Номер 644, страница 215 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

644. Расположить числа в порядке возрастания:

1) $0,3^\pi; 0,3^{0,5}; 0,3^{\frac{2}{3}}; 0,3^{3,1415};$

2) $\sqrt{2}^\pi; 1,9^\pi; \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^\pi; \pi^\pi;$

3) $5^{-2}; 5^{-0,7}; 5^{\frac{1}{3}}; \left(\frac{1}{5}\right)^{2,1};$

4) $0,5^{-\frac{2}{3}}; 1,3^{-\frac{2}{3}}; \pi^{-\frac{2}{3}}; \sqrt{2}^{-\frac{2}{3}}.$

1)

Чтобы расположить числа $0,3^\pi$, $0,3^{0,5}$, $0,3^{\frac{2}{3}}$, $0,3^{3,1415}$ в порядке возрастания, нужно сравнить их. Все числа представляют собой степени с одинаковым основанием $a = 0,3$.

Показательная функция $y = a^x$ при $0 < a < 1$ является убывающей. Это означает, что большему значению показателя степени соответствует меньшее значение функции. В нашем случае основание $a = 0,3$, что удовлетворяет условию $0 < a < 1$.

Следовательно, чтобы расположить данные числа в порядке возрастания, нужно расположить их показатели степени в порядке убывания.

Сравним показатели степени: $\pi$, $0,5$, $\frac{2}{3}$, $3,1415$.

Приведем их к десятичному виду для удобства сравнения:

• $\pi \approx 3,14159265...$
• $0,5$
• $\frac{2}{3} \approx 0,666...$
• $3,1415$

Расположим показатели в порядке убывания: $\pi > 3,1415 > \frac{2}{3} > 0,5$.

Так как функция $y = 0,3^x$ убывающая, то соответствующий порядок для исходных чисел будет обратным (возрастающим): $0,3^\pi < 0,3^{3,1415} < 0,3^{\frac{2}{3}} < 0,3^{0,5}$.

Ответ: $0,3^\pi; 0,3^{3,1415}; 0,3^{\frac{2}{3}}; 0,3^{0,5}$.

2)

Чтобы расположить числа $\sqrt{2^\pi}$, $1,9^\pi$, $(\frac{1}{\sqrt{2}})^\pi$, $\pi^\pi$ в порядке возрастания, нужно сравнить их. Все числа представляют собой степени с одинаковым показателем $\pi$.

Преобразуем первое число: $\sqrt{2^\pi} = (2^\pi)^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{\pi}{2}} = (2^{\frac{1}{2}})^\pi = (\sqrt{2})^\pi$.

Таким образом, мы сравниваем числа: $(\sqrt{2})^\pi$, $1,9^\pi$, $(\frac{1}{\sqrt{2}})^\pi$, $\pi^\pi$.

Степенная функция $y = a^x$ при положительном показателе $x > 0$ является возрастающей по основанию $a$ (для $a > 0$). В нашем случае показатель $x = \pi > 0$.

Это означает, что большему значению основания соответствует большее значение функции. Следовательно, чтобы расположить данные числа в порядке возрастания, нужно расположить их основания в порядке возрастания.

Сравним основания: $\sqrt{2}$, $1,9$, $\frac{1}{\sqrt{2}}$, $\pi$.

Приведем их к десятичному виду для удобства сравнения:

• $\sqrt{2} \approx 1,414$
• $1,9$
• $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,707$
• $\pi \approx 3,14159$

Расположим основания в порядке возрастания: $\frac{1}{\sqrt{2}} < \sqrt{2} < 1,9 < \pi$.

Так как функция $y = a^\pi$ возрастающая, то исходные числа в порядке возрастания будут расположены в том же порядке, что и их основания: $(\frac{1}{\sqrt{2}})^\pi < (\sqrt{2})^\pi < 1,9^\pi < \pi^\pi$.

Заменяя $(\sqrt{2})^\pi$ на исходное выражение $\sqrt{2^\pi}$, получаем окончательный ответ.

Ответ: $(\frac{1}{\sqrt{2}})^\pi; \sqrt{2^\pi}; 1,9^\pi; \pi^\pi$.

3)

Чтобы расположить числа $5^{-2}$, $5^{-0,7}$, $5^{\frac{1}{3}}$, $(\frac{1}{5})^{2,1}$ в порядке возрастания, приведем их к степеням с одинаковым основанием. В качестве общего основания выберем $5$.

Преобразуем последнее число: $(\frac{1}{5})^{2,1} = (5^{-1})^{2,1} = 5^{-2,1}$.

Теперь мы сравниваем числа: $5^{-2}$, $5^{-0,7}$, $5^{\frac{1}{3}}$, $5^{-2,1}$.

Показательная функция $y = a^x$ при $a > 1$ является возрастающей. Это означает, что большему значению показателя степени соответствует большее значение функции. В нашем случае основание $a = 5 > 1$.

Следовательно, чтобы расположить данные числа в порядке возрастания, нужно расположить их показатели степени в порядке возрастания.

Сравним показатели степени: $-2$, $-0,7$, $\frac{1}{3}$, $-2,1$.

Заметим, что $\frac{1}{3} \approx 0,333...$.

Расположим показатели в порядке возрастания: $-2,1 < -2 < -0,7 < \frac{1}{3}$.

Так как функция $y = 5^x$ возрастающая, то исходные числа в порядке возрастания будут расположены в том же порядке, что и их показатели: $5^{-2,1} < 5^{-2} < 5^{-0,7} < 5^{\frac{1}{3}}$.

Заменяя $5^{-2,1}$ на исходное выражение $(\frac{1}{5})^{2,1}$, получаем окончательный ответ.

Ответ: $(\frac{1}{5})^{2,1}; 5^{-2}; 5^{-0,7}; 5^{\frac{1}{3}}$.

4)

Чтобы расположить числа $0,5^{-\frac{2}{3}}$, $1,3^{-\frac{2}{3}}$, $\pi^{-\frac{2}{3}}$, $\sqrt{2}^{-\frac{2}{3}}$ в порядке возрастания, нужно сравнить их. Все числа представляют собой степени с одинаковым показателем $x = -\frac{2}{3}$.

Степенная функция $y = a^x$ при отрицательном показателе $x < 0$ является убывающей по основанию $a$ (для $a > 0$). В нашем случае показатель $x = -\frac{2}{3} < 0$.

Это означает, что большему значению основания соответствует меньшее значение функции. Следовательно, чтобы расположить данные числа в порядке возрастания, нужно расположить их основания в порядке убывания.

Сравним основания: $0,5$, $1,3$, $\pi$, $\sqrt{2}$.

Приведем их к десятичному виду для удобства сравнения:

• $0,5$
• $1,3$
• $\pi \approx 3,14159$
• $\sqrt{2} \approx 1,414$

Расположим основания в порядке возрастания: $0,5 < 1,3 < \sqrt{2} < \pi$.

Соответственно, в порядке убывания основания располагаются так: $\pi > \sqrt{2} > 1,3 > 0,5$.

Так как функция $y = a^{-\frac{2}{3}}$ убывающая, то исходные числа в порядке возрастания будут расположены в порядке, обратном порядку их оснований, то есть в порядке убывания оснований: $\pi^{-\frac{2}{3}} < \sqrt{2}^{-\frac{2}{3}} < 1,3^{-\frac{2}{3}} < 0,5^{-\frac{2}{3}}$.

Ответ: $\pi^{-\frac{2}{3}}; \sqrt{2}^{-\frac{2}{3}}; 1,3^{-\frac{2}{3}}; 0,5^{-\frac{2}{3}}$.