Номер 629, страница 213 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

629. 1) $\sqrt{x+1} - \sqrt{x} < \sqrt{x-1}$;

2) $\sqrt{x+3} < \sqrt{7-x} + \sqrt{10-x}$.

1) $\sqrt{x+1}-\sqrt{x} < \sqrt{x-1}$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Все подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$ \begin{cases} x+1 \ge 0 \\ x \ge 0 \\ x-1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1 \\ x \ge 0 \\ x \ge 1 \end{cases} $

Пересечением этих условий является $x \ge 1$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [1, +\infty)$.

Перепишем неравенство в виде $\sqrt{x+1} < \sqrt{x} + \sqrt{x-1}$.

При $x \ge 1$ обе части неравенства положительны, поэтому мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:

$(\sqrt{x+1})^2 < (\sqrt{x} + \sqrt{x-1})^2$

$x+1 < (\sqrt{x})^2 + 2\sqrt{x}\sqrt{x-1} + (\sqrt{x-1})^2$

$x+1 < x + 2\sqrt{x(x-1)} + x - 1$

$x+1 < 2x - 1 + 2\sqrt{x^2-x}$

Уединим корень:

$1+1 - 2x+x < 2\sqrt{x^2-x}$

$2-x < 2\sqrt{x^2-x}$

Рассмотрим два случая в зависимости от знака выражения $2-x$.

Случай 1: Левая часть отрицательна, то есть $2-x < 0 \implies x > 2$.

В этом случае неравенство выполняется всегда, так как отрицательное число всегда меньше неотрицательного (правая часть $2\sqrt{x^2-x}$ неотрицательна). Учитывая ОДЗ ($x \ge 1$) и условие этого случая ($x > 2$), получаем решение $x > 2$.

Случай 2: Левая часть неотрицательна, то есть $2-x \ge 0 \implies x \le 2$.

В этом случае обе части неравенства неотрицательны, и мы можем снова возвести их в квадрат:

$(2-x)^2 < (2\sqrt{x^2-x})^2$

$4-4x+x^2 < 4(x^2-x)$

$4-4x+x^2 < 4x^2-4x$

$4 < 3x^2$

$x^2 > \frac{4}{3}$

Это неравенство равносильно совокупности $x > \sqrt{\frac{4}{3}}$ или $x < -\sqrt{\frac{4}{3}}$.

$x > \frac{2}{\sqrt{3}}$ или $x < -\frac{2}{\sqrt{3}}$.

Теперь найдем пересечение этого решения с условиями данного случая ($x \le 2$) и ОДЗ ($x \ge 1$).

Интервал $x < -\frac{2}{\sqrt{3}}$ не пересекается с $x \ge 1$.

Для интервала $x > \frac{2}{\sqrt{3}}$ найдем пересечение с $1 \le x \le 2$. Так как $1 < \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.155 < 2$, решением в этом случае будет $x \in (\frac{2}{\sqrt{3}}, 2]$.

Объединим решения обоих случаев:

Из случая 1: $x \in (2, +\infty)$.

Из случая 2: $x \in (\frac{2}{\sqrt{3}}, 2]$.

Объединяя эти два множества, получаем итоговый результат: $x \in (\frac{2}{\sqrt{3}}, +\infty)$.

Ответ: $x \in (\frac{2}{\sqrt{3}}, +\infty)$.

2) $\sqrt{x+3} < \sqrt{7-x} + \sqrt{10-x}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$ \begin{cases} x+3 \ge 0 \\ 7-x \ge 0 \\ 10-x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -3 \\ x \le 7 \\ x \le 10 \end{cases} $

Пересечением этих условий является $-3 \le x \le 7$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [-3, 7]$.

В области допустимых значений обе части неравенства неотрицательны. Следовательно, мы можем возвести обе части в квадрат:

$(\sqrt{x+3})^2 < (\sqrt{7-x} + \sqrt{10-x})^2$

$x+3 < (7-x) + 2\sqrt{(7-x)(10-x)} + (10-x)$

$x+3 < 17-2x + 2\sqrt{x^2-17x+70}$

Перенесем слагаемые без корня в левую часть:

$x+3 - 17+2x < 2\sqrt{x^2-17x+70}$

$3x-14 < 2\sqrt{x^2-17x+70}$

Рассмотрим два случая в зависимости от знака выражения $3x-14$.

Случай 1: Левая часть отрицательна, $3x-14 < 0 \implies 3x < 14 \implies x < \frac{14}{3}$.

В этом случае неравенство верно, так как отрицательное число всегда меньше неотрицательного. Учитывая ОДЗ ($x \in [-3, 7]$) и условие $x < \frac{14}{3}$ (где $\frac{14}{3} = 4\frac{2}{3}$), получаем решение для этого случая: $x \in [-3, \frac{14}{3})$.

Случай 2: Левая часть неотрицательна, $3x-14 \ge 0 \implies x \ge \frac{14}{3}$.

В этом случае обе части неравенства неотрицательны, и мы можем снова возвести их в квадрат:

$(3x-14)^2 < (2\sqrt{x^2-17x+70})^2$

$9x^2 - 84x + 196 < 4(x^2-17x+70)$

$9x^2 - 84x + 196 < 4x^2 - 68x + 280$

$5x^2 - 16x - 84 < 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни уравнения $5x^2 - 16x - 84 = 0$.

Дискриминант $D = (-16)^2 - 4(5)(-84) = 256 + 1680 = 1936 = 44^2$.

$x_1 = \frac{16 - 44}{2 \cdot 5} = \frac{-28}{10} = -2.8$

$x_2 = \frac{16 + 44}{2 \cdot 5} = \frac{60}{10} = 6$

Так как ветви параболы $y=5x^2-16x-84$ направлены вверх, неравенство $5x^2 - 16x - 84 < 0$ выполняется между корнями: $x \in (-2.8, 6)$.

Найдем пересечение этого решения с условиями данного случая ($x \ge \frac{14}{3}$) и ОДЗ ($x \in [-3, 7]$). Объединенные условия для этого случая: $x \in [\frac{14}{3}, 7]$.

Пересечение $(-2.8, 6)$ и $[\frac{14}{3}, 7]$ (учитывая, что $\frac{14}{3} \approx 4.67$) дает нам интервал $[\frac{14}{3}, 6)$.

Объединим решения обоих случаев:

Из случая 1: $x \in [-3, \frac{14}{3})$.

Из случая 2: $x \in [\frac{14}{3}, 6)$.

Общее решение является объединением этих двух множеств: $x \in [-3, 6)$.

Ответ: $x \in [-3, 6)$.