Номер 649, страница 215 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Решить уравнение (649—650).

649. 1) $ \sqrt{x-4} = \sqrt{x-3} - \sqrt{2x-1} $

2) $ 2\sqrt{x+3} - \sqrt{2x+7} = \sqrt{x} $

3) $ \sqrt{x-3} = \sqrt{2x+1} - \sqrt{x+4} $

4) $ \sqrt{9-2x} = 2\sqrt{4-x} - \sqrt{1-x} $

1) $\sqrt{x-4} = \sqrt{x-3} - \sqrt{2x-1}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Все выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:

$x-4 \ge 0 \implies x \ge 4$

$x-3 \ge 0 \implies x \ge 3$

$2x-1 \ge 0 \implies x \ge 0.5$

Чтобы все три условия выполнялись одновременно, необходимо, чтобы $x \ge 4$.

Кроме того, левая часть уравнения, $\sqrt{x-4}$, является неотрицательной. Следовательно, и правая часть уравнения также должна быть неотрицательной:

$\sqrt{x-3} - \sqrt{2x-1} \ge 0$

$\sqrt{x-3} \ge \sqrt{2x-1}$

Так как обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат:

$x-3 \ge 2x-1$

$-3+1 \ge 2x-x$

$-2 \ge x$, или $x \le -2$.

Итак, мы имеем два условия, которые должны выполняться одновременно: $x \ge 4$ и $x \le -2$. Эти условия противоречат друг другу, поскольку не существует числа, которое было бы одновременно больше или равно 4 и меньше или равно -2. Следовательно, уравнение не имеет решений в области действительных чисел.

Ответ: нет решений.

2) $2\sqrt{x+3} - \sqrt{2x+7} = \sqrt{x}$

Найдем ОДЗ:

$x+3 \ge 0 \implies x \ge -3$

$2x+7 \ge 0 \implies x \ge -3.5$

$x \ge 0$

Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \ge 0$.

Перенесем член $-\sqrt{2x+7}$ в правую часть, чтобы при возведении в квадрат было меньше слагаемых:

$2\sqrt{x+3} = \sqrt{x} + \sqrt{2x+7}$

Поскольку обе части уравнения неотрицательны при $x \ge 0$, возведем их в квадрат:

$(2\sqrt{x+3})^2 = (\sqrt{x} + \sqrt{2x+7})^2$

$4(x+3) = x + 2\sqrt{x(2x+7)} + 2x+7$

$4x+12 = 3x+7 + 2\sqrt{2x^2+7x}$

Уединим оставшийся корень:

$4x - 3x + 12 - 7 = 2\sqrt{2x^2+7x}$

$x+5 = 2\sqrt{2x^2+7x}$

Для $x$ из ОДЗ ($x \ge 0$) левая часть $x+5$ всегда положительна. Снова возведем в квадрат:

$(x+5)^2 = (2\sqrt{2x^2+7x})^2$

$x^2+10x+25 = 4(2x^2+7x)$

$x^2+10x+25 = 8x^2+28x$

$7x^2+18x-25 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = 18^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-25) = 324 + 700 = 1024 = 32^2$

$x = \frac{-18 \pm \sqrt{1024}}{2 \cdot 7} = \frac{-18 \pm 32}{14}$

$x_1 = \frac{-18+32}{14} = \frac{14}{14} = 1$

$x_2 = \frac{-18-32}{14} = \frac{-50}{14} = -\frac{25}{7}$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$).

Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x_2 = -25/7$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $-25/7 < 0$.

Проверим корень $x=1$ подстановкой в исходное уравнение:

$2\sqrt{1+3} - \sqrt{2(1)+7} = 2\sqrt{4} - \sqrt{9} = 2 \cdot 2 - 3 = 4-3=1$.

Правая часть: $\sqrt{1} = 1$.

$1=1$. Равенство верно.

Ответ: $1$.

3) $\sqrt{x-3} = \sqrt{2x+1} - \sqrt{x+4}$

Найдем ОДЗ:

$x-3 \ge 0 \implies x \ge 3$

$2x+1 \ge 0 \implies x \ge -0.5$

$x+4 \ge 0 \implies x \ge -4$

Общая ОДЗ: $x \ge 3$.

