Номер 634, страница 213 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

634. Решить относительно x неравенство:

1) $\sqrt{x-1} < a$;

2) $\sqrt{2ax - x^2} \ge a - x$, если $a \le 0$.

1) $\sqrt{x-1} < a$

Данное неравенство является иррациональным неравенством с параметром. Его решение зависит от значения параметра $a$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x - 1 \ge 0$, что равносильно $x \ge 1$.

Левая часть неравенства, $\sqrt{x-1}$, по определению арифметического корня, всегда неотрицательна ($\sqrt{x-1} \ge 0$). Поэтому для того, чтобы неравенство имело решение, правая часть $a$ должна быть строго положительной.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $a \le 0$. В этом случае правая часть неравенства является неположительным числом. Неравенство вида "неотрицательное число < неположительное число" не может быть верным ни при каких значениях $x$. Следовательно, при $a \le 0$ неравенство не имеет решений.

Случай 2: $a > 0$. В этом случае обе части неравенства неотрицательны. Мы можем возвести обе части в квадрат, при этом знак неравенства сохранится: $(\sqrt{x-1})^2 < a^2$ $x - 1 < a^2$ $x < a^2 + 1$

Теперь необходимо учесть ОДЗ ($x \ge 1$). Таким образом, мы получаем систему из двух неравенств: $\begin{cases} x \ge 1 \\ x < a^2 + 1 \end{cases}$

Решением этой системы является промежуток $1 \le x < a^2 + 1$.

Ответ: при $a \le 0$ решений нет ($x \in \emptyset$); при $a > 0$ решение $x \in [1, a^2 + 1)$.

2) $\sqrt{2ax - x^2} \ge a - x$, если $a \le 0$

Это иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)} \ge g(x)$. Его решение эквивалентно объединению решений двух систем:

(A) $\begin{cases} g(x) < 0 \\ f(x) \ge 0 \end{cases}$ и (B) $\begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) \ge (g(x))^2 \end{cases}$

В нашем случае $f(x) = 2ax - x^2$, $g(x) = a - x$, и задано условие $a \le 0$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) из условия $f(x) \ge 0$: $2ax - x^2 \ge 0 \implies x(2a - x) \ge 0$.

Если $a=0$, ОДЗ: $-x^2 \ge 0$, что верно только при $x=0$. Само неравенство принимает вид $\sqrt{0} \ge -x$, и для $x=0$ получаем $0 \ge 0$. Это верное равенство, значит, $x=0$ - решение.

Если $a < 0$, то $2a < 0$. Корни уравнения $x(2a - x) = 0$ равны $0$ и $2a$. Так как это парабола с ветвями вниз, то $x(2a - x) \ge 0$ при $x \in [2a, 0]$. Это ОДЗ для случая $a < 0$.

Теперь решим неравенство для $a < 0$, рассмотрев две системы.

Система (A): $\begin{cases} a - x < 0 \\ x \in [2a, 0] \end{cases} \implies \begin{cases} x > a \\ x \in [2a, 0] \end{cases}$ Так как при $a < 0$ справедливо $2a < a < 0$, пересечением этих условий является промежуток $x \in (a, 0]$.

Система (B): $\begin{cases} a - x \ge 0 \\ 2ax - x^2 \ge (a - x)^2 \end{cases}$ Первое условие: $x \le a$. Второе неравенство: $2ax - x^2 \ge a^2 - 2ax + x^2$ $0 \ge 2x^2 - 4ax + a^2$ $2x^2 - 4ax + a^2 \le 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $2x^2 - 4ax + a^2 = 0$. $x = \frac{4a \pm \sqrt{16a^2 - 8a^2}}{4} = \frac{4a \pm \sqrt{8a^2}}{4} = \frac{4a \pm 2\sqrt{2}|a|}{4}$. Поскольку $a < 0$, $|a| = -a$, поэтому: $x = \frac{4a \pm 2\sqrt{2}(-a)}{4} = a \mp \frac{a\sqrt{2}}{2} = a(1 \mp \frac{\sqrt{2}}{2})$. Корни: $x_1 = a(1 + \frac{\sqrt{2}}{2})$ и $x_2 = a(1 - \frac{\sqrt{2}}{2})$. Так как $a < 0$ и $1 + \frac{\sqrt{2}}{2} > 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} > 0$, то $x_1 < x_2$. Решением квадратичного неравенства является промежуток между корнями: $x \in [a(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}), a(1 - \frac{\sqrt{2}}{2})]$.

Для системы (B) найдем пересечение трех множеств: 1. $x \le a$ 2. $x \in [2a, 0]$ (ОДЗ) 3. $x \in [a(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}), a(1 - \frac{\sqrt{2}}{2})]$

Учитывая, что $2a < a(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}) < a < a(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) < 0$, пересечение этих трех условий дает $x \in [a(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}), a]$.

Общее решение для $a < 0$ есть объединение решений систем (A) и (B): $(a, 0] \cup [a(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}), a] = [a(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}), 0]$.

Этот результат включает в себя и случай $a=0$, при котором получается $x \in [0, 0]$, т.е. $x=0$.

Ответ: $x \in [a(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}), 0]$.