Страница 216 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

652. 1) $\frac{x^2 - 13x + 40}{\sqrt{19x - x^2 - 78}} \le 0;$

2) $\frac{\sqrt{2x^2 + 7x - 4}}{x+4} < \frac{1}{2};$

3) $\sqrt{3+x} > |x-3|;$

4) $\sqrt{3-x} < \sqrt{7+x} + \sqrt{10+x}.$

Решим неравенство $\frac{x^2-13x+40}{\sqrt{19x-x^2-78}} \le 0$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго больше нуля:

$19x-x^2-78 > 0$

Умножим на -1 и изменим знак неравенства:

$x^2-19x+78 < 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2-19x+78=0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни $x_1=6$ и $x_2=13$.

Неравенство $(x-6)(x-13) < 0$ выполняется на интервале $(6, 13)$. Это и есть ОДЗ.

Теперь решим исходное неравенство. Так как знаменатель $\sqrt{19x-x^2-78}$ в области ОДЗ всегда положителен, знак дроби зависит только от знака числителя. Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} x^2-13x+40 \le 0 \\ 19x-x^2-78 > 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2-13x+40 \le 0$.

Найдем корни уравнения $x^2-13x+40=0$. По теореме Виета корни $x_3=5$ и $x_4=8$.

Неравенство $(x-5)(x-8) \le 0$ выполняется на отрезке $[5, 8]$.

Найдем пересечение решения $[5, 8]$ с ОДЗ $(6, 13)$:

$[5, 8] \cap (6, 13) = (6, 8]$.

Ответ: $x \in (6, 8]$.

Решим неравенство $\sqrt{\frac{2x^2+7x-4}{x+4}} < \frac{1}{2}$.

Найдем ОДЗ. Потребуем, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

$\frac{2x^2+7x-4}{x+4} \ge 0$

Разложим числитель на множители. Корни уравнения $2x^2+7x-4=0$: $x_1=-4$, $x_2=\frac{1}{2}$.

Неравенство принимает вид $\frac{2(x+4)(x-1/2)}{x+4} \ge 0$.

Так как $x \ne -4$, сокращаем дробь: $2(x-\frac{1}{2}) \ge 0$, откуда $x \ge \frac{1}{2}$.

ОДЗ: $x \in [\frac{1}{2}, +\infty)$.

На ОДЗ обе части исходного неравенства неотрицательны, поэтому можно возвести их в квадрат:

$\frac{2x^2+7x-4}{x+4} < \frac{1}{4}$

$\frac{2x^2+7x-4}{x+4} - \frac{1}{4} < 0$

$\frac{4(2x^2+7x-4) - (x+4)}{4(x+4)} < 0$

$\frac{8x^2+28x-16 - x - 4}{4(x+4)} < 0$

$\frac{8x^2+27x-20}{4(x+4)} < 0$

Найдем корни числителя $8x^2+27x-20=0$. Корни $x_3=-4$, $x_4=\frac{5}{8}$.

Неравенство принимает вид $\frac{

Решить систему уравнений (653–654).

653. 1)

$\begin{cases} x^2 + y^2 + xy = 84, \\ x + y + \sqrt{xy} = 14; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \sqrt{2x - 1} + \sqrt{3 - y} = 3, \\ 6x + y - 2xy = 7. \end{cases}$

1) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 + xy = 84 \\ x + y + \sqrt{xy} = 14 \end{cases} $$

Определим область допустимых значений (ОДЗ): подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $xy \ge 0$.

Данная система является симметрической. Введем новые переменные. Пусть $u = x+y$ и $v = \sqrt{xy}$. Так как корень является арифметическим, то $v \ge 0$.

Преобразуем первое уравнение системы, используя тождество $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$.

$(x+y)^2 - 2xy + xy = 84$

$(x+y)^2 - xy = 84$

Подставим новые переменные $u$ и $v$. Учтем, что $xy = (\sqrt{xy})^2 = v^2$.

$u^2 - v^2 = 84$

Второе уравнение системы в новых переменных выглядит так:

$u + v = 14$

Таким образом, мы получили систему уравнений относительно $u$ и $v$:

$$ \begin{cases} u^2 - v^2 = 84 \\ u + v = 14 \end{cases} $$

Разложим левую часть первого уравнения на множители как разность квадратов: $(u-v)(u+v) = 84$.

Подставим значение $u+v=14$ из второго уравнения в первое:

$(u-v) \cdot 14 = 84$

$u-v = \frac{84}{14}$

$u-v = 6$

Теперь решим получившуюся систему линейных уравнений:

$$ \begin{cases} u + v = 14 \\ u - v = 6 \end{cases} $$

Сложим два уравнения: $(u+v) + (u-v) = 14+6 \implies 2u = 20 \implies u=10$.

Вычтем второе уравнение из первого: $(u+v) - (u-v) = 14-6 \implies 2v = 8 \implies v=4$.

Значение $v=4$ удовлетворяет условию $v \ge 0$.

Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:

$$ \begin{cases} x+y = u = 10 \\ \sqrt{xy} = v = 4 \end{cases} \implies \begin{cases} x+y = 10 \\ xy = 16 \end{cases} $$

Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 10t + 16 = 0$.

Решим это уравнение. Дискриминант $D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 100 - 64 = 36 = 6^2$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{10 - 6}{2} = 2$ и $t_2 = \frac{10 + 6}{2} = 8$.

Следовательно, решениями системы являются пары чисел $(2, 8)$ и $(8, 2)$. Оба решения удовлетворяют ОДЗ ($2 \cdot 8 = 16 \ge 0$).

Ответ: $(2, 8), (8, 2)$.

2) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} \sqrt{2x-1} + \sqrt{3-y} = 3 \\ 6x+y-2xy = 7 \end{cases} $$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$2x-1 \ge 0 \implies 2x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{2}$

$3-y \ge 0 \implies y \le 3$

Введем новые переменные. Пусть $a = \sqrt{2x-1}$ и $b = \sqrt{3-y}$. По определению арифметического квадратного корня, $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Выразим $x$ и $y$ через $a$ и $b$:

$a^2 = 2x-1 \implies 2x = a^2+1 \implies x = \frac{a^2+1}{2}$

$b^2 = 3-y \implies y = 3-b^2$

Первое уравнение системы в новых переменных примет вид:

$a+b=3$

Подставим выражения для $x$ и $y$ во второе уравнение системы:

$6\left(\frac{a^2+1}{2}\right) + (3-b^2) - 2\left(\frac{a^2+1}{2}\right)(3-b^2) = 7$

$3(a^2+1) + 3 - b^2 - (a^2+1)(3-b^2) = 7$

$3a^2+3 + 3 - b^2 - (3a^2 - a^2b^2 + 3 - b^2) = 7$

$3a^2 + 6 - b^2 - 3a^2 + a^2b^2 - 3 + b^2 = 7$

$3 + a^2b^2 = 7$

$a^2b^2 = 4$

$(ab)^2 = 4$

Так как $a \ge 0$ и $b \ge 0$, то их произведение $ab$ также неотрицательно. Следовательно, $ab=2$.

Получаем систему уравнений относительно $a$ и $b$:

$$ \begin{cases} a+b = 3 \\ ab = 2 \end{cases} $$

По теореме, обратной теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$.

Решим это уравнение, разложив на множители: $(t-1)(t-2) = 0$. Корни $t_1=1, t_2=2$.

Таким образом, возможны два случая для пары $(a,b)$: $(1,2)$ и $(2,1)$.

Случай 1: $a=1, b=2$.

$\sqrt{2x-1} = 1 \implies 2x-1 = 1^2 \implies 2x=2 \implies x=1$.

$\sqrt{3-y} = 2 \implies 3-y = 2^2 \implies 3-y=4 \implies y=-1$.

Получили решение $(1, -1)$. Проверим его по ОДЗ: $x=1 \ge 1/2$ (верно), $y=-1 \le 3$ (верно). Решение подходит.

Случай 2: $a=2, b=1$.

$\sqrt{2x-1} = 2 \implies 2x-1 = 2^2 \implies 2x-1=4 \implies 2x=5 \implies x=\frac{5}{2}$.

$\sqrt{3-y} = 1 \implies 3-y = 1^2 \implies y=2$.

Получили решение $(\frac{5}{2}, 2)$. Проверим его по ОДЗ: $x=5/2 \ge 1/2$ (верно), $y=2 \le 3$ (верно). Решение подходит.

Ответ: $(1, -1), (\frac{5}{2}, 2)$.

654. $\begin{cases}\sqrt{25 - x^2} - \sqrt{25 - y^2} = \sqrt{8}, \\\sqrt{25 - x^2} + \sqrt{25 - y^2} = \sqrt{16 + (x+y)^2}.\end{cases}$

Для решения данной системы уравнений сначала определим область допустимых значений (ОДЗ).

1. Область допустимых значений (ОДЗ)

Подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$25 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 25 \implies -5 \le x \le 5$.

$25 - y^2 \ge 0 \implies y^2 \le 25 \implies -5 \le y \le 5$.

Из первого уравнения системы $\sqrt{25-x^2} - \sqrt{25-y^2} = \sqrt{8} > 0$, следует, что $\sqrt{25-x^2} > \sqrt{25-y^2}$.

Так как обе части неравенства неотрицательны, можно возвести их в квадрат: $25-x^2 > 25-y^2$.

Это приводит к неравенству $-x^2 > -y^2$, или $x^2 < y^2$. Это важное условие для проверки решений.

2. Преобразование системы уравнений

Исходная система:

$\begin{cases} \sqrt{25-x^2} - \sqrt{25-y^2} = \sqrt{8} & (1) \\ \sqrt{25-x^2} + \sqrt{25-y^2} = \sqrt{16 + (x+y)^2} & (2) \end{cases}$

Возведем оба уравнения в квадрат:

$(1)^2: (25-x^2) - 2\sqrt{(25-x^2)(25-y^2)} + (25-y^2) = 8$

$50 - (x^2+y^2) - 2\sqrt{(25-x^2)(25-y^2)} = 8$ (3)

$(2)^2: (25-x^2) + 2\sqrt{(25-x^2)(25-y^2)} + (25-y^2) = 16+(x+y)^2$

$50 - (x^2+y^2) + 2\sqrt{(25-x^2)(25-y^2)} = 16+x^2+2xy+y^2$ (4)

Сложим уравнения (3) и (4):

$(50 - (x^2+y^2) - 2\sqrt{...}) + (50 - (x^2+y^2) + 2\sqrt{...}) = 8 + (16+x^2+2xy+y^2)$

$100 - 2(x^2+y^2) = 24 + x^2+2xy+y^2$

$76 = 3x^2+3y^2+2xy$ (5)

Вычтем уравнение (3) из уравнения (4):

$(50 - (x^2+y^2) + 2\sqrt{...}) - (50 - (x^2+y^2) - 2\sqrt{...}) = (16+x^2+2xy+y^2) - 8$

$4\sqrt{(25-x^2)(25-y^2)} = 8+x^2+2xy+y^2$

$4\sqrt{625-25(x^2+y^2)+(xy)^2} = 8+(x+y)^2$ (6)

3. Решение полученной системы

Теперь решим систему уравнений (5) и (6). Из уравнения (5) выразим $x^2+y^2$:

$3(x^2+y^2) = 76-2xy \implies x^2+y^2 = \frac{76-2xy}{3}$.

Также выразим $(x+y)^2 = x^2+y^2+2xy = \frac{76-2xy}{3} + 2xy = \frac{76-2xy+6xy}{3} = \frac{76+4xy}{3}$.

