Номер 623, страница 213 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

623. Решить систему неравенств:

1) $\begin{cases} 3-x \le 2, \\ 2x+1 \le 4; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2-1 \ge 0, \\ x > 2; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 9-x^2 \le 0, \\ x+5 < 0. \end{cases}$

1) Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство:
$3 - x \le 2$
Перенесем 3 в правую часть:
$-x \le 2 - 3$
$-x \le -1$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$x \ge 1$

Второе неравенство:
$2x + 1 \le 4$
Перенесем 1 в правую часть:
$2x \le 4 - 1$
$2x \le 3$
разделим обе части на 2:
$x \le 1.5$

Теперь найдем пересечение полученных решений: $x \ge 1$ и $x \le 1.5$.
Это означает, что $x$ должен быть одновременно больше или равен 1 и меньше или равен 1.5.
Общим решением является промежуток $[1; 1.5]$.
Ответ: $x \in [1; 1.5]$.

2) Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство:
$x^2 - 1 \ge 0$
Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:
$(x - 1)(x + 1) \ge 0$
Найдем корни соответствующего уравнения $(x-1)(x+1)=0$. Корни: $x_1 = -1$, $x_2 = 1$.
Это парабола с ветвями вверх, поэтому она принимает неотрицательные значения при $x$ левее меньшего корня и правее большего корня.
Решение неравенства: $x \in (-\infty; -1] \cup [1; \infty)$.

Второе неравенство:
$x > 2$

Найдем пересечение множеств решений: $(-\infty; -1] \cup [1; \infty)$ и $(2; \infty)$.
Совмещая эти условия на числовой прямой, видим, что общим решением является интервал $(2; \infty)$.
Ответ: $x \in (2; \infty)$.

3) Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство:
$9 - x^2 \le 0$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$x^2 - 9 \ge 0$
Разложим левую часть на множители:
$(x - 3)(x + 3) \ge 0$
Корни соответствующего уравнения: $x_1 = -3$, $x_2 = 3$.
Это парабола с ветвями вверх, поэтому она принимает неотрицательные значения при $x \le -3$ или $x \ge 3$.
Решение неравенства: $x \in (-\infty; -3] \cup [3; \infty)$.

Второе неравенство:
$x + 5 < 0$
$x < -5$

Найдем пересечение множеств решений: $(-\infty; -3] \cup [3; \infty)$ и $(-\infty; -5)$.
Область $x \ge 3$ не имеет пересечения с $x < -5$.
Пересечением областей $x \le -3$ и $x < -5$ является интервал $(-\infty; -5)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -5)$.