Проверим условие неотрицательности правой части: $\sqrt{2x+1} - \sqrt{x+4} \ge 0 \implies \sqrt{2x+1} \ge \sqrt{x+4} \implies 2x+1 \ge x+4 \implies x \ge 3$. Это условие совпадает с ОДЗ, поэтому дополнительных ограничений не возникает.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x-3})^2 = (\sqrt{2x+1} - \sqrt{x+4})^2$

$x-3 = (2x+1) - 2\sqrt{(2x+1)(x+4)} + (x+4)$

$x-3 = 3x+5 - 2\sqrt{2x^2+8x+x+4}$

$x-3 = 3x+5 - 2\sqrt{2x^2+9x+4}$

Уединим корень:

$2\sqrt{2x^2+9x+4} = 3x+5 - (x-3)$

$2\sqrt{2x^2+9x+4} = 2x+8$

$\sqrt{2x^2+9x+4} = x+4$

Для $x \ge 3$ правая часть $x+4$ положительна. Возводим в квадрат:

$2x^2+9x+4 = (x+4)^2$

$2x^2+9x+4 = x^2+8x+16$

$x^2+x-12=0$

По теореме Виета находим корни: $x_1 = 3$, $x_2 = -4$.

Проверяем корни по ОДЗ ($x \ge 3$).

Корень $x_1=3$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x_2=-4$ не удовлетворяет ОДЗ.

Проверим корень $x=3$ подстановкой:

$\sqrt{3-3} = 0$.

$\sqrt{2(3)+1} - \sqrt{3+4} = \sqrt{7} - \sqrt{7} = 0$.

$0=0$. Равенство верно.

Ответ: $3$.

4) $\sqrt{9-2x} = 2\sqrt{4-x} - \sqrt{1-x}$

Найдем ОДЗ:

$9-2x \ge 0 \implies x \le 4.5$

$4-x \ge 0 \implies x \le 4$

$1-x \ge 0 \implies x \le 1$

Общая ОДЗ: $x \le 1$.

Проверим неотрицательность правой части: $2\sqrt{4-x} - \sqrt{1-x} \ge 0 \implies 2\sqrt{4-x} \ge \sqrt{1-x} \implies 4(4-x) \ge 1-x \implies 16-4x \ge 1-x \implies 15 \ge 3x \implies x \le 5$. Это условие выполняется для всех $x$ из ОДЗ ($x \le 1$).

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{9-2x})^2 = (2\sqrt{4-x} - \sqrt{1-x})^2$

$9-2x = 4(4-x) - 2 \cdot 2\sqrt{4-x} \cdot \sqrt{1-x} + (1-x)$

$9-2x = 16-4x - 4\sqrt{(4-x)(1-x)} + 1-x$

$9-2x = 17-5x - 4\sqrt{x^2-5x+4}$

Уединим корень:

$4\sqrt{x^2-5x+4} = 17-5x - (9-2x)$

$4\sqrt{x^2-5x+4} = 8-3x$

Для $x \le 1$ правая часть $8-3x$ положительна. Возводим в квадрат:

$(4\sqrt{x^2-5x+4})^2 = (8-3x)^2$

$16(x^2-5x+4) = 64-48x+9x^2$

$16x^2-80x+64 = 64-48x+9x^2$

$7x^2-32x=0$

$x(7x-32)=0$

Отсюда $x_1=0$ или $7x-32=0 \implies x_2 = 32/7$.

Проверяем корни по ОДЗ ($x \le 1$).

Корень $x_1=0$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x_2=32/7 \approx 4.57$ не удовлетворяет ОДЗ.

Проверим корень $x=0$ подстановкой:

$\sqrt{9-2(0)} = \sqrt{9} = 3$.

$2\sqrt{4-0} - \sqrt{1-0} = 2\sqrt{4} - \sqrt{1} = 2 \cdot 2 - 1 = 3$.

$3=3$. Равенство верно.

Ответ: $0$.