Номер 616, страница 207 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

616. 1) $ \sqrt{\frac{x^2 - 2x + 3}{x^2 + 2x + 4}} + \sqrt{\frac{x^2 + 2x + 4}{x^2 - 2x + 3}} = \frac{5}{2}; $

2) $ \sqrt{\frac{3x^2 + x}{x^2 - 1}} - \sqrt{\frac{x^2 - 1}{3x^2 + x}} = \frac{3}{2}. $

1) Решим уравнение $ \sqrt{\frac{x^2-2x+3}{x^2+2x+4}} + \sqrt{\frac{x^2+2x+4}{x^2-2x+3}} = \frac{5}{2} $.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнем должны быть неотрицательными. Рассмотрим квадратные трехчлены в числителях и знаменателях:

Для $ x^2-2x+3 $, дискриминант $ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8 < 0 $. Так как старший коэффициент (1) положителен, этот трехчлен всегда больше нуля при любом $x$.

Для $ x^2+2x+4 $, дискриминант $ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12 < 0 $. Так как старший коэффициент (1) положителен, этот трехчлен также всегда больше нуля при любом $x$.

Поскольку оба трехчлена всегда положительны, дроби под корнями всегда положительны, и знаменатели никогда не равны нулю. Следовательно, ОДЗ: $ x \in (-\infty, +\infty) $.

Заметим, что второе слагаемое является обратным к первому. Сделаем замену. Пусть $ y = \sqrt{\frac{x^2-2x+3}{x^2+2x+4}} $. Так как выражение под корнем всегда положительно, то $ y > 0 $.

Тогда уравнение принимает вид: $ y + \frac{1}{y} = \frac{5}{2} $.

Умножим обе части на $ 2y $ (так как $ y \neq 0 $):

$ 2y^2 + 2 = 5y $

$ 2y^2 - 5y + 2 = 0 $

Решим это квадратное уравнение относительно $y$:

$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2 $

$ y_1 = \frac{5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $

$ y_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2 $

Оба значения $y$ положительны, поэтому оба подходят. Вернемся к исходной переменной $x$.

Случай 1: $ y = \frac{1}{2} $

$ \sqrt{\frac{x^2-2x+3}{x^2+2x+4}} = \frac{1}{2} $

Возведем обе части в квадрат:

$ \frac{x^2-2x+3}{x^2+2x+4} = \frac{1}{4} $

$ 4(x^2-2x+3) = x^2+2x+4 $

$ 4x^2 - 8x + 12 = x^2 + 2x + 4 $

$ 3x^2 - 10x + 8 = 0 $

Решим это квадратное уравнение:

$ D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 100 - 96 = 4 = 2^2 $

$ x_1 = \frac{10 - 2}{2 \cdot 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} $

$ x_2 = \frac{10 + 2}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2 $

Случай 2: $ y = 2 $

$ \sqrt{\frac{x^2-2x+3}{x^2+2x+4}} = 2 $

Возведем обе части в квадрат:

$ \frac{x^2-2x+3}{x^2+2x+4} = 4 $

$ x^2-2x+3 = 4(x^2+2x+4) $

$ x^2-2x+3 = 4x^2+8x+16 $

$ 3x^2 + 10x + 13 = 0 $

Найдем дискриминант:

$ D = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 13 = 100 - 156 = -56 < 0 $

Так как дискриминант отрицательный, в этом случае действительных корней нет.

Ответ: $ \{ \frac{4}{3}; 2 \} $.

2) Решим уравнение $ \sqrt{\frac{3x^2+x}{x^2-1}} - \sqrt{\frac{x^2-1}{3x^2+x}} = \frac{3}{2} $.

Найдем ОДЗ. Выражение под корнем должно быть строго положительным (так как оно также находится в знаменателе во втором слагаемом).

$ \frac{3x^2+x}{x^2-1} > 0 \implies \frac{x(3x+1)}{(x-1)(x+1)} > 0 $

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя: $ x=0, x=-1/3 $. Нули знаменателя: $ x=1, x=-1 $. Отметим эти точки на числовой оси и определим знаки выражения в каждом интервале:

$(-\infty; -1) \cup (-1/3; 0) \cup (1; +\infty)$

Это и есть ОДЗ.

Сделаем замену. Пусть $ y = \sqrt{\frac{3x^2+x}{x^2-1}} $. По ОДЗ, $ y > 0 $.

Уравнение принимает вид: $ y - \frac{1}{y} = \frac{3}{2} $.

Умножим обе части на $ 2y $ ($ y \neq 0 $):

$ 2y^2 - 2 = 3y $

$ 2y^2 - 3y - 2 = 0 $

Решим это квадратное уравнение относительно $y$:

$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2 $

$ y_1 = \frac{3 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} $

$ y_2 = \frac{3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2 $

Так как $ y > 0 $, нам подходит только $ y=2 $.

Вернемся к замене:

$ \sqrt{\frac{3x^2+x}{x^2-1}} = 2 $

Возведем обе части в квадрат:

$ \frac{3x^2+x}{x^2-1} = 4 $

$ 3x^2+x = 4(x^2-1) $

$ 3x^2+x = 4x^2-4 $

$ x^2 - x - 4 = 0 $

Решим это квадратное уравнение:

$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 1 + 16 = 17 $

$ x_1 = \frac{1 - \sqrt{17}}{2} $, $ x_2 = \frac{1 + \sqrt{17}}{2} $

Проверим, входят ли корни в ОДЗ: $(-\infty; -1) \cup (-1/3; 0) \cup (1; +\infty)$.

Для $ x_1 = \frac{1 - \sqrt{17}}{2} $: так как $ 4 < \sqrt{17} < 5 $, то $ \frac{1-5}{2} < \frac{1-\sqrt{17}}{2} < \frac{1-4}{2} $, что дает $ -2 < x_1 < -1.5 $. Этот корень входит в интервал $ (-\infty; -1) $.

Для $ x_2 = \frac{1 + \sqrt{17}}{2} $: так как $ 4 < \sqrt{17} < 5 $, то $ \frac{1+4}{2} < \frac{1+\sqrt{17}}{2} < \frac{1+5}{2} $, что дает $ 2.5 < x_2 < 3 $. Этот корень входит в интервал $ (1; +\infty) $.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $ \{ \frac{1 - \sqrt{17}}{2}; \frac{1 + \sqrt{17}}{2} \} $.