Номер 654, страница 216 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

654. $\begin{cases}\sqrt{25 - x^2} - \sqrt{25 - y^2} = \sqrt{8}, \\\sqrt{25 - x^2} + \sqrt{25 - y^2} = \sqrt{16 + (x+y)^2}.\end{cases}$

Для решения данной системы уравнений сначала определим область допустимых значений (ОДЗ).

1. Область допустимых значений (ОДЗ)

Подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$25 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 25 \implies -5 \le x \le 5$.

$25 - y^2 \ge 0 \implies y^2 \le 25 \implies -5 \le y \le 5$.

Из первого уравнения системы $\sqrt{25-x^2} - \sqrt{25-y^2} = \sqrt{8} > 0$, следует, что $\sqrt{25-x^2} > \sqrt{25-y^2}$.

Так как обе части неравенства неотрицательны, можно возвести их в квадрат: $25-x^2 > 25-y^2$.

Это приводит к неравенству $-x^2 > -y^2$, или $x^2 < y^2$. Это важное условие для проверки решений.

2. Преобразование системы уравнений

Исходная система:

$\begin{cases} \sqrt{25-x^2} - \sqrt{25-y^2} = \sqrt{8} & (1) \\ \sqrt{25-x^2} + \sqrt{25-y^2} = \sqrt{16 + (x+y)^2} & (2) \end{cases}$

Возведем оба уравнения в квадрат:

$(1)^2: (25-x^2) - 2\sqrt{(25-x^2)(25-y^2)} + (25-y^2) = 8$

$50 - (x^2+y^2) - 2\sqrt{(25-x^2)(25-y^2)} = 8$ (3)

$(2)^2: (25-x^2) + 2\sqrt{(25-x^2)(25-y^2)} + (25-y^2) = 16+(x+y)^2$

$50 - (x^2+y^2) + 2\sqrt{(25-x^2)(25-y^2)} = 16+x^2+2xy+y^2$ (4)

Сложим уравнения (3) и (4):

$(50 - (x^2+y^2) - 2\sqrt{...}) + (50 - (x^2+y^2) + 2\sqrt{...}) = 8 + (16+x^2+2xy+y^2)$

$100 - 2(x^2+y^2) = 24 + x^2+2xy+y^2$

$76 = 3x^2+3y^2+2xy$ (5)

Вычтем уравнение (3) из уравнения (4):

$(50 - (x^2+y^2) + 2\sqrt{...}) - (50 - (x^2+y^2) - 2\sqrt{...}) = (16+x^2+2xy+y^2) - 8$

$4\sqrt{(25-x^2)(25-y^2)} = 8+x^2+2xy+y^2$

$4\sqrt{625-25(x^2+y^2)+(xy)^2} = 8+(x+y)^2$ (6)

3. Решение полученной системы

Теперь решим систему уравнений (5) и (6). Из уравнения (5) выразим $x^2+y^2$:

$3(x^2+y^2) = 76-2xy \implies x^2+y^2 = \frac{76-2xy}{3}$.

Также выразим $(x+y)^2 = x^2+y^2+2xy = \frac{76-2xy}{3} + 2xy = \frac{76-2xy+6xy}{3} = \frac{76+4xy}{3}$.

Подставим эти выражения в уравнение (6). Введем замену $P = xy$.

$4\sqrt{625 - 25\left(\frac{76-2P}{3}\right) + P^2} = 8 + \frac{76+4P}{3}$

$4\sqrt{\frac{1875 - 1900 + 50P + 3P^2}{3}} = \frac{24+76+4P}{3}$

$4\sqrt{\frac{3P^2+50P-25}{3}} = \frac{100+4P}{3}$

$2\sqrt{\frac{3P^2+50P-25}{3}} = \frac{50+2P}{3}$

Для корректности возведения в квадрат, правая часть должна быть неотрицательной: $50+2P \ge 0 \implies P \ge -25$.

