Номер 642, страница 214 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

642. Решить уравнение:

1) $\sqrt{3-x}=2$;

2) $\sqrt{3x+1}=8$;

3) $\sqrt{3-4x}=2x$;

4) $\sqrt{5x-1+3x^2}=3x$;

5) $\sqrt[3]{x^2-17}=2$;

6) $\sqrt[4]{x^2+17}=3$.

1) Исходное уравнение: $\sqrt{3-x} = 2$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что выражение под корнем должно быть неотрицательным: $3-x \ge 0$, откуда $x \le 3$.
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:
$(\sqrt{3-x})^2 = 2^2$
$3-x = 4$
Перенесем 3 в правую часть:
$-x = 4 - 3$
$-x = 1$
$x = -1$
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Так как $-1 \le 3$, корень подходит.
Выполним проверку, подставив корень в исходное уравнение:
$\sqrt{3 - (-1)} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$.
$2=2$. Равенство верное.
Ответ: $x = -1$.

2) Исходное уравнение: $\sqrt{3x+1} = 8$.
ОДЗ: $3x+1 \ge 0$, откуда $3x \ge -1$, то есть $x \ge -1/3$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{3x+1})^2 = 8^2$
$3x+1 = 64$
$3x = 63$
$x = 21$
Проверим корень по ОДЗ: $21 \ge -1/3$. Корень подходит.
Проверка подстановкой в исходное уравнение:
$\sqrt{3 \cdot 21 + 1} = \sqrt{63+1} = \sqrt{64} = 8$.
$8=8$. Равенство верное.
Ответ: $x = 21$.

3) Исходное уравнение: $\sqrt{3-4x} = 2x$.
Найдем ОДЗ. Во-первых, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $3-4x \ge 0 \implies 4x \le 3 \implies x \le 3/4$.
Во-вторых, значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным, поэтому правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $2x \ge 0 \implies x \ge 0$.
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $0 \le x \le 3/4$.
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{3-4x})^2 = (2x)^2$
$3-4x = 4x^2$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$4x^2 + 4x - 3 = 0$
Решим его через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 \pm 8}{8}$.
$x_1 = \frac{-4+8}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
$x_2 = \frac{-4-8}{8} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2}$.
Проверим корни на принадлежность ОДЗ ($0 \le x \le 3/4$).
Корень $x_1 = 1/2$ удовлетворяет условию, так как $0 \le 1/2 \le 3/4$.
Корень $x_2 = -3/2$ не удовлетворяет условию, так как он отрицателен. Это посторонний корень.
Проверка для $x=1/2$: $\sqrt{3 - 4(1/2)} = \sqrt{3-2} = \sqrt{1} = 1$. Правая часть: $2(1/2)=1$. $1=1$. Верно.
Ответ: $x = 1/2$.

4) Исходное уравнение: $\sqrt{5x-1+3x^2} = 3x$.
ОДЗ: $5x-1+3x^2 \ge 0$ и $3x \ge 0 \implies x \ge 0$.
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{3x^2+5x-1})^2 = (3x)^2$
$3x^2+5x-1 = 9x^2$
$6x^2 - 5x + 1 = 0$
Решим квадратное уравнение: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$.
$x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{5 \pm 1}{12}$.
$x_1 = \frac{5+1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.
$x_2 = \frac{5-1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.
Оба корня положительны ($1/2 > 0$ и $1/3 > 0$), поэтому они удовлетворяют условию $x \ge 0$. Проверим их подстановкой в исходное уравнение.
Для $x=1/2$: $\sqrt{3(\frac{1}{2})^2 + 5(\frac{1}{2}) - 1} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{5}{2} - 1} = \sqrt{\frac{3+10-4}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$. Правая часть: $3(\frac{1}{2}) = \frac{3}{2}$. Верно.
Для $x=1/3$: $\sqrt{3(\frac{1}{3})^2 + 5(\frac{1}{3}) - 1} = \sqrt{\frac{3}{9} + \frac{5}{3} - 1} = \sqrt{\frac{1}{3} + \frac{5}{3} - \frac{3}{3}} = \sqrt{\frac{3}{3}} = \sqrt{1} = 1$. Правая часть: $3(\frac{1}{3}) = 1$. Верно.
Оба корня являются решениями.
Ответ: $x_1=1/3, x_2=1/2$.

5) Исходное уравнение: $\sqrt[3]{x^2 - 17} = 2$.
Поскольку корень нечетной степени (кубический), ОДЗ для $x$ - все действительные числа.
Возведем обе части уравнения в куб:
$(\sqrt[3]{x^2 - 17})^3 = 2^3$
$x^2 - 17 = 8$
$x^2 = 25$
$x = \pm \sqrt{25}$
$x_1 = 5, x_2 = -5$.
Проверка: $\sqrt[3]{(\pm 5)^2 - 17} = \sqrt[3]{25-17} = \sqrt[3]{8} = 2$. Верно.
Ответ: $x = \pm 5$.

6) Исходное уравнение: $\sqrt[4]{x^2 + 17} = 3$.
ОДЗ: $x^2 + 17 \ge 0$. Это неравенство выполняется для любого действительного $x$, так как $x^2 \ge 0$.
Возведем обе части уравнения в четвертую степень:
$(\sqrt[4]{x^2 + 17})^4 = 3^4$
$x^2 + 17 = 81$
$x^2 = 81 - 17$
$x^2 = 64$
$x = \pm \sqrt{64}$
$x_1 = 8, x_2 = -8$.
Проверка: $\sqrt[4]{(\pm 8)^2 + 17} = \sqrt[4]{64+17} = \sqrt[4]{81} = 3$. Верно.
Ответ: $x = \pm 8$.