Номер 626, страница 213 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

626. 1) $\sqrt{x^2 - 1} > 1;$

2) $\sqrt{1 - x^2} < 1;$

3) $\sqrt{25 - x^2} > 4;$

4) $\sqrt{25 - x^2} < 4.$

1)

Дано неравенство $\sqrt{x^2 - 1} > 1$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x^2 - 1 \ge 0$

$(x - 1)(x + 1) \ge 0$

Решением этого неравенства является объединение интервалов $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

Теперь решим исходное неравенство. Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:

$(\sqrt{x^2 - 1})^2 > 1^2$

$x^2 - 1 > 1$

$x^2 > 2$

Это неравенство выполняется, когда $|x| > \sqrt{2}$, то есть $x > \sqrt{2}$ или $x < -\sqrt{2}$.

В виде интервалов это записывается как $x \in (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$.

Теперь найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

ОДЗ: $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$

Решение: $x \in (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$

Так как $-\sqrt{2} < -1$ и $\sqrt{2} > 1$, то полученное решение полностью входит в ОДЗ. Следовательно, оно и является окончательным ответом.

Ответ: $x \in (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$.

2)

Дано неравенство $\sqrt{1 - x^2} < 1$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$1 - x^2 \ge 0$

$x^2 \le 1$

Это означает, что $-1 \le x \le 1$, то есть $x \in [-1, 1]$.

Исходное неравенство можно представить в виде двойного неравенства, так как корень всегда неотрицателен:

$0 \le \sqrt{1 - x^2} < 1$

Поскольку все части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат:

$0^2 \le (\sqrt{1 - x^2})^2 < 1^2$

$0 \le 1 - x^2 < 1$

Это можно разбить на систему из двух неравенств:

$\begin{cases} 1 - x^2 \ge 0 \\ 1 - x^2 < 1 \end{cases}$

Первое неравенство $1 - x^2 \ge 0$ совпадает с нашим ОДЗ: $x \in [-1, 1]$.

Решим второе неравенство:

$1 - x^2 < 1$

$-x^2 < 0$

$x^2 > 0$

Это неравенство верно для всех $x$, кроме $x=0$. То есть $x \in (-\infty, 0) \cup (0, \infty)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств (что эквивалентно пересечению с ОДЗ):

$x \in [-1, 1]$ и $x \neq 0$.

Объединяя эти условия, получаем решение: $x \in [-1, 0) \cup (0, 1]$.

Ответ: $x \in [-1, 0) \cup (0, 1]$.

3)

Дано неравенство $\sqrt{25 - x^2} > 4$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$25 - x^2 \ge 0$

$x^2 \le 25$

Отсюда следует, что $-5 \le x \le 5$, то есть $x \in [-5, 5]$.

Теперь решим исходное неравенство. Обе части неравенства неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат:

$(\sqrt{25 - x^2})^2 > 4^2$

$25 - x^2 > 16$

Перенесем члены, чтобы выделить $x^2$:

$25 - 16 > x^2$

$9 > x^2$ или $x^2 < 9$

Это неравенство выполняется при $|x| < 3$, что эквивалентно $-3 < x < 3$.

В виде интервала это записывается как $x \in (-3, 3)$.

Теперь необходимо учесть ОДЗ. Найдем пересечение полученного решения и ОДЗ:

Решение: $x \in (-3, 3)$

ОДЗ: $x \in [-5, 5]$

Интервал $(-3, 3)$ полностью содержится в интервале $[-5, 5]$, поэтому пересечением будет сам интервал $(-3, 3)$.

Ответ: $x \in (-3, 3)$.

4)

Дано неравенство $\sqrt{25 - x^2} < 4$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), как и в предыдущем задании:

$25 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 25 \implies -5 \le x \le 5$.

Итак, ОДЗ: $x \in [-5, 5]$.

Поскольку квадратный корень всегда неотрицателен, исходное неравенство эквивалентно двойному неравенству:

$0 \le \sqrt{25 - x^2} < 4$

Возведем все части неравенства в квадрат:

$0 \le 25 - x^2 < 16$

Это система из двух неравенств:

$\begin{cases} 25 - x^2 \ge 0 \\ 25 - x^2 < 16 \end{cases}$

Первое неравенство $25 - x^2 \ge 0$ соответствует ОДЗ, его решение $x \in [-5, 5]$.

Решим второе неравенство:

$25 - x^2 < 16$

$25 - 16 < x^2$

$9 < x^2$ или $x^2 > 9$

Решением этого неравенства является $x > 3$ или $x < -3$, что в виде интервалов записывается как $x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$.

Теперь найдем пересечение решения второго неравенства с ОДЗ:

$x \in [-5, 5]$ и $x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$.

Пересечение этих множеств дает нам два интервала: $[-5, -3)$ и $(3, 5]$.

Таким образом, окончательное решение - это объединение этих интервалов.

Ответ: $x \in [-5, -3) \cup (3, 5]$.