Подставим эти выражения в уравнение (6). Введем замену $P = xy$.

$4\sqrt{625 - 25\left(\frac{76-2P}{3}\right) + P^2} = 8 + \frac{76+4P}{3}$

$4\sqrt{\frac{1875 - 1900 + 50P + 3P^2}{3}} = \frac{24+76+4P}{3}$

$4\sqrt{\frac{3P^2+50P-25}{3}} = \frac{100+4P}{3}$

$2\sqrt{\frac{3P^2+50P-25}{3}} = \frac{50+2P}{3}$

Для корректности возведения в квадрат, правая часть должна быть неотрицательной: $50+2P \ge 0 \implies P \ge -25$.

Возводим в квадрат:

$4 \frac{3P^2+50P-25}{3} = \frac{(50+2P)^2}{9}$

$12(3P^2+50P-25) = 4(25+P)^2$

$3(3P^2+50P-25) = (25+P)^2$

$9P^2+150P-75 = 625+50P+P^2$

$8P^2+100P-700 = 0$

$2P^2+25P-175 = 0$

Решаем квадратное уравнение относительно $P$:

$D = 25^2 - 4(2)(-175) = 625 + 1400 = 2025 = 45^2$.

$P_1 = \frac{-25+45}{4} = 5$.

$P_2 = \frac{-25-45}{4} = -\frac{70}{4} = -17.5$.

Оба корня удовлетворяют условию $P \ge -25$.

4. Анализ случаев и нахождение корней

Случай 1: $xy = 5$

Находим $x^2+y^2 = \frac{76-2(5)}{3} = \frac{66}{3} = 22$.

Получаем систему: $\begin{cases} xy=5 \\ x^2+y^2=22 \end{cases}$

Отсюда $(x+y)^2 = x^2+y^2+2xy = 22+10=32 \implies x+y = \pm 4\sqrt{2}$.

И $(x-y)^2 = x^2+y^2-2xy = 22-10=12 \implies x-y = \pm 2\sqrt{3}$.

Решая системы линейных уравнений и проверяя условие $x^2 < y^2$, находим две пары решений:

• $x+y=4\sqrt{2}, x-y=-2\sqrt{3} \implies x=2\sqrt{2}-\sqrt{3}, y=2\sqrt{2}+\sqrt{3}$.
  Проверка: $x^2 = 11-4\sqrt{6}, y^2 = 11+4\sqrt{6}$. Условие $x^2<y^2$ выполнено. $y^2 \approx 20.8 < 25$. Решение подходит.
• $x+y=-4\sqrt{2}, x-y=2\sqrt{3} \implies x=-2\sqrt{2}+\sqrt{3}, y=-2\sqrt{2}-\sqrt{3}$.
  Проверка: $x^2 = 11-4\sqrt{6}, y^2 = 11+4\sqrt{6}$. Условие $x^2<y^2$ выполнено. Решение подходит.

Случай 2: $xy = -17.5 = -35/2$

Находим $x^2+y^2 = \frac{76-2(-35/2)}{3} = \frac{76+35}{3} = \frac{111}{3} = 37$.

Получаем систему: $\begin{cases} xy=-35/2 \\ x^2+y^2=37 \end{cases}$

Отсюда $(x+y)^2 = 37+2(-35/2)=2 \implies x+y = \pm \sqrt{2}$.

И $(x-y)^2 = 37-2(-35/2)=72 \implies x-y = \pm 6\sqrt{2}$.

Решая системы и проверяя условие $x^2 < y^2$, находим еще две пары решений:

• $x+y=\sqrt{2}, x-y=-6\sqrt{2} \implies x=-5\sqrt{2}/2, y=7\sqrt{2}/2$.
  Проверка: $x^2 = 25/2 = 12.5, y^2 = 49/2 = 24.5$. Условие $x^2<y^2$ выполнено. $y^2 < 25$. Решение подходит.
• $x+y=-\sqrt{2}, x-y=6\sqrt{2} \implies x=5\sqrt{2}/2, y=-7\sqrt{2}/2$.
  Проверка: $x^2 = 12.5, y^2 = 24.5$. Условие $x^2<y^2$ выполнено. Решение подходит.

Все четыре найденные пары удовлетворяют ОДЗ. Проверка подстановкой в исходные уравнения (как показано в ходе рассуждений) подтверждает, что все они являются решениями.

Ответ: $(2\sqrt{2}-\sqrt{3}, 2\sqrt{2}+\sqrt{3})$; $(-2\sqrt{2}+\sqrt{3}, -2\sqrt{2}-\sqrt{3})$; $(-\frac{5\sqrt{2}}{2}, \frac{7\sqrt{2}}{2})$; $(\frac{5\sqrt{2}}{2}, -\frac{7\sqrt{2}}{2})$.

655. При различных значениях a решить неравенство:

1) $\sqrt{x - 2} + \sqrt{x - 6} < a;$

2) $2x + \sqrt{a^2 - x^2} > 0.$

1)

Решим неравенство $\sqrt{x-2} + \sqrt{x-6} < a$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнями должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} x-2 \ge 0 \\ x-6 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 2 \\ x \ge 6 \end{cases} \implies x \ge 6$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in [6, +\infty)$.

Рассмотрим функцию в левой части неравенства: $f(x) = \sqrt{x-2} + \sqrt{x-6}$.

Так как функции $y=\sqrt{x-2}$ и $y=\sqrt{x-6}$ являются возрастающими на области определения $x \ge 6$, их сумма $f(x)$ также является строго возрастающей функцией на этом промежутке.

Наименьшее значение функция $f(x)$ принимает в начальной точке своей области определения, то есть при $x=6$:

$f_{min} = f(6) = \sqrt{6-2} + \sqrt{6-6} = \sqrt{4} + 0 = 2$.

