Номер 620, страница 207 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Решить систему уравнений (620—621).

620.

1) $\begin{cases} \sqrt[3]{\frac{y}{x}} - 2\sqrt[3]{\frac{x}{y}} = 1, \\ \sqrt{x+y} + \sqrt{x-y+11} = 5; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \sqrt{\frac{x}{y}} - \sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{3}{2}, \\ x+y+xy=9. \end{cases}$

Рассмотрим систему уравнений:
$ \begin{cases} \sqrt[3]{\frac{y}{x}} - 2\sqrt[3]{\frac{x}{y}} = 1, \\ \sqrt{x+y} + \sqrt{x-y+11} = 5 \end{cases} $
Начнем с первого уравнения. Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения: $x \neq 0, y \neq 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[3]{\frac{y}{x}}$. Тогда $\sqrt[3]{\frac{x}{y}} = \frac{1}{t}$.
Уравнение принимает вид:
$t - \frac{2}{t} = 1$
Так как $t \neq 0$, умножим обе части на $t$:
$t^2 - 2 = t$
$t^2 - t - 2 = 0$
Это квадратное уравнение. Решим его через дискриминант или по теореме Виета.
Корни уравнения: $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.
Теперь вернемся к исходным переменным, рассмотрев два случая.

Случай 1: $t = 2$
$\sqrt[3]{\frac{y}{x}} = 2$
Возведем обе части в куб:
$\frac{y}{x} = 2^3 = 8 \implies y = 8x$
Подставим это соотношение во второе уравнение системы:
$\sqrt{x+8x} + \sqrt{x-8x+11} = 5$
$\sqrt{9x} + \sqrt{11-7x} = 5$
$3\sqrt{x} + \sqrt{11-7x} = 5$
ОДЗ для этого уравнения: $x \ge 0$ и $11-7x \ge 0 \implies x \le \frac{11}{7}$. Итак, $0 \le x \le \frac{11}{7}$.
Перенесем $3\sqrt{x}$ в правую часть:
$\sqrt{11-7x} = 5 - 3\sqrt{x}$
Правая часть должна быть неотрицательной: $5 - 3\sqrt{x} \ge 0 \implies 3\sqrt{x} \le 5 \implies x \le \frac{25}{9}$. Учитывая ОДЗ, $0 \le x \le \frac{11}{7}$.
Возведем обе части в квадрат:
$11-7x = (5-3\sqrt{x})^2$
$11-7x = 25 - 30\sqrt{x} + 9x$
$30\sqrt{x} = 16x + 14$
$8x - 15\sqrt{x} + 7 = 0$
Сделаем замену $u = \sqrt{x}$ ($u \ge 0$):
$8u^2 - 15u + 7 = 0$
$D = (-15)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 7 = 225 - 224 = 1$
$u_{1,2} = \frac{15 \pm \sqrt{1}}{16} \implies u_1 = \frac{16}{16} = 1, u_2 = \frac{14}{16} = \frac{7}{8}$.
Если $u=1$, то $\sqrt{x}=1 \implies x=1$. Тогда $y=8x=8$. Пара $(1, 8)$ удовлетворяет ОДЗ $0 \le 1 \le \frac{11}{7}$.
Если $u=\frac{7}{8}$, то $\sqrt{x}=\frac{7}{8} \implies x=\frac{49}{64}$. Тогда $y=8x=8 \cdot \frac{49}{64} = \frac{49}{8}$. Пара $(\frac{49}{64}, \frac{49}{8})$ удовлетворяет ОДЗ $0 \le \frac{49}{64} \le \frac{11}{7}$.

