Страница 213 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

623. Решить систему неравенств:

1) $\begin{cases} 3-x \le 2, \\ 2x+1 \le 4; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2-1 \ge 0, \\ x > 2; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 9-x^2 \le 0, \\ x+5 < 0. \end{cases}$

1) Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство:
$3 - x \le 2$
Перенесем 3 в правую часть:
$-x \le 2 - 3$
$-x \le -1$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$x \ge 1$

Второе неравенство:
$2x + 1 \le 4$
Перенесем 1 в правую часть:
$2x \le 4 - 1$
$2x \le 3$
разделим обе части на 2:
$x \le 1.5$

Теперь найдем пересечение полученных решений: $x \ge 1$ и $x \le 1.5$.
Это означает, что $x$ должен быть одновременно больше или равен 1 и меньше или равен 1.5.
Общим решением является промежуток $[1; 1.5]$.
Ответ: $x \in [1; 1.5]$.

2) Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство:
$x^2 - 1 \ge 0$
Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:
$(x - 1)(x + 1) \ge 0$
Найдем корни соответствующего уравнения $(x-1)(x+1)=0$. Корни: $x_1 = -1$, $x_2 = 1$.
Это парабола с ветвями вверх, поэтому она принимает неотрицательные значения при $x$ левее меньшего корня и правее большего корня.
Решение неравенства: $x \in (-\infty; -1] \cup [1; \infty)$.

Второе неравенство:
$x > 2$

Найдем пересечение множеств решений: $(-\infty; -1] \cup [1; \infty)$ и $(2; \infty)$.
Совмещая эти условия на числовой прямой, видим, что общим решением является интервал $(2; \infty)$.
Ответ: $x \in (2; \infty)$.

3) Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство:
$9 - x^2 \le 0$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$x^2 - 9 \ge 0$
Разложим левую часть на множители:
$(x - 3)(x + 3) \ge 0$
Корни соответствующего уравнения: $x_1 = -3$, $x_2 = 3$.
Это парабола с ветвями вверх, поэтому она принимает неотрицательные значения при $x \le -3$ или $x \ge 3$.
Решение неравенства: $x \in (-\infty; -3] \cup [3; \infty)$.

Второе неравенство:
$x + 5 < 0$
$x < -5$

Найдем пересечение множеств решений: $(-\infty; -3] \cup [3; \infty)$ и $(-\infty; -5)$.
Область $x \ge 3$ не имеет пересечения с $x < -5$.
Пересечением областей $x \le -3$ и $x < -5$ является интервал $(-\infty; -5)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -5)$.

Решить неравенство (624—629).

624. 1) $\sqrt{x} > 2;$

2) $\sqrt{x} < 3;$

3) $\sqrt[3]{x} \ge 1;$

4) $\sqrt[3]{2x} < 3.$

1) Решим неравенство $ \sqrt{x} > 2 $.

Во-первых, определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $ x \ge 0 $.

Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:

$ (\sqrt{x})^2 > 2^2 $

$ x > 4 $

Теперь необходимо учесть ОДЗ. Решением является пересечение двух условий: $ x > 4 $ и $ x \ge 0 $.

Пересечением этих множеств является $ x > 4 $.

Ответ: $ x \in (4, +\infty) $.

2) Решим неравенство $ \sqrt{x} < 3 $.

Область допустимых значений для данного неравенства определяется условием $ x \ge 0 $, так как подкоренное выражение не может быть отрицательным.

Левая часть неравенства $ \sqrt{x} $ по определению неотрицательна. Правая часть $ 3 $ также положительна. Следовательно, мы можем возвести обе части неравенства в квадрат:

$ (\sqrt{x})^2 < 3^2 $

$ x < 9 $

Объединим полученное решение с ОДЗ. Мы имеем систему неравенств:

$ \begin{cases} x < 9 \\ x \ge 0 \end{cases} $

Решением этой системы является $ 0 \le x < 9 $.

Ответ: $ x \in [0, 9) $.

3) Решим неравенство $ \sqrt[3]{x} \ge 1 $.

Функция кубического корня $ y = \sqrt[3]{x} $ определена для всех действительных чисел $ x $. Поэтому ОДЗ здесь — все действительные числа, $ x \in (-\infty, +\infty) $.

Для решения неравенства возведем обе его части в третью степень. Так как функция $ y = t^3 $ является возрастающей на всей числовой оси, знак неравенства при этом не изменится:

$ (\sqrt[3]{x})^3 \ge 1^3 $

$ x \ge 1 $

Ответ: $ x \in [1, +\infty) $.

4) Решим неравенство $ \sqrt[3]{2x} < 3 $.

Область допустимых значений для кубического корня — все действительные числа. Выражение $ 2x $ может принимать любые значения. Таким образом, ОДЗ: $ x \in (-\infty, +\infty) $.

Возведем обе части неравенства в третью степень. Знак неравенства сохранится, так как функция возведения в куб является монотонно возрастающей:

$ (\sqrt[3]{2x})^3 < 3^3 $

$ 2x < 27 $

Разделим обе части на 2:

$ x < \frac{27}{2} $

$ x < 13.5 $

Ответ: $ x \in (-\infty, 13.5) $.

625. 1) $\sqrt{x-2} > 3$;

2) $\sqrt{x-2} < 1$;

3) $\sqrt{3-x} < 5$;

4) $\sqrt{4-x} > 3$;

5) $\sqrt{2x-3} > 4$;

6) $\sqrt{4x+5} \leq \frac{1}{2}$.

1) $\sqrt{x-2} > 3$

Для решения иррационального неравенства сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$x - 2 \ge 0$
$x \ge 2$

Поскольку обе части неравенства ($\sqrt{x-2}$ и $3$) неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:
$(\sqrt{x-2})^2 > 3^2$
$x - 2 > 9$
$x > 11$

Теперь найдём пересечение полученного решения с ОДЗ. Мы имеем систему:
$\begin{cases} x \ge 2 \\ x > 11 \end{cases}$
Пересечением этих условий является $x > 11$.

Ответ: $(11, +\infty)$

2) $\sqrt{x-2} < 1$

ОДЗ:
$x - 2 \ge 0$
$x \ge 2$

Возводим в квадрат обе части неравенства, так как они неотрицательны:
$(\sqrt{x-2})^2 < 1^2$
$x - 2 < 1$
$x < 3$

Найдём пересечение решения с ОДЗ:
$\begin{cases} x \ge 2 \\ x < 3 \end{cases}$
Решением системы является интервал $2 \le x < 3$.

Ответ: $[2, 3)$

3) $\sqrt{3-x} < 5$

ОДЗ:
$3 - x \ge 0$
$x \le 3$

Возводим в квадрат обе части неравенства:
$(\sqrt{3-x})^2 < 5^2$
$3 - x < 25$
$-x < 22$
$x > -22$

Найдём пересечение решения с ОДЗ:
$\begin{cases} x \le 3 \\ x > -22 \end{cases}$
Решением системы является интервал $-22 < x \le 3$.

