Номер 621, страница 207 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

$\begin{cases}\sqrt{7(x-y)} - \sqrt{x+y} = \frac{8}{3}\sqrt{\frac{y}{x}}, \\ \sqrt{7(x-y)} + \sqrt{x+y} = 9\sqrt{\frac{x}{y}};\end{cases}$

2) $\begin{cases}(x^2 - xy + y^2)\sqrt{x^2+y^2} = 185, \\ (x^2 + xy + y^2)\sqrt{x^2+y^2} = 65.\end{cases}$

1)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \sqrt{7(x-y)} - \sqrt{x+y} = \frac{8}{3}\sqrt{\frac{y}{x}} \\ \sqrt{7(x-y)} + \sqrt{x+y} = 9\sqrt{\frac{x}{y}} \end{cases} $$ Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями: $x-y \ge 0 \implies x \ge y$, $x+y \ge 0$, $\frac{y}{x} \ge 0$ и $\frac{x}{y} \ge 0$. Из последних двух условий следует, что $x$ и $y$ одного знака. Если $x < 0$ и $y < 0$, то $x+y < 0$, что противоречит второму условию. Следовательно, $x > 0$ и $y > 0$. Итак, ОДЗ: $x > 0, y > 0, x \ge y$.

Перемножим два уравнения системы: $$ (\sqrt{7(x-y)} - \sqrt{x+y})(\sqrt{7(x-y)} + \sqrt{x+y}) = \left(\frac{8}{3}\sqrt{\frac{y}{x}}\right) \left(9\sqrt{\frac{x}{y}}\right) $$ Левая часть по формуле разности квадратов: $$ (\sqrt{7(x-y)})^2 - (\sqrt{x+y})^2 = 7(x-y) - (x+y) = 7x - 7y - x - y = 6x - 8y $$ Правая часть: $$ \frac{8}{3} \cdot 9 \cdot \sqrt{\frac{y}{x} \cdot \frac{x}{y}} = 8 \cdot 3 \cdot \sqrt{1} = 24 $$ Приравнивая левую и правую части, получаем простое линейное уравнение: $$ 6x - 8y = 24 $$ Разделив обе части на 2, получим: $$ 3x - 4y = 12 $$

Теперь решим систему, состоящую из этого уравнения и одного из исходных. Введем замену $t = \sqrt{\frac{x}{y}}$. Так как $x \ge y > 0$, то $t \ge 1$. Тогда $\frac{x}{y} = t^2$. Из уравнения $3x - 4y = 12$ разделим все члены на $y$ (так как $y > 0$): $$ 3\frac{x}{y} - 4 = \frac{12}{y} \implies 3t^2 - 4 = \frac{12}{y} \implies y = \frac{12}{3t^2 - 4} $$ Для $y>0$ необходимо, чтобы $3t^2 - 4 > 0$, то есть $t^2 > 4/3$. Найдем $x$: $$ x = t^2 y = \frac{12t^2}{3t^2-4} $$

Сложим два исходных уравнения: $$ 2\sqrt{7(x-y)} = 9\sqrt{\frac{x}{y}} + \frac{8}{3}\sqrt{\frac{y}{x}} = 9t + \frac{8}{3t} $$ Вычтем первое уравнение из второго: $$ 2\sqrt{x+y} = 9\sqrt{\frac{x}{y}} - \frac{8}{3}\sqrt{\frac{y}{x}} = 9t - \frac{8}{3t} $$ Разделим второе полученное уравнение на первое: $$ \frac{\sqrt{x+y}}{\sqrt{7(x-y)}} = \frac{9t - 8/(3t)}{9t + 8/(3t)} $$ Возведем обе части в квадрат: $$ \frac{x+y}{7(x-y)} = \left(\frac{9t - 8/(3t)}{9t + 8/(3t)}\right)^2 $$ Разделим числитель и знаменатель в левой части на $y$: $$ \frac{x/y + 1}{7(x/y - 1)} = \frac{t^2+1}{7(t^2-1)} $$ Упростим правую часть: $$ \left(\frac{27t^2-8}{3t} \bigg/ \frac{27t^2+8}{3t}\right)^2 = \left(\frac{27t^2-8}{27t^2+8}\right)^2 $$ Получаем уравнение для $t^2$. Пусть $u = t^2$: $$ \frac{u+1}{7(u-1)} = \left(\frac{27u-8}{27u+8}\right)^2 $$ Проверим, является ли $u = 16/9$ корнем этого уравнения (это значение соответствует паре целых чисел $x=16, y=9$, удовлетворяющей уравнению $3x-4y=12$). Подставляем $u=16/9$: Левая часть: $$ \frac{16/9+1}{7(16/9-1)} = \frac{25/9}{7(7/9)} = \frac{25/9}{49/9} = \frac{25}{49} $$ Правая часть: $$ \left(\frac{27(16/9)-8}{27(16/9)+8}\right)^2 = \left(\frac{3 \cdot 16-8}{3 \cdot 16+8}\right)^2 = \left(\frac{48-8}{48+8}\right)^2 = \left(\frac{40}{56}\right)^2 = \left(\frac{5}{7}\right)^2 = \frac{25}{49} $$ Так как левая и правая части равны, $u = 16/9$ является корнем уравнения.