Случай 2: $t = -1$
$\sqrt[3]{\frac{y}{x}} = -1$
Возведем обе части в куб:
$\frac{y}{x} = (-1)^3 = -1 \implies y = -x$
Подставим это соотношение во второе уравнение системы:
$\sqrt{x+(-x)} + \sqrt{x-(-x)+11} = 5$
$\sqrt{0} + \sqrt{2x+11} = 5$
$\sqrt{2x+11} = 5$
ОДЗ: $2x+11 \ge 0 \implies x \ge -\frac{11}{2}$.
Возведем обе части в квадрат:
$2x+11 = 25$
$2x = 14$
$x=7$. Это значение удовлетворяет ОДЗ.
Тогда $y=-x=-7$. Получаем пару $(7, -7)$.
Проверим ОДЗ второго уравнения для всех найденных пар:
Для $(1, 8)$: $x+y=9 \ge 0$, $x-y+11 = 1-8+11 = 4 \ge 0$. Подходит.
Для $(\frac{49}{64}, \frac{49}{8})$: $x+y = \frac{49+392}{64} = \frac{441}{64} \ge 0$, $x-y+11 = \frac{49-392}{64}+11 = \frac{-343+704}{64} = \frac{361}{64} \ge 0$. Подходит.
Для $(7, -7)$: $x+y=0 \ge 0$, $x-y+11 = 7-(-7)+11 = 25 \ge 0$. Подходит.
Таким образом, система имеет три решения.

Ответ: $(1, 8)$, $(\frac{49}{64}, \frac{49}{8})$, $(7, -7)$.

Рассмотрим систему уравнений:
$ \begin{cases} \sqrt{\frac{x}{y}} - \sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{3}{2}, \\ x+y+xy = 9 \end{cases} $
Из первого уравнения следует, что выражения под корнями должны быть неотрицательны: $\frac{x}{y} \ge 0$ и $\frac{y}{x} \ge 0$. Это возможно только если $x$ и $y$ одного знака и не равны нулю. Так как $\sqrt{\frac{x}{y}} - \sqrt{\frac{y}{x}} \neq 0$, то $x \neq y$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{\frac{x}{y}}$. Так как $x, y$ одного знака, $t$ - действительное положительное число. Тогда $\sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{1}{t}$.
Первое уравнение принимает вид:
$t - \frac{1}{t} = \frac{3}{2}$
Умножим обе части на $2t$ (так как $t>0$):
$2t^2 - 2 = 3t$
$2t^2 - 3t - 2 = 0$
Решим это квадратное уравнение:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$
$t_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{3 \pm 5}{4}$
$t_1 = \frac{8}{4} = 2$
$t_2 = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$
Поскольку $t = \sqrt{\frac{x}{y}} > 0$, корень $t_2 = -\frac{1}{2}$ является посторонним.
Итак, $t=2$. Вернемся к исходным переменным:
$\sqrt{\frac{x}{y}} = 2$
Возведем обе части в квадрат:
$\frac{x}{y} = 4 \implies x = 4y$
Подставим это соотношение во второе уравнение системы:
$(4y) + y + (4y)y = 9$
$5y + 4y^2 = 9$
$4y^2 + 5y - 9 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$:
$D = 5^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-9) = 25 + 144 = 169 = 13^2$
$y_{1,2} = \frac{-5 \pm 13}{8}$
$y_1 = \frac{-5+13}{8} = \frac{8}{8} = 1$
$y_2 = \frac{-5-13}{8} = \frac{-18}{8} = -\frac{9}{4}$
Найдем соответствующие значения $x$ для каждого $y$ из соотношения $x=4y$.

Случай 1: $y_1 = 1$
$x_1 = 4 \cdot 1 = 4$.
Получили решение $(4, 1)$. Значения $x$ и $y$ одного знака (оба положительные), условие ОДЗ выполнено.

Случай 2: $y_2 = -\frac{9}{4}$
$x_2 = 4 \cdot (-\frac{9}{4}) = -9$.
Получили решение $(-9, -\frac{9}{4})$. Значения $x$ и $y$ одного знака (оба отрицательные), условие ОДЗ выполнено.
Проверим оба решения подстановкой в исходную систему.
Для $(4, 1)$: $\sqrt{\frac{4}{1}} - \sqrt{\frac{1}{4}} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$; $4+1+4\cdot1 = 9$. Верно.
Для $(-9, -\frac{9}{4})$: $\sqrt{\frac{-9}{-9/4}} - \sqrt{\frac{-9/4}{-9}} = \sqrt{4} - \sqrt{\frac{1}{4}} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$; $-9 - \frac{9}{4} + (-9)(-\frac{9}{4}) = -9 - \frac{9}{4} + \frac{81}{4} = -9 + \frac{72}{4} = -9+18=9$. Верно.
Оба решения подходят.

Ответ: $(4, 1)$, $(-9, -\frac{9}{4})$.