Ответ: $(-22, 3]$

4) $\sqrt{4-x} > 3$

ОДЗ:
$4 - x \ge 0$
$x \le 4$

Возводим в квадрат обе части неравенства:
$(\sqrt{4-x})^2 > 3^2$
$4 - x > 9$
$-x > 5$
$x < -5$

Найдём пересечение решения с ОДЗ:
$\begin{cases} x \le 4 \\ x < -5 \end{cases}$
Пересечением этих условий является $x < -5$.

Ответ: $(-\infty, -5)$

5) $\sqrt{2x-3} > 4$

ОДЗ:
$2x - 3 \ge 0$
$2x \ge 3$
$x \ge \frac{3}{2}$

Возводим в квадрат обе части неравенства:
$(\sqrt{2x-3})^2 > 4^2$
$2x - 3 > 16$
$2x > 19$
$x > \frac{19}{2}$

Найдём пересечение решения с ОДЗ:
$\begin{cases} x \ge \frac{3}{2} \\ x > \frac{19}{2} \end{cases}$
Поскольку $\frac{19}{2} = 9.5$ и $\frac{3}{2} = 1.5$, пересечением является $x > \frac{19}{2}$.

Ответ: $(\frac{19}{2}, +\infty)$

6) $\sqrt{4x+5} \le \frac{1}{2}$

ОДЗ:
$4x + 5 \ge 0$
$4x \ge -5$
$x \ge -\frac{5}{4}$

Возводим в квадрат обе части неравенства:
$(\sqrt{4x+5})^2 \le (\frac{1}{2})^2$
$4x + 5 \le \frac{1}{4}$
$4x \le \frac{1}{4} - 5$
$4x \le \frac{1}{4} - \frac{20}{4}$
$4x \le -\frac{19}{4}$
$x \le -\frac{19}{16}$

Найдём пересечение решения с ОДЗ:
$\begin{cases} x \ge -\frac{5}{4} \\ x \le -\frac{19}{16} \end{cases}$
Приведём дроби к общему знаменателю: $-\frac{5}{4} = -\frac{20}{16}$. Система примет вид:
$\begin{cases} x \ge -\frac{20}{16} \\ x \le -\frac{19}{16} \end{cases}$
Решением является отрезок $-\frac{20}{16} \le x \le -\frac{19}{16}$, или $-\frac{5}{4} \le x \le -\frac{19}{16}$.

Ответ: $[-\frac{5}{4}, -\frac{19}{16}]$

626. 1) $\sqrt{x^2 - 1} > 1;$

2) $\sqrt{1 - x^2} < 1;$

3) $\sqrt{25 - x^2} > 4;$

4) $\sqrt{25 - x^2} < 4.$

1)

Дано неравенство $\sqrt{x^2 - 1} > 1$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x^2 - 1 \ge 0$

$(x - 1)(x + 1) \ge 0$

Решением этого неравенства является объединение интервалов $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

Теперь решим исходное неравенство. Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:

$(\sqrt{x^2 - 1})^2 > 1^2$

$x^2 - 1 > 1$

$x^2 > 2$

Это неравенство выполняется, когда $|x| > \sqrt{2}$, то есть $x > \sqrt{2}$ или $x < -\sqrt{2}$.

В виде интервалов это записывается как $x \in (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$.

Теперь найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

ОДЗ: $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$

Решение: $x \in (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$

Так как $-\sqrt{2} < -1$ и $\sqrt{2} > 1$, то полученное решение полностью входит в ОДЗ. Следовательно, оно и является окончательным ответом.

Ответ: $x \in (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$.

2)

Дано неравенство $\sqrt{1 - x^2} < 1$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$1 - x^2 \ge 0$

$x^2 \le 1$

Это означает, что $-1 \le x \le 1$, то есть $x \in [-1, 1]$.

Исходное неравенство можно представить в виде двойного неравенства, так как корень всегда неотрицателен:

$0 \le \sqrt{1 - x^2} < 1$

Поскольку все части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат:

$0^2 \le (\sqrt{1 - x^2})^2 < 1^2$

$0 \le 1 - x^2 < 1$

Это можно разбить на систему из двух неравенств:

$\begin{cases} 1 - x^2 \ge 0 \\ 1 - x^2 < 1 \end{cases}$

Первое неравенство $1 - x^2 \ge 0$ совпадает с нашим ОДЗ: $x \in [-1, 1]$.

Решим второе неравенство:

$1 - x^2 < 1$

$-x^2 < 0$

$x^2 > 0$

Это неравенство верно для всех $x$, кроме $x=0$. То есть $x \in (-\infty, 0) \cup (0, \infty)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств (что эквивалентно пересечению с ОДЗ):

$x \in [-1, 1]$ и $x \neq 0$.

Объединяя эти условия, получаем решение: $x \in [-1, 0) \cup (0, 1]$.

Ответ: $x \in [-1, 0) \cup (0, 1]$.

3)

Дано неравенство $\sqrt{25 - x^2} > 4$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$25 - x^2 \ge 0$

$x^2 \le 25$

Отсюда следует, что $-5 \le x \le 5$, то есть $x \in [-5, 5]$.

Теперь решим исходное неравенство. Обе части неравенства неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат:

$(\sqrt{25 - x^2})^2 > 4^2$

$25 - x^2 > 16$

Перенесем члены, чтобы выделить $x^2$:

$25 - 16 > x^2$

$9 > x^2$ или $x^2 < 9$

Это неравенство выполняется при $|x| < 3$, что эквивалентно $-3 < x < 3$.

В виде интервала это записывается как $x \in (-3, 3)$.

Теперь необходимо учесть ОДЗ. Найдем пересечение полученного решения и ОДЗ:

Решение: $x \in (-3, 3)$

ОДЗ: $x \in [-5, 5]$

Интервал $(-3, 3)$ полностью содержится в интервале $[-5, 5]$, поэтому пересечением будет сам интервал $(-3, 3)$.

Ответ: $x \in (-3, 3)$.

4)

Дано неравенство $\sqrt{25 - x^2} < 4$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), как и в предыдущем задании:

$25 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 25 \implies -5 \le x \le 5$.

Итак, ОДЗ: $x \in [-5, 5]$.

Поскольку квадратный корень всегда неотрицателен, исходное неравенство эквивалентно двойному неравенству:

$0 \le \sqrt{25 - x^2} < 4$

Возведем все части неравенства в квадрат:

$0 \le 25 - x^2 < 16$

Это система из двух неравенств:

$\begin{cases} 25 - x^2 \ge 0 \\ 25 - x^2 < 16 \end{cases}$

Первое неравенство $25 - x^2 \ge 0$ соответствует ОДЗ, его решение $x \in [-5, 5]$.

Решим второе неравенство:

$25 - x^2 < 16$

$25 - 16 < x^2$

$9 < x^2$ или $x^2 > 9$

Решением этого неравенства является $x > 3$ или $x < -3$, что в виде интервалов записывается как $x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$.

Теперь найдем пересечение решения второго неравенства с ОДЗ:

$x \in [-5, 5]$ и $x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$.

Пересечение этих множеств дает нам два интервала: $[-5, -3)$ и $(3, 5]$.

Таким образом, окончательное решение - это объединение этих интервалов.

Ответ: $x \in [-5, -3) \cup (3, 5]$.

