Номер 657, страница 216 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

657. На каком расстоянии $h$ от оси кривошипного вала до линии движения ползуна находится шарнир кривошипно-смещенного механизма, если ход его ползуна $S$ находится по формуле $S = \sqrt{(l+r)^2 - h^2} - \sqrt{(l-r)^2 - h^2}$, где $l$ — длина шатуна, $r$ — длина кривошипа? Известно, что $S = 45$ см, $l = 70$ см, $r = 20$ см. Ответ дать с точностью до 1 мм.

Для нахождения расстояния $h$ подставим известные значения $S = 45$ см, $l = 70$ см, $r = 20$ см в исходную формулу:

$S = \sqrt{(l + r)^2 - h^2} - \sqrt{(l - r)^2 - h^2}$

$45 = \sqrt{(70 + 20)^2 - h^2} - \sqrt{(70 - 20)^2 - h^2}$

Выполним вычисления в скобках:

$45 = \sqrt{90^2 - h^2} - \sqrt{50^2 - h^2}$

$45 = \sqrt{8100 - h^2} - \sqrt{2500 - h^2}$

Для решения полученного иррационального уравнения изолируем один из квадратных корней. Перенесем второй корень из правой части в левую:

$45 + \sqrt{2500 - h^2} = \sqrt{8100 - h^2}$

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от одного из корней:

$(45 + \sqrt{2500 - h^2})^2 = (\sqrt{8100 - h^2})^2$

Используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, раскроем скобки в левой части:

$45^2 + 2 \cdot 45 \cdot \sqrt{2500 - h^2} + (\sqrt{2500 - h^2})^2 = 8100 - h^2$

$2025 + 90\sqrt{2500 - h^2} + 2500 - h^2 = 8100 - h^2$

Слагаемые $-h^2$ в обеих частях уравнения взаимно уничтожаются. Упростим левую часть:

$4525 + 90\sqrt{2500 - h^2} = 8100$

Теперь выразим оставшийся корень:

$90\sqrt{2500 - h^2} = 8100 - 4525$

$90\sqrt{2500 - h^2} = 3575$

$\sqrt{2500 - h^2} = \frac{3575}{90}$

Сократим дробь на 5:

$\sqrt{2500 - h^2} = \frac{715}{18}$

Снова возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{2500 - h^2})^2 = (\frac{715}{18})^2$

$2500 - h^2 = \frac{715^2}{18^2} = \frac{511225}{324}$

Выразим $h^2$:

$h^2 = 2500 - \frac{511225}{324}$

Приведем к общему знаменателю:

$h^2 = \frac{2500 \cdot 324}{324} - \frac{511225}{324} = \frac{810000 - 511225}{324} = \frac{298775}{324}$

Для нахождения $h$ извлечем квадратный корень:

$h = \sqrt{\frac{298775}{324}} \approx \sqrt{922.145...} \approx 30.3668...$ см.

По условию задачи, ответ необходимо дать с точностью до 1 мм, то есть до 0.1 см. Округлим полученное значение до одного знака после запятой:

$h \approx 30.4$ см.

Ответ: $30.4$ см.