Теперь рассмотрим неравенство $f(x) < a$ с учетом полученных данных.

Случай 1: $a \le 2$.

Поскольку наименьшее значение левой части неравенства равно 2, то есть $f(x) \ge 2$ для любого $x$ из ОДЗ, то при $a \le 2$ неравенство $f(x) < a$ не имеет решений.

Случай 2: $a > 2$.

В этом случае неравенство может иметь решения. Так как $a > 2$, обе части неравенства положительны. Поскольку функция $f(x)$ возрастает, для решения неравенства $f(x) < a$ достаточно найти такое значение $x_0$, что $f(x_0)=a$. Тогда решением будет интервал $[6, x_0)$.

Решим уравнение $\sqrt{x-2} + \sqrt{x-6} = a$.

Перенесем один из корней в правую часть и возведем в квадрат:

$\sqrt{x-2} = a - \sqrt{x-6}$

$x-2 = (a - \sqrt{x-6})^2 = a^2 - 2a\sqrt{x-6} + (x-6)$

$x-2 = a^2 - 2a\sqrt{x-6} + x-6$

$-2 = a^2 - 2a\sqrt{x-6} - 6$

$4 = a^2 - 2a\sqrt{x-6}$

$2a\sqrt{x-6} = a^2 - 4$

$\sqrt{x-6} = \frac{a^2-4}{2a}$

Поскольку $a>2$, правая часть $\frac{a^2-4}{2a}$ положительна. Возведем обе части в квадрат:

$x-6 = \left(\frac{a^2-4}{2a}\right)^2 = \frac{a^4 - 8a^2 + 16}{4a^2}$

$x_0 = 6 + \frac{a^4 - 8a^2 + 16}{4a^2} = \frac{24a^2 + a^4 - 8a^2 + 16}{4a^2} = \frac{a^4 + 16a^2 + 16}{4a^2}$

Решением неравенства является интервал, ограниченный ОДЗ снизу и найденным значением $x_0$ сверху: $6 \le x < \frac{a^4+16a^2+16}{4a^2}$. Так как при $a>2$ значение $x_0 = 6 + \left(\frac{a^2-4}{2a}\right)^2 > 6$, то этот интервал всегда не пуст.

Ответ: при $a \le 2$ решений нет; при $a > 2$ решение: $x \in \left[6, \frac{a^4+16a^2+16}{4a^2}\right)$.

2)

Решим неравенство $2x + \sqrt{a^2 - x^2} > 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $a^2 - x^2 \ge 0$, что равносильно $x^2 \le a^2$, или $-|a| \le x \le |a|$.

Случай 1: $a=0$.

ОДЗ состоит из одной точки $x=0$. Неравенство принимает вид $2(0) + \sqrt{0-0} > 0$, то есть $0>0$, что неверно. Следовательно, при $a=0$ решений нет.

Случай 2: $a \ne 0$.

Перепишем неравенство в виде $\sqrt{a^2 - x^2} > -2x$.

Такое иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$ равносильно совокупности двух систем:

А) $\begin{cases} -2x < 0 \\ a^2 - x^2 \ge 0 \end{cases}$

Б) $\begin{cases} -2x \ge 0 \\ a^2 - x^2 > (-2x)^2 \end{cases}$

Рассмотрим каждую систему отдельно.

Система А:

$\begin{cases} x > 0 \\ -|a| \le x \le |a| \end{cases}$

Решением этой системы является интервал $x \in (0, |a|]$.

Система Б:

$\begin{cases} x \le 0 \\ a^2 - x^2 > 4x^2 \end{cases}$

Решим второе неравенство системы:

$a^2 > 5x^2 \implies x^2 < \frac{a^2}{5} \implies |x| < \frac{|a|}{\sqrt{5}} \implies -\frac{|a|}{\sqrt{5}} < x < \frac{|a|}{\sqrt{5}}$.

Пересекая это решение с условием $x \le 0$, получаем $x \in (-\frac{|a|}{\sqrt{5}}, 0]$. Это решение автоматически удовлетворяет ОДЗ, так как $\frac{|a|}{\sqrt{5}} < |a|$.

Объединение решений:

Общее решение исходного неравенства при $a \ne 0$ является объединением решений систем А и Б:

$x \in (-\frac{|a|}{\sqrt{5}}, 0] \cup (0, |a|] = (-\frac{|a|}{\sqrt{5}}, |a|]$.

Ответ: при $a=0$ решений нет; при $a \ne 0$ решение: $x \in \left(-\frac{|a|}{\sqrt{5}}, |a|\right]$.

656. Функция спроса q на некоторый товар задается формулой

$q(p) = \frac{70}{3p+5} - 2$, где p — цена товара. Найти:

1) область определения и множество значений функции спроса;

2) объём спроса при цене $p = 5$;

3) функцию, обратную функции спроса.

1) область определения и множество значений функции спроса

Дана функция спроса $q(p) = \frac{70}{3p+5} - 2$, где $p$ — цена товара, а $q$ — объём спроса.

Для нахождения области определения функции в экономическом контексте необходимо учесть, что цена $p$ и объём спроса $q$ не могут быть отрицательными.

1. Условие неотрицательности цены: $p \ge 0$.

2. Условие неотрицательности спроса: $q(p) \ge 0$.

Решим неравенство $q(p) \ge 0$:
$\frac{70}{3p+5} - 2 \ge 0$
$\frac{70}{3p+5} \ge 2$

Так как цена $p \ge 0$, знаменатель $3p+5$ всегда положителен. Следовательно, можно умножить обе части неравенства на $3p+5$, сохранив знак неравенства:
$70 \ge 2(3p+5)$
$70 \ge 6p + 10$
$60 \ge 6p$
$p \le 10$.

Объединяя оба условия ($p \ge 0$ и $p \le 10$), получаем область определения функции спроса: $p \in [0, 10]$.

