Номер 3, страница 216 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

3. Перечислить свойства функции $y = x^p$, где $p=2n$, $n \in N$. Изобразить схематически график этой функции.

Свойства функции $y = x^{p}$, где $p=2n, n \in \mathbb{N}$

• Область определения: Вся числовая прямая, $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $D(y) = \mathbb{R}$.
• Область (множество) значений: Множество всех неотрицательных действительных чисел, $E(y) = [0; +\infty)$.
• Четность: Функция является четной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = (-x)^{2n} = ((-1)^{2n}) x^{2n} = x^{2n} = y(x)$. График функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).
• Нули функции: Функция обращается в ноль в единственной точке: $y=0$ при $x^{2n}=0$, что выполняется только при $x=0$. График пересекает оси координат в начале координат $(0; 0)$.
• Промежутки знакопостоянства: Функция принимает положительные значения при всех $x \neq 0$, то есть $y > 0$ на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.
• Монотонность: Функция строго убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и строго возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.
• Экстремумы: В точке $x=0$ функция имеет точку глобального минимума. $y_{min} = y(0) = 0$. Максимального значения функция не имеет.
• Непрерывность: Функция непрерывна на всей области определения как степенная функция с натуральным показателем.
• Выпуклость: Функция является выпуклой вниз (вогнутой) на всей области определения $(-\infty; +\infty)$, так как ее вторая производная $y'' = 2n(2n-1)x^{2n-2} \geq 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.
• Опорные точки: График любой функции вида $y=x^{2n}$ проходит через точки $(-1; 1)$, $(0; 0)$ и $(1; 1)$.

Ответ: Основные свойства функции $y=x^{2n}$ (где $n \in \mathbb{N}$): область определения - все действительные числа; область значений - $[0, +\infty)$; функция четная; убывает на $(-\infty, 0]$ и возрастает на $[0, +\infty)$; имеет глобальный минимум $y=0$ в точке $x=0$; выпукла вниз на всей области определения; график проходит через точки $(-1; 1)$, $(0; 0)$ и $(1; 1)$.

Схематический график этой функции

График функции $y=x^{2n}$ — это кривая, симметричная относительно оси OY, проходящая через начало координат. Эта точка является вершиной и точкой минимума. В зависимости от значения $n$, форма кривой меняется: чем больше $n$ (например, $y=x^4$, $y=x^6$ в сравнении с $y=x^2$), тем более "плоским" становится график на интервале $(-1, 1)$ и тем "круче" он поднимается при $|x| > 1$.

Ответ: Схематический график функции $y=x^{2n}$ представлен на рисунке выше. Это симметричная относительно оси OY кривая, проходящая через точки $(-1; 1)$, $(0; 0)$ и $(1; 1)$, с минимумом в начале координат.