Номер 638, страница 214 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

638. Найти область определения функции:

1) $y = \sqrt[3]{1 - x};$

2) $y = \sqrt[6]{2 - x^2};$

3) $y = (3x^2 + 1)^{-2};$

4) $y = \sqrt{x^2 - x - 2}.$

1) $y = \sqrt[3]{1-x}$

Областью определения функции является множество всех значений переменной $x$, при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл. В данном случае функция представляет собой корень нечетной (третьей) степени. Корень нечетной степени можно извлечь из любого действительного числа (положительного, отрицательного или нуля). Поэтому подкоренное выражение $1-x$ может быть любым действительным числом. Никаких ограничений на $x$ не накладывается.

Следовательно, область определения функции — все действительные числа.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $x \in \mathbb{R}$.

2) $y = \sqrt[6]{2-x^2}$

Данная функция представляет собой корень четной (шестой) степени. Корень четной степени определен только для неотрицательных чисел. Следовательно, подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю:

$2 - x^2 \ge 0$

Перенесем $x^2$ в правую часть неравенства:

$2 \ge x^2$ или $x^2 \le 2$

Это неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} x \le \sqrt{2} \\ x \ge -\sqrt{2} \end{cases}$

Таким образом, решением неравенства является промежуток $[-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$. Это и есть область определения функции.

Ответ: $D(y) = [-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$.

3) $y = (3x^2 + 1)^{-2}$

Выражение с отрицательной степенью можно представить в виде дроби:

$y = \frac{1}{(3x^2 + 1)^2}$

Эта функция является дробно-рациональной. Она определена для всех значений $x$, при которых знаменатель не равен нулю:

$(3x^2 + 1)^2 \neq 0$

Это равносильно тому, что $3x^2 + 1 \neq 0$.

Рассмотрим выражение $3x^2 + 1$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $3x^2 \ge 0$. Следовательно, $3x^2 + 1 \ge 1$. Это означает, что выражение $3x^2 + 1$ всегда положительно и никогда не равно нулю. Значит, и знаменатель $(3x^2 + 1)^2$ никогда не равен нулю.

Таким образом, ограничений на переменную $x$ нет.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $x \in \mathbb{R}$.

4) $y = \sqrt{x^2 - x - 2}$

Функция представляет собой квадратный корень, который является корнем четной степени. Следовательно, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$x^2 - x - 2 \ge 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - x - 2 = 0$.

Используем теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 3}{2} = -1$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 3}{2} = 2$

Парабола $y = x^2 - x - 2$ ветвями направлена вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен). Значит, значения квадратного трехчлена неотрицательны при $x$ левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty; -1] \cup [2; +\infty)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; -1] \cup [2; +\infty)$.