627. 1) $\sqrt{2x^2 + 3x - 2} > 0$;

2) $\sqrt{2 + x - x^2} > -1$;

3) $\sqrt{x^2 + 2x} > -3 - x^2$;

4) $\sqrt{4x - x^2} > -2 - 3x^2$.

1) $\sqrt{2x^2 + 3x - 2} > 0$

Квадратный корень является строго положительным тогда и только тогда, когда выражение под корнем строго положительно. Следовательно, данное неравенство равносильно следующему:

$2x^2 + 3x - 2 > 0$

Для решения этого квадратичного неравенства сначала найдем корни уравнения $2x^2 + 3x - 2 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.

Корни уравнения равны:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Графиком функции $y = 2x^2 + 3x - 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($2 > 0$). Значения функции положительны вне интервала между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $x < -2$ или $x > \frac{1}{2}$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$.

2) $\sqrt{2 + x - x^2} > -1$

Левая часть неравенства, $\sqrt{2 + x - x^2}$, представляет собой арифметический квадратный корень, который по определению всегда неотрицателен, то есть $\sqrt{2 + x - x^2} \ge 0$.

Правая часть неравенства равна -1.

Поскольку любое неотрицательное число всегда больше любого отрицательного числа, данное неравенство будет верным для всех значений $x$, при которых выражение под корнем имеет смысл (т.е. является неотрицательным).

Таким образом, задача сводится к нахождению области определения функции $y = \sqrt{2 + x - x^2}$.

$2 + x - x^2 \ge 0$

Умножим неравенство на -1 и сменим знак:

$x^2 - x - 2 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.

Парабола $y = x^2 - x - 2$ имеет ветви, направленные вверх. Неравенство $x^2 - x - 2 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями.

Следовательно, решение: $-1 \le x \le 2$.

Ответ: $x \in [-1; 2]$.

3) $\sqrt{x^2 + 2x} > -3 - x^2$

Левая часть неравенства, $\sqrt{x^2 + 2x}$, по определению неотрицательна ($\ge 0$) для всех $x$ из области ее определения.

Рассмотрим правую часть: $-3 - x^2$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $-x^2 \le 0$, и, следовательно, $-3 - x^2 \le -3$. Таким образом, правая часть неравенства всегда отрицательна.

Неотрицательное число всегда больше отрицательного. Значит, неравенство справедливо для всех $x$, при которых левая часть определена.

Найдем область определения, решив неравенство:

$x^2 + 2x \ge 0$

Вынесем $x$ за скобки: $x(x+2) \ge 0$.

Корни уравнения $x(x+2)=0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$.

Парабола $y=x^2+2x$ имеет ветви, направленные вверх. Неравенство $x(x+2) \ge 0$ выполняется при значениях $x$ не между корнями (включая сами корни).

Таким образом, $x \le -2$ или $x \ge 0$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup [0; +\infty)$.

4) $\sqrt{4x - x^2} > -2 - 3x^2$

Левая часть неравенства, $\sqrt{4x - x^2}$, по определению неотрицательна ($\ge 0$) для всех $x$ из области ее определения.

Рассмотрим правую часть: $-2 - 3x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то $3x^2 \ge 0$, а $-3x^2 \le 0$. Следовательно, $-2 - 3x^2 \le -2$. Правая часть всегда отрицательна.

Поскольку любое неотрицательное число всегда больше любого отрицательного, неравенство будет верным для всех $x$, при которых подкоренное выражение имеет смысл.

Найдем область определения, решив неравенство:

$4x - x^2 \ge 0$

Умножим на -1 и изменим знак неравенства:

$x^2 - 4x \le 0$

Вынесем $x$ за скобки: $x(x-4) \le 0$.

Корни уравнения $x(x-4)=0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.

Парабола $y=x^2-4x$ имеет ветви, направленные вверх. Неравенство $x(x-4) \le 0$ выполняется на отрезке между корнями.

Таким образом, $0 \le x \le 4$.

Ответ: $x \in [0; 4]$.

628. 1) $\sqrt{x+2} > \sqrt{4-x};$

2) $\sqrt{3+2x} \ge \sqrt{x+1};$

3) $\sqrt{3x-2} > x-2;$

4) $\sqrt{3-x} < \sqrt{3x-5}.$

1) Решим неравенство $\sqrt{x+2} > \sqrt{4-x}$.

Это неравенство вида $\sqrt{f(x)} > \sqrt{g(x)}$, которое равносильно системе, в которой подкоренное выражение с меньшей стороны должно быть неотрицательным, а подкоренное выражение с большей стороны должно быть строго больше.

$\begin{cases} x+2 > 4-x \\ 4-x \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство системы:

$x+2 > 4-x \implies 2x > 4-2 \implies 2x > 2 \implies x > 1$.

Решим второе неравенство системы:

$4-x \ge 0 \implies 4 \ge x \implies x \le 4$.

Решением системы является пересечение полученных множеств: $x > 1$ и $x \le 4$.

Таким образом, решением неравенства является промежуток $(1, 4]$.

Ответ: $(1, 4]$.

2) Решим неравенство $\sqrt{3+2x} \ge \sqrt{x+1}$.

Неравенство вида $\sqrt{f(x)} \ge \sqrt{g(x)}$ равносильно системе:

$\begin{cases} 3+2x \ge x+1 \\ x+1 \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство системы:

$3+2x \ge x+1 \implies 2x-x \ge 1-3 \implies x \ge -2$.

Решим второе неравенство системы:

$x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$.

Найдем пересечение решений $x \ge -2$ и $x \ge -1$. Общим решением будет $x \ge -1$.

Решение можно записать в виде промежутка $[-1, +\infty)$.

Ответ: $[-1, +\infty)$.

3) Решим неравенство $\sqrt{3x-2} > x-2$.

Это неравенство вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$. Его решение эквивалентно совокупности двух систем, которые рассматриваются в зависимости от знака выражения $g(x)$.

Случай 1: Правая часть неравенства отрицательна. В этом случае неравенство выполняется для всех $x$ из области определения подкоренного выражения.

$\begin{cases} x-2 < 0 \\ 3x-2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 2 \\ 3x \ge 2 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 2 \\ x \ge \frac{2}{3} \end{cases}$

Решением этой системы является промежуток $[\frac{2}{3}, 2)$.

Случай 2: Правая часть неравенства неотрицательна. В этом случае обе части неравенства можно возвести в квадрат.

$\begin{cases} x-2 \ge 0 \\ 3x-2 > (x-2)^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 2 \\ 3x-2 > x^2-4x+4 \end{cases}$

Решим второе неравенство в системе:

$0 > x^2 - 4x - 3x + 4 + 2 \implies x^2 - 7x + 6 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 7x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=1$, $x_2=6$.

Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $x^2 - 7x + 6 < 0$ выполняется при $x \in (1, 6)$.

Теперь найдем пересечение этого решения с условием $x \ge 2$: $x \in (1, 6) \cap [2, +\infty)$, что дает $x \in [2, 6)$.

Общее решение исходного неравенства является объединением решений двух случаев:

$[\frac{2}{3}, 2) \cup [2, 6) = [\frac{2}{3}, 6)$.