Для нахождения множества значений функции $q(p)$ определим её поведение на области определения. Функция $q(p)$ является убывающей для $p \ge 0$, поскольку с ростом $p$ знаменатель $3p+5$ увеличивается, дробь $\frac{70}{3p+5}$ уменьшается, и, соответственно, значение $q(p)$ уменьшается.

Следовательно, максимальное значение функции достигается при минимальном значении $p$, то есть при $p=0$:
$q_{max} = q(0) = \frac{70}{3(0)+5} - 2 = \frac{70}{5} - 2 = 14 - 2 = 12$.

Минимальное значение функции достигается при максимальном значении $p$, то есть при $p=10$:
$q_{min} = q(10) = \frac{70}{3(10)+5} - 2 = \frac{70}{35} - 2 = 2 - 2 = 0$.

Таким образом, множество значений функции спроса — это отрезок $[0, 12]$.

Ответ: область определения $D(q) = [0, 10]$; множество значений $E(q) = [0, 12]$.

2) объём спроса при цене p = 5

Чтобы найти объём спроса при цене $p = 5$, подставим это значение в исходную формулу:
$q(5) = \frac{70}{3(5)+5} - 2$
$q(5) = \frac{70}{15+5} - 2$
$q(5) = \frac{70}{20} - 2$
$q(5) = 3.5 - 2 = 1.5$.

Ответ: при цене $p=5$ объём спроса составляет 1.5 единицы.

3) функцию, обратную функции спроса

Обратная функция, $p(q)$, выражает цену $p$ как функцию от объёма спроса $q$. Для её нахождения необходимо выразить $p$ из уравнения функции спроса $q = \frac{70}{3p+5} - 2$.

Перенесем -2 в левую часть:
$q + 2 = \frac{70}{3p+5}$

Выразим знаменатель $3p+5$:
$3p+5 = \frac{70}{q+2}$

Теперь выразим $p$:
$3p = \frac{70}{q+2} - 5$
$p = \frac{1}{3} \left( \frac{70}{q+2} - 5 \right)$
$p(q) = \frac{70}{3(q+2)} - \frac{5}{3}$

Упростим выражение:
$p(q) = \frac{70}{3q+6} - \frac{5}{3}$

Областью определения обратной функции $p(q)$ является множество значений исходной функции $q(p)$, то есть $q \in [0, 12]$.

Ответ: обратная функция имеет вид $p(q) = \frac{70}{3q+6} - \frac{5}{3}$ при $q \in [0, 12]$.

657. На каком расстоянии $h$ от оси кривошипного вала до линии движения ползуна находится шарнир кривошипно-смещенного механизма, если ход его ползуна $S$ находится по формуле $S = \sqrt{(l+r)^2 - h^2} - \sqrt{(l-r)^2 - h^2}$, где $l$ — длина шатуна, $r$ — длина кривошипа? Известно, что $S = 45$ см, $l = 70$ см, $r = 20$ см. Ответ дать с точностью до 1 мм.

Для нахождения расстояния $h$ подставим известные значения $S = 45$ см, $l = 70$ см, $r = 20$ см в исходную формулу:

$S = \sqrt{(l + r)^2 - h^2} - \sqrt{(l - r)^2 - h^2}$

$45 = \sqrt{(70 + 20)^2 - h^2} - \sqrt{(70 - 20)^2 - h^2}$

Выполним вычисления в скобках:

$45 = \sqrt{90^2 - h^2} - \sqrt{50^2 - h^2}$

$45 = \sqrt{8100 - h^2} - \sqrt{2500 - h^2}$

Для решения полученного иррационального уравнения изолируем один из квадратных корней. Перенесем второй корень из правой части в левую:

$45 + \sqrt{2500 - h^2} = \sqrt{8100 - h^2}$

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от одного из корней:

$(45 + \sqrt{2500 - h^2})^2 = (\sqrt{8100 - h^2})^2$

Используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, раскроем скобки в левой части:

$45^2 + 2 \cdot 45 \cdot \sqrt{2500 - h^2} + (\sqrt{2500 - h^2})^2 = 8100 - h^2$

$2025 + 90\sqrt{2500 - h^2} + 2500 - h^2 = 8100 - h^2$

Слагаемые $-h^2$ в обеих частях уравнения взаимно уничтожаются. Упростим левую часть:

$4525 + 90\sqrt{2500 - h^2} = 8100$

Теперь выразим оставшийся корень:

$90\sqrt{2500 - h^2} = 8100 - 4525$

$90\sqrt{2500 - h^2} = 3575$

$\sqrt{2500 - h^2} = \frac{3575}{90}$

Сократим дробь на 5:

$\sqrt{2500 - h^2} = \frac{715}{18}$

Снова возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{2500 - h^2})^2 = (\frac{715}{18})^2$

$2500 - h^2 = \frac{715^2}{18^2} = \frac{511225}{324}$

Выразим $h^2$:

$h^2 = 2500 - \frac{511225}{324}$

Приведем к общему знаменателю:

$h^2 = \frac{2500 \cdot 324}{324} - \frac{511225}{324} = \frac{810000 - 511225}{324} = \frac{298775}{324}$

Для нахождения $h$ извлечем квадратный корень:

$h = \sqrt{\frac{298775}{324}} \approx \sqrt{922.145...} \approx 30.3668...$ см.

По условию задачи, ответ необходимо дать с точностью до 1 мм, то есть до 0.1 см. Округлим полученное значение до одного знака после запятой:

$h \approx 30.4$ см.

Ответ: $30.4$ см.

658. Высоту максимальной штормовой волны в океане h (в м) можно оценить с помощью длины разгона волны D (в км) по формуле $h = 0,45\sqrt{D}$. Построить график функции $h = h(D)$ при изменении длины разгона волны от 0 до 500 км.