Итак, мы нашли, что $x/y = 16/9$, откуда $x = \frac{16}{9}y$. Подставим это в полученное ранее линейное уравнение $3x-4y=12$: $$ 3\left(\frac{16}{9}y\right) - 4y = 12 $$ $$ \frac{16}{3}y - 4y = 12 $$ $$ \frac{16y - 12y}{3} = 12 $$ $$ \frac{4y}{3} = 12 \implies y = \frac{12 \cdot 3}{4} = 9 $$ Тогда $x = \frac{16}{9}y = \frac{16}{9} \cdot 9 = 16$. Проверим найденное решение $(16, 9)$ по ОДЗ: $16 > 0, 9 > 0, 16 \ge 9$. Условия выполнены.

Ответ: $(16, 9)$.

2)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} (x^2 - xy + y^2)\sqrt{x^2+y^2} = 185 \\ (x^2 + xy + y^2)\sqrt{x^2+y^2} = 65 \end{cases} $$ Заметим, что если $(x,y)=(0,0)$, то левые части равны 0, что не удовлетворяет системе. Значит, $x^2+y^2 > 0$.

Сложим два уравнения системы: $$ ((x^2 - xy + y^2) + (x^2 + xy + y^2))\sqrt{x^2+y^2} = 185 + 65 $$ $$ (2x^2 + 2y^2)\sqrt{x^2+y^2} = 250 $$ $$ 2(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2} = 250 $$ $$ (x^2+y^2)^{3/2} = 125 $$ Возведем обе части в степень $2/3$: $$ x^2+y^2 = 125^{2/3} = (\sqrt[3]{125})^2 = 5^2 = 25 $$

Вычтем второе уравнение из первого: $$ ((x^2 - xy + y^2) - (x^2 + xy + y^2))\sqrt{x^2+y^2} = 185 - 65 $$ $$ (-2xy)\sqrt{x^2+y^2} = 120 $$ Мы уже знаем, что $x^2+y^2 = 25$, следовательно, $\sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{25} = 5$. Подставим это значение: $$ -2xy \cdot 5 = 120 $$ $$ -10xy = 120 $$ $$ xy = -12 $$

Теперь мы имеем более простую систему уравнений: $$ \begin{cases} x^2+y^2 = 25 \\ xy = -12 \end{cases} $$ Из второго уравнения выразим $y = -12/x$ (так как $x \ne 0$) и подставим в первое: $$ x^2 + \left(-\frac{12}{x}\right)^2 = 25 $$ $$ x^2 + \frac{144}{x^2} = 25 $$ Умножим на $x^2$: $$ x^4 + 144 = 25x^2 $$ $$ x^4 - 25x^2 + 144 = 0 $$ Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $z = x^2$ ($z>0$): $$ z^2 - 25z + 144 = 0 $$ По теореме Виета, корни этого квадратного уравнения $z_1=9$ и $z_2=16$. Оба корня положительны.

Рассмотрим два случая:
Случай 1: $x^2 = 9 \implies x = 3$ или $x = -3$.

• Если $x=3$, то $y = -12/x = -12/3 = -4$. Получаем решение $(3, -4)$.
• Если $x=-3$, то $y = -12/x = -12/(-3) = 4$. Получаем решение $(-3, 4)$.

Случай 2: $x^2 = 16 \implies x = 4$ или $x = -4$.

• Если $x=4$, то $y = -12/x = -12/4 = -3$. Получаем решение $(4, -3)$.
• Если $x=-4$, то $y = -12/x = -12/(-4) = 3$. Получаем решение $(-4, 3)$.

Ответ: $(3, -4), (-3, 4), (4, -3), (-4, 3)$.