Номер 631, страница 213 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

631. 1) $\sqrt{x} \le 2x$;

2) $\sqrt{x} > 0.5x$;

3) $\sqrt{x} \ge 2x-1$;

4) $\sqrt{x} \ge x^2$.

1) $\sqrt{x} \le 2x$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$. Также, поскольку $\sqrt{x} \ge 0$, правая часть неравенства тоже должна быть неотрицательной для существования решений (кроме $x=0$), то есть $2x \ge 0$, что снова дает $x \ge 0$. Итак, ОДЗ: $x \ge 0$.

При $x=0$ неравенство $ \sqrt{0} \le 2 \cdot 0 $ превращается в $0 \le 0$, что является верным. Значит, $x=0$ — это одно из решений.

При $x > 0$ обе части неравенства положительны, поэтому мы можем возвести обе части в квадрат, не меняя знака неравенства:
$(\sqrt{x})^2 \le (2x)^2$
$x \le 4x^2$
$4x^2 - x \ge 0$

Вынесем $x$ за скобки:
$x(4x - 1) \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни уравнения $x(4x - 1) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 1/4$. Поскольку это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при $x \le 0$ или $x \ge 1/4$.

Теперь объединим полученное решение с ОДЗ ($x \ge 0$). Решение $x \le 0$ с учетом ОДЗ дает только точку $x=0$. Решение $x \ge 1/4$ с учетом ОДЗ остается $x \ge 1/4$.

Объединяя эти результаты, получаем итоговое решение.
Ответ: $x=0$ и $x \ge 1/4$, или в виде множества $x \in \{0\} \cup [1/4, +\infty)$.

2) $\sqrt{x} > 0.5x$

ОДЗ: $x \ge 0$. Если $x=0$, неравенство $\sqrt{0} > 0.5 \cdot 0$ становится $0 > 0$, что неверно. Следовательно, $x \ne 0$. Таким образом, мы ищем решения при $x > 0$.

При $x > 0$ обе части неравенства положительны. Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 > (0.5x)^2$
$x > 0.25x^2$
$0.25x^2 - x < 0$

Вынесем $x$ за скобки:
$x(0.25x - 1) < 0$

Решим методом интервалов. Корни уравнения $x(0.25x - 1) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$. Парабола $y = 0.25x^2 - x$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $0 < x < 4$.

Это решение полностью удовлетворяет нашему условию $x > 0$.
Ответ: $0 < x < 4$, или $x \in (0, 4)$.

3) $\sqrt{x} \ge 2x - 1$

ОДЗ: $x \ge 0$. Решение иррациональных неравенств вида $\sqrt{f(x)} \ge g(x)$ равносильно совокупности двух систем:

Система 1: Правая часть отрицательна.
$\begin{cases} g(x) < 0 \\ f(x) \ge 0 \end{cases}$
В нашем случае:
$\begin{cases} 2x - 1 < 0 \\ x \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 1/2 \\ x \ge 0 \end{cases}$
Решением этой системы является промежуток $[0, 1/2)$. Для всех $x$ из этого промежутка левая часть ($\sqrt{x}$) неотрицательна, а правая ($2x-1$) отрицательна, поэтому неравенство выполняется.

Система 2: Правая часть неотрицательна.
$\begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) \ge (g(x))^2 \end{cases}$
В этом случае обе части неравенства неотрицательны, и мы можем возвести их в квадрат:
$\begin{cases} 2x - 1 \ge 0 \\ x \ge (2x - 1)^2 \end{cases}$

Решим второе неравенство системы:
$x \ge 4x^2 - 4x + 1$
$4x^2 - 5x + 1 \le 0$
Найдем корни квадратного трехчлена $4x^2 - 5x + 1 = 0$. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9$.
$x_1 = \frac{5 - \sqrt{9}}{8} = \frac{5 - 3}{8} = \frac{2}{8} = 1/4$.
$x_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{8} = \frac{5 + 3}{8} = \frac{8}{8} = 1$.
Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства $4x^2 - 5x + 1 \le 0$ есть отрезок $[1/4, 1]$.

Теперь вернемся к Системе 2 и найдем пересечение ее решений:
$\begin{cases} x \ge 1/2 \\ 1/4 \le x \le 1 \end{cases}$
Пересечением является промежуток $[1/2, 1]$.

Общее решение исходного неравенства — это объединение решений обеих систем:
$[0, 1/2) \cup [1/2, 1] = [0, 1]$.
Ответ: $0 \le x \le 1$, или $x \in [0, 1]$.

4) $\sqrt{x} \ge x^2$

ОДЗ: $x \ge 0$. При $x \ge 0$ обе части неравенства неотрицательны, поэтому можно возвести их в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 \ge (x^2)^2$
$x \ge x^4$
$x^4 - x \le 0$

Вынесем $x$ за скобки:
$x(x^3 - 1) \le 0$

Разложим на множители разность кубов $x^3 - 1 = (x-1)(x^2+x+1)$.
$x(x-1)(x^2+x+1) \le 0$

Выражение $x^2+x+1$ всегда положительно при любом $x$, так как его дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$, а коэффициент при $x^2$ положителен. Значит, можно разделить обе части неравенства на $x^2+x+1$, не меняя знака:
$x(x - 1) \le 0$

Решая это неравенство методом интервалов (корни 0 и 1, парабола с ветвями вверх), получаем $0 \le x \le 1$.

Это решение полностью удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 0$).
Ответ: $0 \le x \le 1$, или $x \in [0, 1]$.