Нам необходимо построить график функции $h = h(D)$, которая описывает зависимость высоты максимальной штормовой волны $h$ (в метрах) от длины разгона волны $D$ (в километрах). Формула зависимости задана как $h = 0.45\sqrt{D}$. График нужно построить для значений $D$ в диапазоне от 0 до 500 км.

1. Анализ функции

Функция $h(D) = 0.45\sqrt{D}$ является степенной функцией вида $y = kx^{0.5}$. График такой функции при $k>0$ представляет собой ветвь параболы, которая симметрична оси абсцисс и выходит из начала координат. Поскольку длина разгона $D$ не может быть отрицательной, область определения функции $D \ge 0$, что соответствует условию задачи ($D$ изменяется от 0 до 500 км).

2. Вычисление координат точек для построения графика

Для построения графика найдем несколько ключевых точек, вычислив значения $h$ для некоторых значений $D$ из интервала $[0, 500]$. Для удобства выберем значения $D$, из которых легко извлечь квадратный корень, а также крайние точки интервала.

3. Построение графика

Нанесем полученные точки на координатную плоскость. По горизонтальной оси (оси абсцисс) отложим длину разгона $D$ в км, а по вертикальной оси (оси ординат) — высоту волны $h$ в м. Соединив точки плавной линией, получим график функции $h(D)$ на интервале $[0, 500]$.

Ниже представлен график функции $h = 0.45\sqrt{D}$:

Ответ: График функции $h = 0.45\sqrt{D}$ на интервале $D \in [0, 500]$ представлен на рисунке выше. Это плавно возрастающая кривая (ветвь параболы), выходящая из начала координат $(0;0)$ и проходящая через точки $(100; 4.5)$, $(225; 6.75)$, $(400; 9)$ и $(500; \approx 10.06)$.

1. Какая функция называется ограниченной сверху (снизу) на определенном множестве? Привести пример.

Ограниченная сверху

Функция $y = f(x)$ называется ограниченной сверху на множестве $X$ (которое является подмножеством ее области определения), если существует такое действительное число $M$, что для любого значения $x$ из множества $X$ выполняется неравенство $f(x) \le M$.

Иными словами, все значения функции на данном множестве не превосходят некоторого числа $M$. Это число $M$ называют верхней границей (или верхней гранью) функции на множестве $X$.

Пример: Функция $f(x) = 4 - x^2$ на множестве всех действительных чисел $\mathbb{R}$. Поскольку $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$), то $-x^2 \le 0$. Следовательно, для любого $x \in \mathbb{R}$ выполняется $f(x) = 4 - x^2 \le 4$. Это означает, что функция ограничена сверху числом $M=4$.

Ответ: Функция называется ограниченной сверху на множестве, если существует число $M$, которое больше или равно любому значению функции на этом множестве. Пример: функция $f(x) = \sin(x)$ на множестве $\mathbb{R}$ ограничена сверху, так как $\sin(x) \le 1$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Ограниченная снизу

Функция $y = f(x)$ называется ограниченной снизу на множестве $X$, если существует такое действительное число $m$, что для любого значения $x$ из множества $X$ выполняется неравенство $f(x) \ge m$.

Иными словами, все значения функции на данном множестве больше или равны некоторому числу $m$. Это число $m$ называют нижней границей (или нижней гранью) функции на множестве $X$.

Пример: Функция $f(x) = x^2 + 1$ на множестве всех действительных чисел $\mathbb{R}$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$, то $f(x) = x^2 + 1 \ge 1$. Это означает, что функция ограничена снизу числом $m=1$.

Ответ: Функция называется ограниченной снизу на множестве, если существует число $m$, которое меньше или равно любому значению функции на этом множестве. Пример: функция $f(x) = |x|$ на множестве $\mathbb{R}$ ограничена снизу, так как $|x| \ge 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Примечание: Если функция на множестве $X$ ограничена и сверху, и снизу, то она называется просто ограниченной на этом множестве. Например, функция $f(x) = \cos(x)$ на $\mathbb{R}$ является ограниченной, так как для всех $x$ выполняется $-1 \le \cos(x) \le 1$.

2. В каком случае функция принимает наименьшее (наибольшее) значение на некотором множестве?

Вопрос о нахождении наименьшего и наибольшего значений функции на некотором множестве является одной из центральных задач математического анализа. Существование таких значений гарантируется при выполнении определенных условий, которые формулируются в теореме Вейерштрасса.

Согласно этой теореме, если функция $f(x)$ непрерывна на замкнутом и ограниченном множестве (например, на отрезке $[a, b]$), то она обязательно достигает на этом множестве своего наименьшего значения (глобального минимума) и своего наибольшего значения (глобального максимума).

Это означает, что существуют такие точки $x_{min}$ и $x_{max}$ в этом множестве, что для любой другой точки $x$ из этого множества выполняются неравенства: $f(x_{min}) \le f(x) \le f(x_{max})$

Если хотя бы одно из условий теоремы Вейерштрасса не выполняется (например, функция имеет разрыв, или множество не является замкнутым или ограниченным), то существование наименьшего или наибольшего значения не гарантируется. Например, функция $f(x) = 1/x$ на интервале $(0, 1]$ имеет наименьшее значение $f(1) = 1$, но не имеет наибольшего, так как стремится к $+\infty$ при $x \to 0+$.

Наименьшее или наибольшее значение на отрезке $[a, b]$ функция может принимать в следующих точках:

• В критических точках функции, которые лежат внутри отрезка. Критическими точками называются внутренние точки области определения функции, в которых ее производная $f'(x)$ равна нулю или не существует. Точки, где $f'(x)=0$, также называют стационарными.
• На концах отрезка, то есть в точках $x=a$ и $x=b$.