Ответ: $[\frac{2}{3}, 6)$.

4) Решим неравенство $\sqrt{3-x} < \sqrt{3x-5}$.

Данное неравенство вида $\sqrt{f(x)} < \sqrt{g(x)}$ равносильно системе:

$\begin{cases} 3-x < 3x-5 \\ 3-x \ge 0 \end{cases}$

Условие $3x-5 \ge 0$ выполняется автоматически, так как из системы следует, что $3x-5 > 3-x \ge 0$.

Решим первое неравенство системы:

$3+5 < 3x+x \implies 8 < 4x \implies x > 2$.

Решим второе неравенство системы:

$3-x \ge 0 \implies 3 \ge x \implies x \le 3$.

Найдем пересечение решений: $x > 2$ и $x \le 3$.

Решением является интервал $(2, 3]$.

Ответ: $(2, 3]$.

629. 1) $\sqrt{x+1} - \sqrt{x} < \sqrt{x-1}$;

2) $\sqrt{x+3} < \sqrt{7-x} + \sqrt{10-x}$.

1) $\sqrt{x+1}-\sqrt{x} < \sqrt{x-1}$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Все подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$ \begin{cases} x+1 \ge 0 \\ x \ge 0 \\ x-1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1 \\ x \ge 0 \\ x \ge 1 \end{cases} $

Пересечением этих условий является $x \ge 1$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [1, +\infty)$.

Перепишем неравенство в виде $\sqrt{x+1} < \sqrt{x} + \sqrt{x-1}$.

При $x \ge 1$ обе части неравенства положительны, поэтому мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:

$(\sqrt{x+1})^2 < (\sqrt{x} + \sqrt{x-1})^2$

$x+1 < (\sqrt{x})^2 + 2\sqrt{x}\sqrt{x-1} + (\sqrt{x-1})^2$

$x+1 < x + 2\sqrt{x(x-1)} + x - 1$

$x+1 < 2x - 1 + 2\sqrt{x^2-x}$

Уединим корень:

$1+1 - 2x+x < 2\sqrt{x^2-x}$

$2-x < 2\sqrt{x^2-x}$

Рассмотрим два случая в зависимости от знака выражения $2-x$.

Случай 1: Левая часть отрицательна, то есть $2-x < 0 \implies x > 2$.

В этом случае неравенство выполняется всегда, так как отрицательное число всегда меньше неотрицательного (правая часть $2\sqrt{x^2-x}$ неотрицательна). Учитывая ОДЗ ($x \ge 1$) и условие этого случая ($x > 2$), получаем решение $x > 2$.

Случай 2: Левая часть неотрицательна, то есть $2-x \ge 0 \implies x \le 2$.

В этом случае обе части неравенства неотрицательны, и мы можем снова возвести их в квадрат:

$(2-x)^2 < (2\sqrt{x^2-x})^2$

$4-4x+x^2 < 4(x^2-x)$

$4-4x+x^2 < 4x^2-4x$

$4 < 3x^2$

$x^2 > \frac{4}{3}$

Это неравенство равносильно совокупности $x > \sqrt{\frac{4}{3}}$ или $x < -\sqrt{\frac{4}{3}}$.

$x > \frac{2}{\sqrt{3}}$ или $x < -\frac{2}{\sqrt{3}}$.

Теперь найдем пересечение этого решения с условиями данного случая ($x \le 2$) и ОДЗ ($x \ge 1$).

Интервал $x < -\frac{2}{\sqrt{3}}$ не пересекается с $x \ge 1$.

Для интервала $x > \frac{2}{\sqrt{3}}$ найдем пересечение с $1 \le x \le 2$. Так как $1 < \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.155 < 2$, решением в этом случае будет $x \in (\frac{2}{\sqrt{3}}, 2]$.

Объединим решения обоих случаев:

Из случая 1: $x \in (2, +\infty)$.

Из случая 2: $x \in (\frac{2}{\sqrt{3}}, 2]$.

Объединяя эти два множества, получаем итоговый результат: $x \in (\frac{2}{\sqrt{3}}, +\infty)$.

Ответ: $x \in (\frac{2}{\sqrt{3}}, +\infty)$.

2) $\sqrt{x+3} < \sqrt{7-x} + \sqrt{10-x}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$ \begin{cases} x+3 \ge 0 \\ 7-x \ge 0 \\ 10-x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -3 \\ x \le 7 \\ x \le 10 \end{cases} $

Пересечением этих условий является $-3 \le x \le 7$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [-3, 7]$.

В области допустимых значений обе части неравенства неотрицательны. Следовательно, мы можем возвести обе части в квадрат:

$(\sqrt{x+3})^2 < (\sqrt{7-x} + \sqrt{10-x})^2$

$x+3 < (7-x) + 2\sqrt{(7-x)(10-x)} + (10-x)$

$x+3 < 17-2x + 2\sqrt{x^2-17x+70}$

Перенесем слагаемые без корня в левую часть:

$x+3 - 17+2x < 2\sqrt{x^2-17x+70}$

$3x-14 < 2\sqrt{x^2-17x+70}$

Рассмотрим два случая в зависимости от знака выражения $3x-14$.

Случай 1: Левая часть отрицательна, $3x-14 < 0 \implies 3x < 14 \implies x < \frac{14}{3}$.

В этом случае неравенство верно, так как отрицательное число всегда меньше неотрицательного. Учитывая ОДЗ ($x \in [-3, 7]$) и условие $x < \frac{14}{3}$ (где $\frac{14}{3} = 4\frac{2}{3}$), получаем решение для этого случая: $x \in [-3, \frac{14}{3})$.

Случай 2: Левая часть неотрицательна, $3x-14 \ge 0 \implies x \ge \frac{14}{3}$.

В этом случае обе части неравенства неотрицательны, и мы можем снова возвести их в квадрат:

$(3x-14)^2 < (2\sqrt{x^2-17x+70})^2$

$9x^2 - 84x + 196 < 4(x^2-17x+70)$

$9x^2 - 84x + 196 < 4x^2 - 68x + 280$

$5x^2 - 16x - 84 < 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни уравнения $5x^2 - 16x - 84 = 0$.

Дискриминант $D = (-16)^2 - 4(5)(-84) = 256 + 1680 = 1936 = 44^2$.

$x_1 = \frac{16 - 44}{2 \cdot 5} = \frac{-28}{10} = -2.8$

$x_2 = \frac{16 + 44}{2 \cdot 5} = \frac{60}{10} = 6$

Так как ветви параболы $y=5x^2-16x-84$ направлены вверх, неравенство $5x^2 - 16x - 84 < 0$ выполняется между корнями: $x \in (-2.8, 6)$.

Найдем пересечение этого решения с условиями данного случая ($x \ge \frac{14}{3}$) и ОДЗ ($x \in [-3, 7]$). Объединенные условия для этого случая: $x \in [\frac{14}{3}, 7]$.

Пересечение $(-2.8, 6)$ и $[\frac{14}{3}, 7]$ (учитывая, что $\frac{14}{3} \approx 4.67$) дает нам интервал $[\frac{14}{3}, 6)$.

