Номер 655, страница 216 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

655. При различных значениях a решить неравенство:

1) $\sqrt{x - 2} + \sqrt{x - 6} < a;$

2) $2x + \sqrt{a^2 - x^2} > 0.$

1)

Решим неравенство $\sqrt{x-2} + \sqrt{x-6} < a$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнями должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} x-2 \ge 0 \\ x-6 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 2 \\ x \ge 6 \end{cases} \implies x \ge 6$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in [6, +\infty)$.

Рассмотрим функцию в левой части неравенства: $f(x) = \sqrt{x-2} + \sqrt{x-6}$.

Так как функции $y=\sqrt{x-2}$ и $y=\sqrt{x-6}$ являются возрастающими на области определения $x \ge 6$, их сумма $f(x)$ также является строго возрастающей функцией на этом промежутке.

Наименьшее значение функция $f(x)$ принимает в начальной точке своей области определения, то есть при $x=6$:

$f_{min} = f(6) = \sqrt{6-2} + \sqrt{6-6} = \sqrt{4} + 0 = 2$.

Теперь рассмотрим неравенство $f(x) < a$ с учетом полученных данных.

Случай 1: $a \le 2$.

Поскольку наименьшее значение левой части неравенства равно 2, то есть $f(x) \ge 2$ для любого $x$ из ОДЗ, то при $a \le 2$ неравенство $f(x) < a$ не имеет решений.

Случай 2: $a > 2$.

В этом случае неравенство может иметь решения. Так как $a > 2$, обе части неравенства положительны. Поскольку функция $f(x)$ возрастает, для решения неравенства $f(x) < a$ достаточно найти такое значение $x_0$, что $f(x_0)=a$. Тогда решением будет интервал $[6, x_0)$.

Решим уравнение $\sqrt{x-2} + \sqrt{x-6} = a$.

Перенесем один из корней в правую часть и возведем в квадрат:

$\sqrt{x-2} = a - \sqrt{x-6}$

$x-2 = (a - \sqrt{x-6})^2 = a^2 - 2a\sqrt{x-6} + (x-6)$

$x-2 = a^2 - 2a\sqrt{x-6} + x-6$

$-2 = a^2 - 2a\sqrt{x-6} - 6$

$4 = a^2 - 2a\sqrt{x-6}$

$2a\sqrt{x-6} = a^2 - 4$

$\sqrt{x-6} = \frac{a^2-4}{2a}$

Поскольку $a>2$, правая часть $\frac{a^2-4}{2a}$ положительна. Возведем обе части в квадрат:

$x-6 = \left(\frac{a^2-4}{2a}\right)^2 = \frac{a^4 - 8a^2 + 16}{4a^2}$

$x_0 = 6 + \frac{a^4 - 8a^2 + 16}{4a^2} = \frac{24a^2 + a^4 - 8a^2 + 16}{4a^2} = \frac{a^4 + 16a^2 + 16}{4a^2}$

Решением неравенства является интервал, ограниченный ОДЗ снизу и найденным значением $x_0$ сверху: $6 \le x < \frac{a^4+16a^2+16}{4a^2}$. Так как при $a>2$ значение $x_0 = 6 + \left(\frac{a^2-4}{2a}\right)^2 > 6$, то этот интервал всегда не пуст.

Ответ: при $a \le 2$ решений нет; при $a > 2$ решение: $x \in \left[6, \frac{a^4+16a^2+16}{4a^2}\right)$.

2)

Решим неравенство $2x + \sqrt{a^2 - x^2} > 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $a^2 - x^2 \ge 0$, что равносильно $x^2 \le a^2$, или $-|a| \le x \le |a|$.

Случай 1: $a=0$.

ОДЗ состоит из одной точки $x=0$. Неравенство принимает вид $2(0) + \sqrt{0-0} > 0$, то есть $0>0$, что неверно. Следовательно, при $a=0$ решений нет.

Случай 2: $a \ne 0$.

Перепишем неравенство в виде $\sqrt{a^2 - x^2} > -2x$.

Такое иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$ равносильно совокупности двух систем:

А) $\begin{cases} -2x < 0 \\ a^2 - x^2 \ge 0 \end{cases}$

Б) $\begin{cases} -2x \ge 0 \\ a^2 - x^2 > (-2x)^2 \end{cases}$

Рассмотрим каждую систему отдельно.

Система А:

$\begin{cases} x > 0 \\ -|a| \le x \le |a| \end{cases}$

Решением этой системы является интервал $x \in (0, |a|]$.

Система Б:

$\begin{cases} x \le 0 \\ a^2 - x^2 > 4x^2 \end{cases}$

Решим второе неравенство системы:

$a^2 > 5x^2 \implies x^2 < \frac{a^2}{5} \implies |x| < \frac{|a|}{\sqrt{5}} \implies -\frac{|a|}{\sqrt{5}} < x < \frac{|a|}{\sqrt{5}}$.

Пересекая это решение с условием $x \le 0$, получаем $x \in (-\frac{|a|}{\sqrt{5}}, 0]$. Это решение автоматически удовлетворяет ОДЗ, так как $\frac{|a|}{\sqrt{5}} < |a|$.

Объединение решений:

Общее решение исходного неравенства при $a \ne 0$ является объединением решений систем А и Б:

$x \in (-\frac{|a|}{\sqrt{5}}, 0] \cup (0, |a|] = (-\frac{|a|}{\sqrt{5}}, |a|]$.

Ответ: при $a=0$ решений нет; при $a \ne 0$ решение: $x \in \left(-\frac{|a|}{\sqrt{5}}, |a|\right]$.