Таким образом, для нахождения наименьшего и наибольшего значения непрерывной функции на отрезке $[a, b]$ необходимо выполнить следующий алгоритм:

1. Найти производную функции $f'(x)$.
2. Найти все критические точки функции, решив уравнение $f'(x)=0$ и определив точки, где производная не существует.
3. Выбрать из найденных критических точек только те, которые принадлежат интервалу $(a, b)$.
4. Вычислить значения функции в отобранных критических точках и на концах отрезка (в точках $a$ и $b$).
5. Среди всех полученных значений выбрать наименьшее и наибольшее.

Ответ: Функция гарантированно принимает свое наименьшее и наибольшее значение на некотором множестве, если она непрерывна на этом множестве, и само множество является замкнутым и ограниченным (например, отрезок $[a, b]$). Эти значения достигаются либо в критических точках функции (где производная равна нулю или не существует) внутри множества, либо на его границах (например, на концах отрезка).

3. Перечислить свойства функции $y = x^p$, где $p=2n$, $n \in N$. Изобразить схематически график этой функции.

Свойства функции $y = x^{p}$, где $p=2n, n \in \mathbb{N}$

• Область определения: Вся числовая прямая, $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $D(y) = \mathbb{R}$.
• Область (множество) значений: Множество всех неотрицательных действительных чисел, $E(y) = [0; +\infty)$.
• Четность: Функция является четной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = (-x)^{2n} = ((-1)^{2n}) x^{2n} = x^{2n} = y(x)$. График функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).
• Нули функции: Функция обращается в ноль в единственной точке: $y=0$ при $x^{2n}=0$, что выполняется только при $x=0$. График пересекает оси координат в начале координат $(0; 0)$.
• Промежутки знакопостоянства: Функция принимает положительные значения при всех $x \neq 0$, то есть $y > 0$ на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.
• Монотонность: Функция строго убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и строго возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.
• Экстремумы: В точке $x=0$ функция имеет точку глобального минимума. $y_{min} = y(0) = 0$. Максимального значения функция не имеет.
• Непрерывность: Функция непрерывна на всей области определения как степенная функция с натуральным показателем.
• Выпуклость: Функция является выпуклой вниз (вогнутой) на всей области определения $(-\infty; +\infty)$, так как ее вторая производная $y'' = 2n(2n-1)x^{2n-2} \geq 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.
• Опорные точки: График любой функции вида $y=x^{2n}$ проходит через точки $(-1; 1)$, $(0; 0)$ и $(1; 1)$.

Ответ: Основные свойства функции $y=x^{2n}$ (где $n \in \mathbb{N}$): область определения - все действительные числа; область значений - $[0, +\infty)$; функция четная; убывает на $(-\infty, 0]$ и возрастает на $[0, +\infty)$; имеет глобальный минимум $y=0$ в точке $x=0$; выпукла вниз на всей области определения; график проходит через точки $(-1; 1)$, $(0; 0)$ и $(1; 1)$.

Схематический график этой функции

График функции $y=x^{2n}$ — это кривая, симметричная относительно оси OY, проходящая через начало координат. Эта точка является вершиной и точкой минимума. В зависимости от значения $n$, форма кривой меняется: чем больше $n$ (например, $y=x^4$, $y=x^6$ в сравнении с $y=x^2$), тем более "плоским" становится график на интервале $(-1, 1)$ и тем "круче" он поднимается при $|x| > 1$.

Ответ: Схематический график функции $y=x^{2n}$ представлен на рисунке выше. Это симметричная относительно оси OY кривая, проходящая через точки $(-1; 1)$, $(0; 0)$ и $(1; 1)$, с минимумом в начале координат.

4. Перечислить свойства функции $y = x^p$, где $p = 2n - 1, n \in N$. Изобразить схематически график этой функции.

Перечислить свойства функции $y=x^p$, где $p=2n-1, n \in \mathbb{N}$

Анализируемая функция $y = x^p$, где $p = 2n-1$ и $n \in \mathbb{N}$, является степенной функцией с нечетным натуральным показателем степени ($p \in \{1, 3, 5, \dots\}$). Основные свойства этой функции следующие:

• Область определения: Функция определена для всех действительных значений аргумента $x$, так как возведение в любую натуральную степень является операцией, определенной для любого действительного числа.

  $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $D(y) = \mathbb{R}$.

• Область значений: Поскольку показатель степени $p$ нечетный, знак функции $y$ совпадает со знаком аргумента $x$. Функция непрерывна и принимает все действительные значения от $-\infty$ до $+\infty$.

  $E(y) = (-\infty; +\infty)$ или $E(y) = \mathbb{R}$.

• Четность: Функция является нечетной. Проверим: $y(-x) = (-x)^p = -x^p = -y(x)$, так как $p$ — нечетное число. Это означает, что график функции симметричен относительно начала координат.

• Нули функции: Найдем точки пересечения с осью абсцисс, решив уравнение $y=0$:
  $x^p=0 \implies x=0$.
  График пересекает обе оси координат только в одной точке — начале координат $(0,0)$.

• Промежутки знакопостоянства:

  Функция положительна ($y > 0$) при $x^p > 0$, что для нечетного $p$ выполняется при $x > 0$.
  Функция отрицательна ($y < 0$) при $x^p < 0$, что для нечетного $p$ выполняется при $x < 0$.
  Итак, $y>0$ на интервале $(0; +\infty)$ и $y<0$ на интервале $(-\infty; 0)$.

• Монотонность: Найдем первую производную: $y' = (x^p)' = px^{p-1}$.
  Поскольку $p=2n-1 \ge 1$, а показатель степени $p-1 = 2n-2$ является четным неотрицательным числом, то $x^{p-1} \ge 0$ для всех $x$. Так как $p>0$, производная $y' = px^{p-1} \ge 0$. При $p>1$ ($n \ge 2$), производная обращается в ноль только в точке $x=0$. Следовательно, функция является строго возрастающей на всей своей области определения $(-\infty; +\infty)$.

