Номер 627, страница 213 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

627. 1) $\sqrt{2x^2 + 3x - 2} > 0$;

2) $\sqrt{2 + x - x^2} > -1$;

3) $\sqrt{x^2 + 2x} > -3 - x^2$;

4) $\sqrt{4x - x^2} > -2 - 3x^2$.

1) $\sqrt{2x^2 + 3x - 2} > 0$

Квадратный корень является строго положительным тогда и только тогда, когда выражение под корнем строго положительно. Следовательно, данное неравенство равносильно следующему:

$2x^2 + 3x - 2 > 0$

Для решения этого квадратичного неравенства сначала найдем корни уравнения $2x^2 + 3x - 2 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.

Корни уравнения равны:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Графиком функции $y = 2x^2 + 3x - 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($2 > 0$). Значения функции положительны вне интервала между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $x < -2$ или $x > \frac{1}{2}$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$.

2) $\sqrt{2 + x - x^2} > -1$

Левая часть неравенства, $\sqrt{2 + x - x^2}$, представляет собой арифметический квадратный корень, который по определению всегда неотрицателен, то есть $\sqrt{2 + x - x^2} \ge 0$.

Правая часть неравенства равна -1.

Поскольку любое неотрицательное число всегда больше любого отрицательного числа, данное неравенство будет верным для всех значений $x$, при которых выражение под корнем имеет смысл (т.е. является неотрицательным).

Таким образом, задача сводится к нахождению области определения функции $y = \sqrt{2 + x - x^2}$.

$2 + x - x^2 \ge 0$

Умножим неравенство на -1 и сменим знак:

$x^2 - x - 2 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.

Парабола $y = x^2 - x - 2$ имеет ветви, направленные вверх. Неравенство $x^2 - x - 2 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями.

Следовательно, решение: $-1 \le x \le 2$.

Ответ: $x \in [-1; 2]$.

3) $\sqrt{x^2 + 2x} > -3 - x^2$

Левая часть неравенства, $\sqrt{x^2 + 2x}$, по определению неотрицательна ($\ge 0$) для всех $x$ из области ее определения.

Рассмотрим правую часть: $-3 - x^2$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $-x^2 \le 0$, и, следовательно, $-3 - x^2 \le -3$. Таким образом, правая часть неравенства всегда отрицательна.

Неотрицательное число всегда больше отрицательного. Значит, неравенство справедливо для всех $x$, при которых левая часть определена.

Найдем область определения, решив неравенство:

$x^2 + 2x \ge 0$

Вынесем $x$ за скобки: $x(x+2) \ge 0$.

Корни уравнения $x(x+2)=0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$.

Парабола $y=x^2+2x$ имеет ветви, направленные вверх. Неравенство $x(x+2) \ge 0$ выполняется при значениях $x$ не между корнями (включая сами корни).

Таким образом, $x \le -2$ или $x \ge 0$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup [0; +\infty)$.

4) $\sqrt{4x - x^2} > -2 - 3x^2$

Левая часть неравенства, $\sqrt{4x - x^2}$, по определению неотрицательна ($\ge 0$) для всех $x$ из области ее определения.

Рассмотрим правую часть: $-2 - 3x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то $3x^2 \ge 0$, а $-3x^2 \le 0$. Следовательно, $-2 - 3x^2 \le -2$. Правая часть всегда отрицательна.

Поскольку любое неотрицательное число всегда больше любого отрицательного, неравенство будет верным для всех $x$, при которых подкоренное выражение имеет смысл.

Найдем область определения, решив неравенство:

$4x - x^2 \ge 0$

Умножим на -1 и изменим знак неравенства:

$x^2 - 4x \le 0$

Вынесем $x$ за скобки: $x(x-4) \le 0$.

Корни уравнения $x(x-4)=0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.

Парабола $y=x^2-4x$ имеет ветви, направленные вверх. Неравенство $x(x-4) \le 0$ выполняется на отрезке между корнями.

Таким образом, $0 \le x \le 4$.

Ответ: $x \in [0; 4]$.