Возводим в квадрат:

$4 \frac{3P^2+50P-25}{3} = \frac{(50+2P)^2}{9}$

$12(3P^2+50P-25) = 4(25+P)^2$

$3(3P^2+50P-25) = (25+P)^2$

$9P^2+150P-75 = 625+50P+P^2$

$8P^2+100P-700 = 0$

$2P^2+25P-175 = 0$

Решаем квадратное уравнение относительно $P$:

$D = 25^2 - 4(2)(-175) = 625 + 1400 = 2025 = 45^2$.

$P_1 = \frac{-25+45}{4} = 5$.

$P_2 = \frac{-25-45}{4} = -\frac{70}{4} = -17.5$.

Оба корня удовлетворяют условию $P \ge -25$.

4. Анализ случаев и нахождение корней

Случай 1: $xy = 5$

Находим $x^2+y^2 = \frac{76-2(5)}{3} = \frac{66}{3} = 22$.

Получаем систему: $\begin{cases} xy=5 \\ x^2+y^2=22 \end{cases}$

Отсюда $(x+y)^2 = x^2+y^2+2xy = 22+10=32 \implies x+y = \pm 4\sqrt{2}$.

И $(x-y)^2 = x^2+y^2-2xy = 22-10=12 \implies x-y = \pm 2\sqrt{3}$.

Решая системы линейных уравнений и проверяя условие $x^2 < y^2$, находим две пары решений:

• $x+y=4\sqrt{2}, x-y=-2\sqrt{3} \implies x=2\sqrt{2}-\sqrt{3}, y=2\sqrt{2}+\sqrt{3}$.
  Проверка: $x^2 = 11-4\sqrt{6}, y^2 = 11+4\sqrt{6}$. Условие $x^2<y^2$ выполнено. $y^2 \approx 20.8 < 25$. Решение подходит.
• $x+y=-4\sqrt{2}, x-y=2\sqrt{3} \implies x=-2\sqrt{2}+\sqrt{3}, y=-2\sqrt{2}-\sqrt{3}$.
  Проверка: $x^2 = 11-4\sqrt{6}, y^2 = 11+4\sqrt{6}$. Условие $x^2<y^2$ выполнено. Решение подходит.

Случай 2: $xy = -17.5 = -35/2$

Находим $x^2+y^2 = \frac{76-2(-35/2)}{3} = \frac{76+35}{3} = \frac{111}{3} = 37$.

Получаем систему: $\begin{cases} xy=-35/2 \\ x^2+y^2=37 \end{cases}$

Отсюда $(x+y)^2 = 37+2(-35/2)=2 \implies x+y = \pm \sqrt{2}$.

И $(x-y)^2 = 37-2(-35/2)=72 \implies x-y = \pm 6\sqrt{2}$.

Решая системы и проверяя условие $x^2 < y^2$, находим еще две пары решений:

• $x+y=\sqrt{2}, x-y=-6\sqrt{2} \implies x=-5\sqrt{2}/2, y=7\sqrt{2}/2$.
  Проверка: $x^2 = 25/2 = 12.5, y^2 = 49/2 = 24.5$. Условие $x^2<y^2$ выполнено. $y^2 < 25$. Решение подходит.
• $x+y=-\sqrt{2}, x-y=6\sqrt{2} \implies x=5\sqrt{2}/2, y=-7\sqrt{2}/2$.
  Проверка: $x^2 = 12.5, y^2 = 24.5$. Условие $x^2<y^2$ выполнено. Решение подходит.

Все четыре найденные пары удовлетворяют ОДЗ. Проверка подстановкой в исходные уравнения (как показано в ходе рассуждений) подтверждает, что все они являются решениями.

Ответ: $(2\sqrt{2}-\sqrt{3}, 2\sqrt{2}+\sqrt{3})$; $(-2\sqrt{2}+\sqrt{3}, -2\sqrt{2}-\sqrt{3})$; $(-\frac{5\sqrt{2}}{2}, \frac{7\sqrt{2}}{2})$; $(\frac{5\sqrt{2}}{2}, -\frac{7\sqrt{2}}{2})$.