Номер 615, страница 207 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Решить уравнение (615—616).

615. 1) $\sqrt{4x + 2\sqrt{3x^2 + 4}} = x + 2;$

2) $3 - x = \sqrt{9 - \sqrt{36x^2 - 5x^4}};$

3) $\sqrt{x^2 + 3x + 12} - \sqrt{x^2 + 3x} = 2;$

4) $\sqrt{x^2 + 5x + 10} - \sqrt{x^2 + 5x + 3} = 1.$

1) $\sqrt{4x + 2\sqrt{3x^2 + 4}} = x + 2$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Правая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как она равна арифметическому квадратному корню:

$x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2$.

Подкоренное выражение $3x^2+4$ всегда положительно, так как $x^2 \ge 0$, а значит $3x^2+4 \ge 4$. Также должно выполняться $4x + 2\sqrt{3x^2 + 4} \ge 0$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$4x + 2\sqrt{3x^2 + 4} = (x + 2)^2$

$4x + 2\sqrt{3x^2 + 4} = x^2 + 4x + 4$

Вычтем $4x$ из обеих частей:

$2\sqrt{3x^2 + 4} = x^2 + 4$

Поскольку $x^2+4 > 0$ для любого $x$, можно снова возвести обе части в квадрат:

$(2\sqrt{3x^2 + 4})^2 = (x^2 + 4)^2$

$4(3x^2 + 4) = x^4 + 8x^2 + 16$

$12x^2 + 16 = x^4 + 8x^2 + 16$

Перенесем все члены в одну сторону:

$x^4 + 8x^2 - 12x^2 + 16 - 16 = 0$

$x^4 - 4x^2 = 0$

Вынесем $x^2$ за скобки:

$x^2(x^2 - 4) = 0$

$x^2(x - 2)(x + 2) = 0$

Отсюда получаем возможные корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$, $x_3 = -2$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию ОДЗ $x \ge -2$.

Все три корня ($0$, $2$, $-2$) удовлетворяют этому условию. Выполним проверку подстановкой в исходное уравнение.

При $x=0$: $\sqrt{4(0) + 2\sqrt{3(0)^2+4}} = \sqrt{0+2\sqrt{4}} = \sqrt{4} = 2$. Правая часть: $0+2=2$. Верно.

При $x=2$: $\sqrt{4(2) + 2\sqrt{3(2)^2+4}} = \sqrt{8+2\sqrt{16}} = \sqrt{8+8} = \sqrt{16} = 4$. Правая часть: $2+2=4$. Верно.

При $x=-2$: $\sqrt{4(-2) + 2\sqrt{3(-2)^2+4}} = \sqrt{-8+2\sqrt{16}} = \sqrt{-8+8} = \sqrt{0} = 0$. Правая часть: $-2+2=0$. Верно.

Ответ: $x = -2, x = 0, x = 2$.

2) $3 - x = \sqrt{9 - \sqrt{36x^2 - 5x^4}}$

Найдем ОДЗ. Во-первых, $3 - x \ge 0 \implies x \le 3$.

Во-вторых, подкоренное выражение $36x^2 - 5x^4$ должно быть неотрицательно:

$36x^2 - 5x^4 \ge 0 \implies x^2(36 - 5x^2) \ge 0$.

Так как $x^2 \ge 0$, то $36 - 5x^2 \ge 0 \implies 5x^2 \le 36 \implies x^2 \le \frac{36}{5} \implies -\frac{6}{\sqrt{5}} \le x \le \frac{6}{\sqrt{5}}$.

Объединяя условия, получаем $-\frac{6}{\sqrt{5}} \le x \le \frac{6}{\sqrt{5}}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(3 - x)^2 = 9 - \sqrt{36x^2 - 5x^4}$

$9 - 6x + x^2 = 9 - \sqrt{36x^2 - 5x^4}$

$x^2 - 6x = -\sqrt{36x^2 - 5x^4}$

$6x - x^2 = \sqrt{36x^2 - 5x^4}$

Левая часть должна быть неотрицательной: $6x - x^2 \ge 0 \implies x(6 - x) \ge 0 \implies 0 \le x \le 6$.