Объединим решения обоих случаев:

Из случая 1: $x \in [-3, \frac{14}{3})$.

Из случая 2: $x \in [\frac{14}{3}, 6)$.

Общее решение является объединением этих двух множеств: $x \in [-3, 6)$.

Ответ: $x \in [-3, 6)$.

Решить графически неравенство (630—631).

630. 1) $\sqrt{x} \ge x$; 2) $\sqrt{x} < x$; 3) $\sqrt{x} > x - 2$; 4) $\sqrt{x} \le x - 2$.

Для графического решения неравенств мы построим графики функций, находящихся в левой и правой частях каждого неравенства, в одной системе координат. Затем мы определим, на каких промежутках один график расположен выше, ниже или на том же уровне, что и другой, в соответствии со знаком неравенства.

1) Решить неравенство $ \sqrt{x} \ge x $.

Рассмотрим две функции: $ y = \sqrt{x} $ и $ y = x $. Область определения функции $ y = \sqrt{x} $ — это $ x \ge 0 $.

Построим графики этих функций:

• График функции $ y = \sqrt{x} $ — это ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox, расположенная в первой координатной четверти. График выходит из точки (0, 0) и проходит через точки (1, 1) и (4, 2).
• График функции $ y = x $ — это прямая, являющаяся биссектрисой первого и третьего координатных углов. Она проходит через точки (0, 0) и (1, 1).

Найдем точки пересечения графиков, решив уравнение $ \sqrt{x} = x $. Возведя обе части в квадрат, получим $ x = x^2 $. Перенесем все в одну сторону: $ x^2 - x = 0 $, или $ x(x-1) = 0 $. Корни уравнения: $ x_1 = 0 $, $ x_2 = 1 $. Таким образом, графики пересекаются в точках (0, 0) и (1, 1).

Теперь определим, на каком промежутке выполняется неравенство $ \sqrt{x} \ge x $, то есть где график функции $ y = \sqrt{x} $ находится не ниже графика функции $ y = x $. Из графика видно, что на интервале от 0 до 1 (включая концы) кривая $ y = \sqrt{x} $ расположена выше или совпадает с прямой $ y = x $. Например, при $ x = 0.25 $, $ \sqrt{0.25} = 0.5 $, и $ 0.5 > 0.25 $. При $ x > 1 $ прямая $ y = x $ оказывается выше кривой $ y = \sqrt{x} $.

Следовательно, решением неравенства является промежуток $ [0; 1] $.

Ответ: $ [0; 1] $.

2) Решить неравенство $ \sqrt{x} < x $.

Мы используем те же графики функций $ y = \sqrt{x} $ и $ y = x $, что и в предыдущем пункте. Точки их пересечения — (0, 0) и (1, 1).

Нам нужно найти значения $ x $, для которых выполняется неравенство $ \sqrt{x} < x $, то есть где график функции $ y = \sqrt{x} $ находится строго ниже графика функции $ y = x $.

Анализируя взаимное расположение графиков, видим, что прямая $ y = x $ проходит выше кривой $ y = \sqrt{x} $ при $ x > 1 $. В точке $ x = 1 $ значения функций равны, поэтому она не входит в решение. При $ 0 \le x < 1 $ график $ y = \sqrt{x} $ находится выше.

Следовательно, решением неравенства является промежуток $ (1; +\infty) $.

Ответ: $ (1; +\infty) $.

3) Решить неравенство $ \sqrt{x} > x - 2 $.

Рассмотрим функции $ y = \sqrt{x} $ и $ y = x - 2 $. Область определения неравенства задается условием $ x \ge 0 $.

Построим графики этих функций:

• График функции $ y = \sqrt{x} $ — та же ветвь параболы.
• График функции $ y = x - 2 $ — это прямая, параллельная прямой $ y=x $ и смещенная на 2 единицы вниз по оси Oy. Она пересекает ось Ox в точке (2, 0) и ось Oy в точке (0, -2).

Найдем точки пересечения графиков, решив уравнение $ \sqrt{x} = x - 2 $. Поскольку левая часть $ \sqrt{x} $ неотрицательна, правая часть также должна быть неотрицательной: $ x - 2 \ge 0 $, то есть $ x \ge 2 $. Возведем обе части уравнения в квадрат: $ x = (x-2)^2 \Rightarrow x = x^2 - 4x + 4 $. Получаем квадратное уравнение: $ x^2 - 5x + 4 = 0 $. Его корни: $ x_1 = 1 $, $ x_2 = 4 $ (по теореме Виета). Проверим корни с учетом условия $ x \ge 2 $. Корень $ x_1 = 1 $ не удовлетворяет этому условию, это посторонний корень. Корень $ x_2 = 4 $ удовлетворяет. Итак, графики пересекаются в одной точке (4, 2).

Нам нужно найти, где график $ y = \sqrt{x} $ лежит выше графика $ y = x - 2 $. Рассмотрим область определения $ x \ge 0 $. На промежутке $ [0; 2) $ значения функции $ y = x - 2 $ отрицательны, а значения $ y = \sqrt{x} $ неотрицательны. Следовательно, на этом промежутке неравенство $ \sqrt{x} > x-2 $ всегда выполняется. На промежутке $ [2; +\infty) $ обе функции неотрицательны. График $ y=\sqrt{x} $ находится выше графика $ y=x-2 $ до их точки пересечения $ x=4 $. При $ x > 4 $ прямая уходит вверх быстрее, чем кривая. Объединяя промежутки $ [0; 2) $ и $ [2; 4) $, получаем итоговое решение.

Следовательно, решением неравенства является промежуток $ [0; 4) $.

Ответ: $ [0; 4) $.

4) Решить неравенство $ \sqrt{x} \le x - 2 $.

Используем графики функций $ y = \sqrt{x} $ и $ y = x - 2 $ и точку их пересечения (4, 2) из предыдущего пункта.

Нам нужно найти значения $ x $, для которых выполняется неравенство $ \sqrt{x} \le x - 2 $, то есть где график функции $ y = \sqrt{x} $ находится не выше (ниже или на том же уровне) графика функции $ y = x - 2 $.

Из анализа в пункте 3) мы знаем, что при $ x > 4 $ график $ y = x - 2 $ находится выше графика $ y = \sqrt{x} $. В точке $ x = 4 $ их значения равны. Следовательно, неравенство $ \sqrt{x} \le x - 2 $ выполняется для всех $ x $, начиная с точки пересечения.

Таким образом, решением неравенства является промежуток $ [4; +\infty) $.

Ответ: $ [4; +\infty) $.

631. 1) $\sqrt{x} \le 2x$;

2) $\sqrt{x} > 0.5x$;

3) $\sqrt{x} \ge 2x-1$;

4) $\sqrt{x} \ge x^2$.

1) $\sqrt{x} \le 2x$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$. Также, поскольку $\sqrt{x} \ge 0$, правая часть неравенства тоже должна быть неотрицательной для существования решений (кроме $x=0$), то есть $2x \ge 0$, что снова дает $x \ge 0$. Итак, ОДЗ: $x \ge 0$.

При $x=0$ неравенство $ \sqrt{0} \le 2 \cdot 0 $ превращается в $0 \le 0$, что является верным. Значит, $x=0$ — это одно из решений.

