt{x+7} = 9 - \sqrt{x-2}$
Правая часть должна быть неотрицательной: $9 - \sqrt{x-2} \ge 0 \implies \sqrt{x-2} \le 9 \implies x-2 \le 81 \implies x \le 83$.
С учетом ОДЗ, $x \in [2, 83]$.
Возведем обе части в квадрат:
$x+7 = (9-\sqrt{x-2})^2$
$x+7 = 81 - 18\sqrt{x-2} + x-2$
$x+7 = 79+x-18\sqrt{x-2}$
$18\sqrt{x-2} = 79 - 7$
$18\sqrt{x-2} = 72$
$\sqrt{x-2} = 4$
Возводим в квадрат:
$x-2 = 16$
$x=18$
Найденный корень $x=18$ удовлетворяет ОДЗ ($18 \ge 2$) и условию $x \in [2, 83]$.
Проверим подстановкой в исходное уравнение:
$\sqrt{18+7} + \sqrt{18-2} = \sqrt{25} + \sqrt{16} = 5+4=9$.
Равенство верно.
Ответ: 18.