С учетом ОДЗ, получаем новое ограничение: $0 \le x \le \frac{6}{\sqrt{5}}$.

Возведем последнее уравнение в квадрат:

$(6x - x^2)^2 = 36x^2 - 5x^4$

$36x^2 - 12x^3 + x^4 = 36x^2 - 5x^4$

$6x^4 - 12x^3 = 0$

$6x^3(x - 2) = 0$

Отсюда $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

Оба корня удовлетворяют условию $0 \le x \le \frac{6}{\sqrt{5}}$, так как $2 = \sqrt{4} < \sqrt{\frac{36}{5}} = \frac{6}{\sqrt{5}}$.

Проверим корни подстановкой в исходное уравнение.

При $x=0$: $3-0 = \sqrt{9 - \sqrt{0}} = \sqrt{9} = 3$. Верно.

При $x=2$: $3-2 = \sqrt{9 - \sqrt{36(2^2) - 5(2^4)}} = \sqrt{9 - \sqrt{144 - 80}} = \sqrt{9 - \sqrt{64}} = \sqrt{9-8} = \sqrt{1} = 1$. Верно.

Ответ: $x = 0, x = 2$.

3) $\sqrt{x^2 + 3x + 12} - \sqrt{x^2 + 3x} = 2$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2 + 3x$. Уравнение примет вид:

$\sqrt{y + 12} - \sqrt{y} = 2$

ОДЗ для $y$: $y \ge 0$ и $y+12 \ge 0$, что в совокупности дает $y \ge 0$.

Перенесем один из корней в правую часть и возведем в квадрат:

$\sqrt{y + 12} = 2 + \sqrt{y}$

$y + 12 = (2 + \sqrt{y})^2$

$y + 12 = 4 + 4\sqrt{y} + y$

$8 = 4\sqrt{y}$

$2 = \sqrt{y}$

Возведем в квадрат еще раз:

$y = 4$

Значение $y=4$ удовлетворяет условию $y \ge 0$.

Вернемся к исходной переменной:

$x^2 + 3x = 4$

$x^2 + 3x - 4 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -4$.

Проверим, выполняется ли для этих корней условие ОДЗ $x^2+3x \ge 0$.

При $x=1$: $1^2+3(1)=4 \ge 0$. Верно.

При $x=-4$: $(-4)^2+3(-4)=16-12=4 \ge 0$. Верно.

Оба корня являются решениями.

Ответ: $x = -4, x = 1$.

4) $\sqrt{x^2 + 5x + 10} - \sqrt{x^2 + 5x + 3} = 1$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2 + 5x + 3$. Тогда $x^2+5x+10 = y+7$. Уравнение примет вид:

$\sqrt{y + 7} - \sqrt{y} = 1$

ОДЗ для $y$: $y \ge 0$ и $y+7 \ge 0$, что дает $y \ge 0$. (Также нужно проверить, что $x^2+5x+3 \ge 0$ для найденных $x$).

Перенесем корень и возведем в квадрат:

$\sqrt{y + 7} = 1 + \sqrt{y}$

$y + 7 = (1 + \sqrt{y})^2$

$y + 7 = 1 + 2\sqrt{y} + y$

$6 = 2\sqrt{y}$

$3 = \sqrt{y}$

Возведем в квадрат:

$y = 9$

Значение $y=9$ удовлетворяет условию $y \ge 0$.

Вернемся к исходной переменной:

$x^2 + 5x + 3 = 9$

$x^2 + 5x - 6 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -6$.

Проверим, выполняется ли для этих корней условие ОДЗ $x^2+5x+3 \ge 0$.

При $x=1$: $1^2+5(1)+3=9 \ge 0$. Верно.

При $x=-6$: $(-6)^2+5(-6)+3=36-30+3=9 \ge 0$. Верно.

Оба корня являются решениями.

Ответ: $x = -6, x = 1$.