При $x > 0$ обе части неравенства положительны, поэтому мы можем возвести обе части в квадрат, не меняя знака неравенства:
$(\sqrt{x})^2 \le (2x)^2$
$x \le 4x^2$
$4x^2 - x \ge 0$

Вынесем $x$ за скобки:
$x(4x - 1) \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни уравнения $x(4x - 1) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 1/4$. Поскольку это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при $x \le 0$ или $x \ge 1/4$.

Теперь объединим полученное решение с ОДЗ ($x \ge 0$). Решение $x \le 0$ с учетом ОДЗ дает только точку $x=0$. Решение $x \ge 1/4$ с учетом ОДЗ остается $x \ge 1/4$.

Объединяя эти результаты, получаем итоговое решение.
Ответ: $x=0$ и $x \ge 1/4$, или в виде множества $x \in \{0\} \cup [1/4, +\infty)$.

2) $\sqrt{x} > 0.5x$

ОДЗ: $x \ge 0$. Если $x=0$, неравенство $\sqrt{0} > 0.5 \cdot 0$ становится $0 > 0$, что неверно. Следовательно, $x \ne 0$. Таким образом, мы ищем решения при $x > 0$.

При $x > 0$ обе части неравенства положительны. Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 > (0.5x)^2$
$x > 0.25x^2$
$0.25x^2 - x < 0$

Вынесем $x$ за скобки:
$x(0.25x - 1) < 0$

Решим методом интервалов. Корни уравнения $x(0.25x - 1) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$. Парабола $y = 0.25x^2 - x$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $0 < x < 4$.

Это решение полностью удовлетворяет нашему условию $x > 0$.
Ответ: $0 < x < 4$, или $x \in (0, 4)$.

3) $\sqrt{x} \ge 2x - 1$

ОДЗ: $x \ge 0$. Решение иррациональных неравенств вида $\sqrt{f(x)} \ge g(x)$ равносильно совокупности двух систем:

Система 1: Правая часть отрицательна.
$\begin{cases} g(x) < 0 \\ f(x) \ge 0 \end{cases}$
В нашем случае:
$\begin{cases} 2x - 1 < 0 \\ x \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 1/2 \\ x \ge 0 \end{cases}$
Решением этой системы является промежуток $[0, 1/2)$. Для всех $x$ из этого промежутка левая часть ($\sqrt{x}$) неотрицательна, а правая ($2x-1$) отрицательна, поэтому неравенство выполняется.

Система 2: Правая часть неотрицательна.
$\begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) \ge (g(x))^2 \end{cases}$
В этом случае обе части неравенства неотрицательны, и мы можем возвести их в квадрат:
$\begin{cases} 2x - 1 \ge 0 \\ x \ge (2x - 1)^2 \end{cases}$

Решим второе неравенство системы:
$x \ge 4x^2 - 4x + 1$
$4x^2 - 5x + 1 \le 0$
Найдем корни квадратного трехчлена $4x^2 - 5x + 1 = 0$. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9$.
$x_1 = \frac{5 - \sqrt{9}}{8} = \frac{5 - 3}{8} = \frac{2}{8} = 1/4$.
$x_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{8} = \frac{5 + 3}{8} = \frac{8}{8} = 1$.
Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства $4x^2 - 5x + 1 \le 0$ есть отрезок $[1/4, 1]$.

Теперь вернемся к Системе 2 и найдем пересечение ее решений:
$\begin{cases} x \ge 1/2 \\ 1/4 \le x \le 1 \end{cases}$
Пересечением является промежуток $[1/2, 1]$.

Общее решение исходного неравенства — это объединение решений обеих систем:
$[0, 1/2) \cup [1/2, 1] = [0, 1]$.
Ответ: $0 \le x \le 1$, или $x \in [0, 1]$.

4) $\sqrt{x} \ge x^2$

ОДЗ: $x \ge 0$. При $x \ge 0$ обе части неравенства неотрицательны, поэтому можно возвести их в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 \ge (x^2)^2$
$x \ge x^4$
$x^4 - x \le 0$

Вынесем $x$ за скобки:
$x(x^3 - 1) \le 0$

Разложим на множители разность кубов $x^3 - 1 = (x-1)(x^2+x+1)$.
$x(x-1)(x^2+x+1) \le 0$

Выражение $x^2+x+1$ всегда положительно при любом $x$, так как его дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$, а коэффициент при $x^2$ положителен. Значит, можно разделить обе части неравенства на $x^2+x+1$, не меняя знака:
$x(x - 1) \le 0$

Решая это неравенство методом интервалов (корни 0 и 1, парабола с ветвями вверх), получаем $0 \le x \le 1$.

Это решение полностью удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 0$).
Ответ: $0 \le x \le 1$, или $x \in [0, 1]$.

Решить неравенство (632–633).

632. 1) $\sqrt{x^2 - 3x + 2} > x + 3;$

2) $\sqrt{2x^2 - 7x - 4} > -x - \frac{1}{4}.$

1)

Решим неравенство $\sqrt{x^2 - 3x + 2} > x + 3$.
Данное неравенство вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$ равносильно совокупности двух систем:

1. Правая часть отрицательна, а подкоренное выражение неотрицательно.
$\begin{cases} x + 3 < 0 \\ x^2 - 3x + 2 \ge 0 \end{cases}$
Решим эту систему:
Из первого неравенства получаем $x < -3$.
Решим второе неравенство $x^2 - 3x + 2 \ge 0$. Корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$ равны $x_1=1$, $x_2=2$. Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства: $x \in (-\infty, 1] \cup [2, \infty)$.
Пересечение решений $x < -3$ и $x \in (-\infty, 1] \cup [2, \infty)$ дает нам интервал $x \in (-\infty, -3)$.

2. Правая часть неотрицательна. В этом случае можно возвести обе части неравенства в квадрат.
$\begin{cases} x + 3 \ge 0 \\ x^2 - 3x + 2 > (x + 3)^2 \end{cases}$
Решим эту систему:
Из первого неравенства получаем $x \ge -3$.
Решим второе неравенство:
$x^2 - 3x + 2 > x^2 + 6x + 9$
$-3x - 6x > 9 - 2$
$-9x > 7$
$x < -\frac{7}{9}$
Пересечение решений $x \ge -3$ и $x < -\frac{7}{9}$ дает нам интервал $x \in [-3, -\frac{7}{9})$.

Объединим решения обеих систем: $(-\infty, -3) \cup [-3, -\frac{7}{9})$.
Получаем итоговое решение $x \in (-\infty, -\frac{7}{9})$.
Ответ: $x \in (-\infty, -\frac{7}{9})$.

2)

Решим неравенство $\sqrt{2x^2 - 7x - 4} > -x - \frac{1}{4}$.
Это неравенство также имеет вид $\sqrt{f(x)} > g(x)$. Решение является объединением решений двух систем.

