Номер 613, страница 207 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

613. 1) $\sqrt[3]{x^3-2} = x-2;$

2) $\sqrt[3]{x^3-5x^2+16x-5} = x-2.$

1) $\sqrt[3]{x^3 - 2} = x - 2$

Для решения данного иррационального уравнения возведем обе его части в третью степень, чтобы избавиться от кубического корня. Это преобразование является равносильным для вещественных чисел, так как функция $y=x^3$ монотонно возрастает на всей числовой оси.

$(\sqrt[3]{x^3 - 2})^3 = (x - 2)^3$

$x^3 - 2 = (x - 2)^3$

Раскроем скобки в правой части уравнения, используя формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

$x^3 - 2 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 - 2^3$

$x^3 - 2 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону и приведем подобные слагаемые. Слагаемые $x^3$ в левой и правой частях взаимно уничтожаются.

$-2 = -6x^2 + 12x - 8$

$6x^2 - 12x - 2 + 8 = 0$

$6x^2 - 12x + 6 = 0$

Разделим обе части полученного квадратного уравнения на 6 для его упрощения.

$x^2 - 2x + 1 = 0$

Левая часть представляет собой полный квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(x - 1)^2 = 0$

Отсюда следует, что $x - 1 = 0$, и корень уравнения равен $x = 1$.

Выполним проверку, подставив найденное значение в исходное уравнение:

Левая часть: $\sqrt[3]{1^3 - 2} = \sqrt[3]{1 - 2} = \sqrt[3]{-1} = -1$.

Правая часть: $1 - 2 = -1$.

Так как левая и правая части равны ($-1 = -1$), корень найден верно.

Ответ: $1$.

2) $\sqrt[3]{x^3 - 5x^2 + 16x - 5} = x - 2$

Аналогично первому уравнению, возведем обе части в третью степень, чтобы избавиться от знака корня.

$(\sqrt[3]{x^3 - 5x^2 + 16x - 5})^3 = (x - 2)^3$

$x^3 - 5x^2 + 16x - 5 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$

Перенесем все члены из правой части в левую, приравняв уравнение к нулю, и приведем подобные слагаемые.

$x^3 - 5x^2 + 16x - 5 - x^3 + 6x^2 - 12x + 8 = 0$

$(x^3 - x^3) + (-5x^2 + 6x^2) + (16x - 12x) + (-5 + 8) = 0$

$x^2 + 4x + 3 = 0$

Получили приведенное квадратное уравнение. Решим его. По теореме Виета, сумма корней равна коэффициенту при $x$, взятому с обратным знаком ($-4$), а их произведение равно свободному члену ($3$). Легко подобрать корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = -3$, так как $(-1) + (-3) = -4$ и $(-1) \cdot (-3) = 3$.

Также можно решить уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 2}{2}$

$x_1 = \frac{-4 - 2}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

$x_2 = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Проверим оба найденных корня, подставив их в исходное уравнение.

Проверка для $x = -1$:

Левая часть: $\sqrt[3]{(-1)^3 - 5(-1)^2 + 16(-1) - 5} = \sqrt[3]{-1 - 5(1) - 16 - 5} = \sqrt[3]{-1 - 5 - 16 - 5} = \sqrt[3]{-27} = -3$.

Правая часть: $-1 - 2 = -3$.

Левая часть равна правой, следовательно, $x = -1$ является корнем уравнения.

Проверка для $x = -3$:

Левая часть: $\sqrt[3]{(-3)^3 - 5(-3)^2 + 16(-3) - 5} = \sqrt[3]{-27 - 5(9) - 48 - 5} = \sqrt[3]{-27 - 45 - 48 - 5} = \sqrt[3]{-125} = -5$.

Правая часть: $-3 - 2 = -5$.

Левая часть равна правой, следовательно, $x = -3$ также является корнем уравнения.

Ответ: $-3; -1$.