Номер 1, страница 216 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Какая функция называется ограниченной сверху (снизу) на определенном множестве? Привести пример.

Ограниченная сверху

Функция $y = f(x)$ называется ограниченной сверху на множестве $X$ (которое является подмножеством ее области определения), если существует такое действительное число $M$, что для любого значения $x$ из множества $X$ выполняется неравенство $f(x) \le M$.

Иными словами, все значения функции на данном множестве не превосходят некоторого числа $M$. Это число $M$ называют верхней границей (или верхней гранью) функции на множестве $X$.

Пример: Функция $f(x) = 4 - x^2$ на множестве всех действительных чисел $\mathbb{R}$. Поскольку $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$), то $-x^2 \le 0$. Следовательно, для любого $x \in \mathbb{R}$ выполняется $f(x) = 4 - x^2 \le 4$. Это означает, что функция ограничена сверху числом $M=4$.

Ответ: Функция называется ограниченной сверху на множестве, если существует число $M$, которое больше или равно любому значению функции на этом множестве. Пример: функция $f(x) = \sin(x)$ на множестве $\mathbb{R}$ ограничена сверху, так как $\sin(x) \le 1$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Ограниченная снизу

Функция $y = f(x)$ называется ограниченной снизу на множестве $X$, если существует такое действительное число $m$, что для любого значения $x$ из множества $X$ выполняется неравенство $f(x) \ge m$.

Иными словами, все значения функции на данном множестве больше или равны некоторому числу $m$. Это число $m$ называют нижней границей (или нижней гранью) функции на множестве $X$.

Пример: Функция $f(x) = x^2 + 1$ на множестве всех действительных чисел $\mathbb{R}$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$, то $f(x) = x^2 + 1 \ge 1$. Это означает, что функция ограничена снизу числом $m=1$.

Ответ: Функция называется ограниченной снизу на множестве, если существует число $m$, которое меньше или равно любому значению функции на этом множестве. Пример: функция $f(x) = |x|$ на множестве $\mathbb{R}$ ограничена снизу, так как $|x| \ge 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Примечание: Если функция на множестве $X$ ограничена и сверху, и снизу, то она называется просто ограниченной на этом множестве. Например, функция $f(x) = \cos(x)$ на $\mathbb{R}$ является ограниченной, так как для всех $x$ выполняется $-1 \le \cos(x) \le 1$.