1. Правая часть отрицательна, а подкоренное выражение неотрицательно.
$\begin{cases} -x - \frac{1}{4} < 0 \\ 2x^2 - 7x - 4 \ge 0 \end{cases}$
Решим эту систему:
Из первого неравенства: $-x < \frac{1}{4}$, что равносильно $x > -\frac{1}{4}$.
Решим второе неравенство $2x^2 - 7x - 4 \ge 0$. Найдем корни уравнения $2x^2 - 7x - 4 = 0$.
Дискриминант $D = (-7)^2 - 4(2)(-4) = 49 + 32 = 81$.
Корни: $x_1 = \frac{7 - 9}{4} = -\frac{1}{2}$, $x_2 = \frac{7 + 9}{4} = 4$.
Решение неравенства: $x \in (-\infty, -\frac{1}{2}] \cup [4, \infty)$.
Пересечение решений $x > -\frac{1}{4}$ и $x \in (-\infty, -\frac{1}{2}] \cup [4, \infty)$ дает нам интервал $x \in [4, \infty)$.

2. Правая часть неотрицательна. Возводим обе части в квадрат.
$\begin{cases} -x - \frac{1}{4} \ge 0 \\ 2x^2 - 7x - 4 > (-x - \frac{1}{4})^2 \end{cases}$
Решим эту систему:
Из первого неравенства: $-x \ge \frac{1}{4}$, что равносильно $x \le -\frac{1}{4}$.
Решим второе неравенство:
$2x^2 - 7x - 4 > (x + \frac{1}{4})^2$
$2x^2 - 7x - 4 > x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{16}$
$x^2 - \frac{15}{2}x - \frac{65}{16} > 0$
Умножим на 16: $16x^2 - 120x - 65 > 0$.
Найдем корни уравнения $16x^2 - 120x - 65 = 0$.
$D = (-120)^2 - 4(16)(-65) = 14400 + 4160 = 18560$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{120 \pm \sqrt{18560}}{32} = \frac{120 \pm 8\sqrt{290}}{32} = \frac{15 \pm \sqrt{290}}{4}$.
Решение неравенства $16x^2 - 120x - 65 > 0$: $x \in (-\infty, \frac{15 - \sqrt{290}}{4}) \cup (\frac{15 + \sqrt{290}}{4}, \infty)$.
Нам нужно найти пересечение этого решения с условием $x \le -\frac{1}{4}$ и областью определения $x \in (-\infty, -\frac{1}{2}]$. Общее ограничение $x \le -\frac{1}{2}$.
Сравним корень $\frac{15 - \sqrt{290}}{4}$ с $-\frac{1}{2}$. Так как $17 = \sqrt{289} < \sqrt{290}$, то $15 - \sqrt{290} < 15 - 17 = -2$, следовательно $\frac{15 - \sqrt{290}}{4} < \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.
Поэтому, для $x \le -\frac{1}{2}$ решение будет $x < \frac{15 - \sqrt{290}}{4}$.

Объединяем решения обеих систем: $(-\infty, \frac{15 - \sqrt{290}}{4}) \cup [4, \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, \frac{15 - \sqrt{290}}{4}) \cup [4, \infty)$.

633. 1) $\frac{\sqrt{1 - x^3} - 1}{1 + x} \le x;$

2) $\frac{4x^2 - 9}{\sqrt{3x^2 - 3}} \le \frac{2}{3}x + 1.$

Исходное неравенство: $\sqrt{\frac{1-x^3-1}{1+x}} \le x$.

Сначала упростим выражение в числителе подкоренного выражения: $1-x^3-1 = -x^3$.

Неравенство принимает вид: $\sqrt{\frac{-x^3}{1+x}} \le x$.

Данное иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)} \le g(x)$ равносильно следующей системе неравенств:

$\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) \ge 0 \\ f(x) \le (g(x))^2 \end{cases}$

В нашем случае $f(x) = \frac{-x^3}{1+x}$ и $g(x) = x$. Подставим эти выражения в систему:

$\begin{cases} \frac{-x^3}{1+x} \ge 0 \\ x \ge 0 \\ \frac{-x^3}{1+x} \le x^2 \end{cases}$

Решим последовательно каждое неравенство системы.

1. $\frac{-x^3}{1+x} \ge 0$. Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $\frac{x^3}{1+x} \le 0$.
Решим это неравенство методом интервалов. Корни числителя: $x^3=0 \implies x=0$. Корень знаменателя: $1+x=0 \implies x=-1$.
Отметим точки на числовой прямой и определим знаки выражения в полученных интервалах: при $x \in (-\infty, -1)$ выражение положительно; при $x \in (-1, 0)$ выражение отрицательно; при $x \in (0, \infty)$ выражение положительно. Так как неравенство нестрогое, корень числителя $x=0$ входит в решение. Корень знаменателя $x=-1$ не входит. Решением неравенства $\frac{x^3}{1+x} \le 0$ является промежуток $x \in (-1, 0]$.

2. Второе неравенство системы: $x \ge 0$.

3. Теперь найдем пересечение решений первых двух неравенств: $\begin{cases} x \in (-1, 0] \\ x \ge 0 \end{cases}$.
Единственным значением, удовлетворяющим обоим условиям, является $x=0$.

4. Проверим, удовлетворяет ли найденное значение $x=0$ третьему неравенству системы: $\frac{-x^3}{1+x} \le x^2$.
Подставляем $x=0$: $\frac{-0^3}{1+0} \le 0^2 \implies \frac{0}{1} \le 0 \implies 0 \le 0$.
Это верное утверждение. Следовательно, единственным решением системы и исходного неравенства является $x=0$.

Ответ: $x=0$.

Исходное неравенство: $\frac{4x^2-9}{\sqrt{3x^2-3}} \le \frac{2}{3}x+1$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным:
$3x^2-3 > 0 \implies 3(x^2-1) > 0 \implies x^2 > 1$.
Отсюда ОДЗ: $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

2. Преобразуем неравенство. Разложим числитель на множители и приведем правую часть к общему знаменателю:
$\frac{(2x-3)(2x+3)}{\sqrt{3(x^2-1)}} \le \frac{2x+3}{3}$.

3. Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель $(2x+3)$ за скобки:
$\frac{(2x-3)(2x+3)}{\sqrt{3}\sqrt{x^2-1}} - \frac{2x+3}{3} \le 0$
$(2x+3) \left( \frac{2x-3}{\sqrt{3}\sqrt{x^2-1}} - \frac{1}{3} \right) \le 0$.

4. Решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого найдем нули каждого множителя.
- Нуль первого множителя: $2x+3 = 0 \implies x = -3/2 = -1.5$. Этот корень принадлежит ОДЗ.
- Нули второго множителя: $\frac{2x-3}{\sqrt{3}\sqrt{x^2-1}} - \frac{1}{3} = 0 \implies \frac{2x-3}{\sqrt{3x^2-3}} = \frac{1}{3}$.
$3(2x-3) = \sqrt{3x^2-3} \implies 6x-9 = \sqrt{3x^2-3}$.
Для существования решения левая часть должна быть неотрицательной: $6x-9 \ge 0 \implies x \ge 1.5$.
Возведем обе части в квадрат: $(6x-9)^2 = 3x^2-3 \implies 36x^2 - 108x + 81 = 3x^2 - 3$.
$33x^2 - 108x + 84 = 0$. Разделим на 3: $11x^2 - 36x + 28 = 0$.
Найдем корни: $D = (-36)^2 - 4 \cdot 11 \cdot 28 = 1296 - 1232 = 64 = 8^2$.
$x_1 = \frac{36-8}{22} = \frac{28}{22} = \frac{14}{11}$.
$x_2 = \frac{36+8}{22} = \frac{44}{22} = 2$.
С учетом условия $x \ge 1.5$, корень $x_1 = 14/11 \approx 1.27$ является посторонним. Корень $x_2=2$ удовлетворяет условию $2 \ge 1.5$ и принадлежит ОДЗ.
Таким образом, нули левой части неравенства: $x = -3/2$ и $x = 2$.

