Номер 647, страница 215 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

647. Найти область определения функции:

1) $y = \sqrt{x^3 - 3x^2 + 2x}$;

2) $y = \sqrt{3x + 2x^2 - x^3}$;

3) $y = (x^3 - x^2)^{\frac{3}{5}};

4) $y = (x^4 + x^3)^{-\frac{3}{4}};

5) $y = \frac{3}{\sqrt[6]{3x^2 + 14x + 8}};$

6) $y = \frac{1}{\sqrt[3]{x - \sqrt{x + 2}}}.$

1) Область определения функции $y = \sqrt{x^3 - 3x^2 + 2x}$ задается условием неотрицательности подкоренного выражения:
$x^3 - 3x^2 + 2x \ge 0$
Разложим левую часть неравенства на множители. Сначала вынесем $x$ за скобки:
$x(x^2 - 3x + 2) \ge 0$
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно 2. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.
Тогда неравенство можно записать в виде:
$x(x-1)(x-2) \ge 0$
Решим это неравенство методом интервалов. Корни $0, 1, 2$ разбивают числовую ось на интервалы $(-\infty, 0)$, $(0, 1)$, $(1, 2)$, $(2, \infty)$. Определим знак выражения в каждом интервале:
- Если $x > 2$, все три множителя положительны, произведение положительно.
- Если $1 < x < 2$, множитель $(x-2)$ отрицателен, остальные положительны, произведение отрицательно.
- Если $0 < x < 1$, множители $(x-1)$ и $(x-2)$ отрицательны, $x$ положителен, произведение положительно.
- Если $x < 0$, все три множителя отрицательны, произведение отрицательно.
Поскольку неравенство нестрогое ($\ge 0$), в область определения входят также и сами корни. Таким образом, решением является объединение промежутков, где выражение положительно или равно нулю.
Ответ: $D(y) = [0, 1] \cup [2, \infty)$.

2) Область определения функции $y = \sqrt{3x + 2x^2 - x^3}$ задается условием:
$3x + 2x^2 - x^3 \ge 0$
Вынесем $x$ за скобки и умножим неравенство на $-1$, изменив знак на противоположный:
$-x(x^2 - 2x - 3) \ge 0$
$x(x^2 - 2x - 3) \le 0$
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, сумма корней 2, произведение -3. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.
Неравенство принимает вид:
$x(x-3)(x+1) \le 0$
Решим методом интервалов. Корни $-1, 0, 3$ разбивают числовую ось на интервалы $(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$, $(0, 3)$, $(3, \infty)$. Определим знак выражения:
- Если $x > 3$, все множители положительны, произведение положительно.
- Если $0 < x < 3$, множитель $(x-3)$ отрицателен, произведение отрицательно.
- Если $-1 < x < 0$, множители $x$ и $(x-3)$ отрицательны, произведение положительно.
- Если $x < -1$, все множители отрицательны, произведение отрицательно.
Нас интересуют промежутки, где выражение отрицательно или равно нулю.
Ответ: $D(y) = (-\infty, -1] \cup [0, 3]$.

3) Функция $y = (x^3 - x^2)^{\frac{3}{5}}$ может быть представлена в виде $y = \sqrt[5]{(x^3 - x^2)^3}$.
Подкоренное выражение $x^3 - x^2$ является многочленом, который определен для любых действительных значений $x$.
Корень пятой степени (нечетной степени) извлекается из любого действительного числа.
Следовательно, никаких ограничений на область определения функции нет.
Ответ: $D(y) = (-\infty, \infty)$.

4) Функция $y = (x^4 + x^3)^{-\frac{3}{4}}$ может быть представлена в виде $y = \frac{1}{(x^4 + x^3)^{\frac{3}{4}}} = \frac{1}{\sqrt[4]{(x^4 + x^3)^3}}$.
Область определения задается двумя условиями: выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным, и знаменатель не должен быть равен нулю. Объединяя эти условия, получаем, что выражение под корнем должно быть строго положительным:
$x^4 + x^3 > 0$
Вынесем $x^3$ за скобки:
$x^3(x+1) > 0$
Решим методом интервалов. Корни левой части: $x=0$ и $x=-1$.
Интервалы: $(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$, $(0, \infty)$.
- Если $x > 0$, оба множителя положительны, произведение положительно.
- Если $-1 < x < 0$, $x^3$ отрицателен, $(x+1)$ положителен, произведение отрицательно.
- Если $x < -1$, оба множителя отрицательны, произведение положительно.
Так как неравенство строгое, сами корни не входят в решение.
Ответ: $D(y) = (-\infty, -1) \cup (0, \infty)$.

5) Для функции $y = \frac{3}{\sqrt[6]{3x^2 + 14x + 8}}$ выражение под корнем шестой степени (четной) в знаменателе должно быть строго положительным:
$3x^2 + 14x + 8 > 0$
Это квадратичное неравенство. Найдем корни соответствующего уравнения $3x^2 + 14x + 8 = 0$ с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 14^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 196 - 96 = 100 = 10^2$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 \pm 10}{6}$
$x_1 = \frac{-14 - 10}{6} = \frac{-24}{6} = -4$
$x_2 = \frac{-14 + 10}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$
Парабола $y = 3x^2 + 14x + 8$ имеет ветви, направленные вверх (т.к. $a=3 > 0$), поэтому она принимает положительные значения вне интервала между корнями.
Ответ: $D(y) = (-\infty, -4) \cup (-\frac{2}{3}, \infty)$.

6) Область определения функции $y = \frac{1}{\sqrt[3]{x} - \sqrt{x+2}}$ определяется двумя условиями:
1. Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным: $x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$.
2. Знаменатель не должен равняться нулю: $\sqrt[3]{x} - \sqrt{x+2} \ne 0$.
Рассмотрим уравнение $\sqrt[3]{x} = \sqrt{x+2}$.
Правая часть уравнения, $\sqrt{x+2}$, по определению арифметического корня, неотрицательна. Следовательно, для существования решения левая часть также должна быть неотрицательной: $\sqrt[3]{x} \ge 0$, что эквивалентно $x \ge 0$.
Таким образом, мы ищем решения уравнения при условии $x \ge 0$.
Возведем обе части уравнения в шестую степень, чтобы избавиться от корней:
$(\sqrt[3]{x})^6 = (\sqrt{x+2})^6$
$x^2 = (x+2)^3$
$x^2 = x^3 + 3x^2(2) + 3x(2^2) + 2^3$
$x^2 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$
$x^3 + 5x^2 + 12x + 8 = 0$
При $x \ge 0$ все слагаемые в левой части неотрицательны ($x^3 \ge 0, 5x^2 \ge 0, 12x \ge 0$), а свободный член равен 8. Их сумма всегда строго больше нуля.
Следовательно, это уравнение не имеет решений при $x \ge 0$, а значит, и вообще не имеет решений.
Это означает, что знаменатель функции никогда не обращается в ноль.
Единственным ограничением остается условие $x \ge -2$.
Ответ: $D(y) = [-2, \infty)$.