Номер 625, страница 213 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

625. 1) $\sqrt{x-2} > 3$;

2) $\sqrt{x-2} < 1$;

3) $\sqrt{3-x} < 5$;

4) $\sqrt{4-x} > 3$;

5) $\sqrt{2x-3} > 4$;

6) $\sqrt{4x+5} \leq \frac{1}{2}$.

1) $\sqrt{x-2} > 3$

Для решения иррационального неравенства сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$x - 2 \ge 0$
$x \ge 2$

Поскольку обе части неравенства ($\sqrt{x-2}$ и $3$) неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:
$(\sqrt{x-2})^2 > 3^2$
$x - 2 > 9$
$x > 11$

Теперь найдём пересечение полученного решения с ОДЗ. Мы имеем систему:
$\begin{cases} x \ge 2 \\ x > 11 \end{cases}$
Пересечением этих условий является $x > 11$.

Ответ: $(11, +\infty)$

2) $\sqrt{x-2} < 1$

ОДЗ:
$x - 2 \ge 0$
$x \ge 2$

Возводим в квадрат обе части неравенства, так как они неотрицательны:
$(\sqrt{x-2})^2 < 1^2$
$x - 2 < 1$
$x < 3$

Найдём пересечение решения с ОДЗ:
$\begin{cases} x \ge 2 \\ x < 3 \end{cases}$
Решением системы является интервал $2 \le x < 3$.

Ответ: $[2, 3)$

3) $\sqrt{3-x} < 5$

ОДЗ:
$3 - x \ge 0$
$x \le 3$

Возводим в квадрат обе части неравенства:
$(\sqrt{3-x})^2 < 5^2$
$3 - x < 25$
$-x < 22$
$x > -22$

Найдём пересечение решения с ОДЗ:
$\begin{cases} x \le 3 \\ x > -22 \end{cases}$
Решением системы является интервал $-22 < x \le 3$.

Ответ: $(-22, 3]$

4) $\sqrt{4-x} > 3$

ОДЗ:
$4 - x \ge 0$
$x \le 4$

Возводим в квадрат обе части неравенства:
$(\sqrt{4-x})^2 > 3^2$
$4 - x > 9$
$-x > 5$
$x < -5$

Найдём пересечение решения с ОДЗ:
$\begin{cases} x \le 4 \\ x < -5 \end{cases}$
Пересечением этих условий является $x < -5$.

Ответ: $(-\infty, -5)$

5) $\sqrt{2x-3} > 4$

ОДЗ:
$2x - 3 \ge 0$
$2x \ge 3$
$x \ge \frac{3}{2}$

Возводим в квадрат обе части неравенства:
$(\sqrt{2x-3})^2 > 4^2$
$2x - 3 > 16$
$2x > 19$
$x > \frac{19}{2}$

Найдём пересечение решения с ОДЗ:
$\begin{cases} x \ge \frac{3}{2} \\ x > \frac{19}{2} \end{cases}$
Поскольку $\frac{19}{2} = 9.5$ и $\frac{3}{2} = 1.5$, пересечением является $x > \frac{19}{2}$.

Ответ: $(\frac{19}{2}, +\infty)$

6) $\sqrt{4x+5} \le \frac{1}{2}$

ОДЗ:
$4x + 5 \ge 0$
$4x \ge -5$
$x \ge -\frac{5}{4}$

Возводим в квадрат обе части неравенства:
$(\sqrt{4x+5})^2 \le (\frac{1}{2})^2$
$4x + 5 \le \frac{1}{4}$
$4x \le \frac{1}{4} - 5$
$4x \le \frac{1}{4} - \frac{20}{4}$
$4x \le -\frac{19}{4}$
$x \le -\frac{19}{16}$

Найдём пересечение решения с ОДЗ:
$\begin{cases} x \ge -\frac{5}{4} \\ x \le -\frac{19}{16} \end{cases}$
Приведём дроби к общему знаменателю: $-\frac{5}{4} = -\frac{20}{16}$. Система примет вид:
$\begin{cases} x \ge -\frac{20}{16} \\ x \le -\frac{19}{16} \end{cases}$
Решением является отрезок $-\frac{20}{16} \le x \le -\frac{19}{16}$, или $-\frac{5}{4} \le x \le -\frac{19}{16}$.

Ответ: $[-\frac{5}{4}, -\frac{19}{16}]$