5. Нанесем найденные нули на числовую ось, учитывая ОДЗ. Это точки $x=-1.5$ и $x=2$. Они разбивают ОДЗ на интервалы: $(-\infty, -1.5)$, $(-1.5, -1)$, $(1, 2)$, $(2, \infty)$.
Определим знак выражения $E(x) = (2x+3) \left( \frac{2x-3}{\sqrt{3x^2-3}} - \frac{1}{3} \right)$ в каждом интервале:
- При $x \in (-\infty, -1.5)$: $E(x) = (-)(-) > 0$.
- При $x \in (-1.5, -1)$: $E(x) = (+)(-) < 0$.
- При $x \in (1, 2)$: $E(x) = (+)(-) < 0$.
- При $x \in (2, \infty)$: $E(x) = (+)(+) > 0$.
Нам нужны интервалы, где $E(x) \le 0$. Это $(-1.5, -1)$ и $(1, 2)$.

6. Поскольку неравенство нестрогое, его решениями также являются сами нули $x=-1.5$ и $x=2$.
При $x=-1.5$ неравенство обращается в верное равенство $0 \le 0$.
При $x=2$ неравенство обращается в верное равенство $7/3 \le 7/3$.
Объединяя интервалы и точки, получаем окончательное решение.

Ответ: $x \in [-3/2, -1) \cup (1, 2]$.

634. Решить относительно x неравенство:

1) $\sqrt{x-1} < a$;

2) $\sqrt{2ax - x^2} \ge a - x$, если $a \le 0$.

1) $\sqrt{x-1} < a$

Данное неравенство является иррациональным неравенством с параметром. Его решение зависит от значения параметра $a$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x - 1 \ge 0$, что равносильно $x \ge 1$.

Левая часть неравенства, $\sqrt{x-1}$, по определению арифметического корня, всегда неотрицательна ($\sqrt{x-1} \ge 0$). Поэтому для того, чтобы неравенство имело решение, правая часть $a$ должна быть строго положительной.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $a \le 0$. В этом случае правая часть неравенства является неположительным числом. Неравенство вида "неотрицательное число < неположительное число" не может быть верным ни при каких значениях $x$. Следовательно, при $a \le 0$ неравенство не имеет решений.

Случай 2: $a > 0$. В этом случае обе части неравенства неотрицательны. Мы можем возвести обе части в квадрат, при этом знак неравенства сохранится: $(\sqrt{x-1})^2 < a^2$ $x - 1 < a^2$ $x < a^2 + 1$

Теперь необходимо учесть ОДЗ ($x \ge 1$). Таким образом, мы получаем систему из двух неравенств: $\begin{cases} x \ge 1 \\ x < a^2 + 1 \end{cases}$

Решением этой системы является промежуток $1 \le x < a^2 + 1$.

Ответ: при $a \le 0$ решений нет ($x \in \emptyset$); при $a > 0$ решение $x \in [1, a^2 + 1)$.

2) $\sqrt{2ax - x^2} \ge a - x$, если $a \le 0$

Это иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)} \ge g(x)$. Его решение эквивалентно объединению решений двух систем:

(A) $\begin{cases} g(x) < 0 \\ f(x) \ge 0 \end{cases}$ и (B) $\begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) \ge (g(x))^2 \end{cases}$

В нашем случае $f(x) = 2ax - x^2$, $g(x) = a - x$, и задано условие $a \le 0$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) из условия $f(x) \ge 0$: $2ax - x^2 \ge 0 \implies x(2a - x) \ge 0$.

Если $a=0$, ОДЗ: $-x^2 \ge 0$, что верно только при $x=0$. Само неравенство принимает вид $\sqrt{0} \ge -x$, и для $x=0$ получаем $0 \ge 0$. Это верное равенство, значит, $x=0$ - решение.

Если $a < 0$, то $2a < 0$. Корни уравнения $x(2a - x) = 0$ равны $0$ и $2a$. Так как это парабола с ветвями вниз, то $x(2a - x) \ge 0$ при $x \in [2a, 0]$. Это ОДЗ для случая $a < 0$.

Теперь решим неравенство для $a < 0$, рассмотрев две системы.

Система (A): $\begin{cases} a - x < 0 \\ x \in [2a, 0] \end{cases} \implies \begin{cases} x > a \\ x \in [2a, 0] \end{cases}$ Так как при $a < 0$ справедливо $2a < a < 0$, пересечением этих условий является промежуток $x \in (a, 0]$.

Система (B): $\begin{cases} a - x \ge 0 \\ 2ax - x^2 \ge (a - x)^2 \end{cases}$ Первое условие: $x \le a$. Второе неравенство: $2ax - x^2 \ge a^2 - 2ax + x^2$ $0 \ge 2x^2 - 4ax + a^2$ $2x^2 - 4ax + a^2 \le 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $2x^2 - 4ax + a^2 = 0$. $x = \frac{4a \pm \sqrt{16a^2 - 8a^2}}{4} = \frac{4a \pm \sqrt{8a^2}}{4} = \frac{4a \pm 2\sqrt{2}|a|}{4}$. Поскольку $a < 0$, $|a| = -a$, поэтому: $x = \frac{4a \pm 2\sqrt{2}(-a)}{4} = a \mp \frac{a\sqrt{2}}{2} = a(1 \mp \frac{\sqrt{2}}{2})$. Корни: $x_1 = a(1 + \frac{\sqrt{2}}{2})$ и $x_2 = a(1 - \frac{\sqrt{2}}{2})$. Так как $a < 0$ и $1 + \frac{\sqrt{2}}{2} > 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} > 0$, то $x_1 < x_2$. Решением квадратичного неравенства является промежуток между корнями: $x \in [a(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}), a(1 - \frac{\sqrt{2}}{2})]$.

Для системы (B) найдем пересечение трех множеств: 1. $x \le a$ 2. $x \in [2a, 0]$ (ОДЗ) 3. $x \in [a(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}), a(1 - \frac{\sqrt{2}}{2})]$

Учитывая, что $2a < a(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}) < a < a(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) < 0$, пересечение этих трех условий дает $x \in [a(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}), a]$.

Общее решение для $a < 0$ есть объединение решений систем (A) и (B): $(a, 0] \cup [a(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}), a] = [a(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}), 0]$.

Этот результат включает в себя и случай $a=0$, при котором получается $x \in [0, 0]$, т.е. $x=0$.

Ответ: $x \in [a(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}), 0]$.