• Точки экстремума: Так как функция строго монотонна на всей области определения, у нее нет точек локального максимума или минимума.

• Выпуклость и точки перегиба: Найдем вторую производную: $y'' = (px^{p-1})' = p(p-1)x^{p-2}$.

  Если $n=1$, то $p=1$, $y=x$. В этом случае $y''=0$, и график является прямой линией, которая не имеет выпуклости.

  Если $n \ge 2$, то $p \ge 3$, и показатель $p-2 = 2n-3$ является нечетным натуральным числом. Знак второй производной $y''$ определяется знаком множителя $x^{p-2}$, то есть знаком $x$.
  При $x < 0$ имеем $y'' < 0$, график функции выпуклый вверх (вогнутый).
  При $x > 0$ имеем $y'' > 0$, график функции выпуклый вниз (выпуклый).
  В точке $x=0$ направление выпуклости меняется, следовательно, точка $(0,0)$ является точкой перегиба.

Ответ: Функция $y=x^{2n-1}$, где $n \in \mathbb{N}$, обладает следующими свойствами: область определения и область значений — все действительные числа; функция нечетная, строго возрастающая на всей числовой прямой; имеет единственный нуль в точке $x=0$; не имеет экстремумов; при $n \ge 2$ (т.е. $p \ge 3$) точка $(0,0)$ является точкой перегиба, причем график выпуклый вверх при $x<0$ и выпуклый вниз при $x>0$.

Изобразить схематически график этой функции

Схематический график функции $y=x^p$ с нечетным натуральным показателем $p$ всегда проходит через точки $(-1, -1)$, $(0, 0)$ и $(1, 1)$. График симметричен относительно начала координат. Для частного случая $p=1$ ($n=1$) графиком является прямая $y=x$. Для всех $p \ge 3$ ($n \ge 2$) график имеет характерную S-образную форму с горизонтальным касанием в точке перегиба $(0,0)$. С увеличением $p$ график становится более плоским вблизи нуля и растет быстрее при $|x|>1$. Ниже представлен типичный вид графика для $p \ge 3$.

Ответ: Схематический график функции для случая $p \ge 3$ представлен на рисунке выше.

5. Перечислить свойства функции $y = x^p$, где:

1) $p=-(2n-1)$, $n \in N$;

2) $p=-2n$, $n \in N$;

3) $p>0$, $p$ — нецелое действительное число;

4) $p<0$, $p$ — нецелое действительное число.

Изобразить схематически график каждой из функций.

1) $p = -(2n - 1)$, $n \in \mathbb{N}$

В этом случае показатель степени $p$ является отрицательным нечетным целым числом (например, -1, -3, -5, ...). Функция имеет вид $y = x^{-(2n-1)} = \frac{1}{x^{2n-1}}$.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, так как знаменатель не может быть равен нулю ($x \neq 0$).
• Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Четность: функция является нечетной, так как $y(-x) = \frac{1}{(-x)^{2n-1}} = \frac{1}{-x^{2n-1}} = -y(x)$. Ее график симметричен относительно начала координат.
• Нули функции: отсутствуют, так как $y \neq 0$.
• Монотонность: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0)$ и на промежутке $(0; +\infty)$.
• Асимптоты: вертикальная асимптота $x=0$ (ось OY) и горизонтальная асимптота $y=0$ (ось OX).
• График проходит через точки $(1; 1)$ и $(-1; -1)$.

Схематический график (похож на график функции $y=1/x$):

Ответ: Функция $y = x^{-(2n-1)}$ определена для всех $x \neq 0$, нечетная, убывает на $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, имеет асимптоты $x=0$ и $y=0$. График представляет собой гиперболу, расположенную в I и III координатных четвертях.

2) $p = -2n$, $n \in \mathbb{N}$

В этом случае показатель степени $p$ является отрицательным четным целым числом (например, -2, -4, -6, ...). Функция имеет вид $y = x^{-2n} = \frac{1}{x^{2n}}$.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (0; +\infty)$, так как $x^{2n} > 0$ для всех $x \neq 0$.
• Четность: функция является четной, так как $y(-x) = \frac{1}{(-x)^{2n}} = \frac{1}{x^{2n}} = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси OY.
• Нули функции: отсутствуют.
• Монотонность: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0)$ и убывает на промежутке $(0; +\infty)$.
• Асимптоты: вертикальная асимптота $x=0$ (ось OY) и горизонтальная асимптота $y=0$ (ось OX).
• График проходит через точки $(1; 1)$ и $(-1; 1)$.

Схематический график (похож на график функции $y=1/x^2$):

Ответ: Функция $y = x^{-2n}$ определена для всех $x \neq 0$, четная, возрастает на $(-\infty; 0)$ и убывает на $(0; +\infty)$, имеет асимптоты $x=0$ и $y=0$. График симметричен относительно оси OY, его ветви расположены в I и II координатных четвертях.

3) $p > 0$, $p$ — нецелое действительное число

В этом случае показатель степени $p$ является положительным, но не целым числом (например, 0.5, 1.7, $\pi$).

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = [0; +\infty)$. Степенная функция с нецелым действительным показателем по определению рассматривается для неотрицательных значений основания.
• Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
• Четность: функция не является ни четной, ни нечетной, так как ее область определения не симметрична относительно нуля.
• Нули функции: $y=0$ при $x=0$. График проходит через начало координат $(0;0)$.
• Монотонность: функция строго возрастает на всей области определения.
• Выпуклость:
  • при $0 < p < 1$ график является выпуклым вверх (вогнутым).
  • при $p > 1$ график является выпуклым вниз (выпуклым).
• Асимптот нет. График проходит через точку $(1; 1)$.

Схематический график:

Ответ: Функция $y = x^p$ ($p>0, p \notin \mathbb{Z}$) определена для $x \ge 0$, возрастает, проходит через $(0;0)$ и $(1;1)$. При $0<p<1$ график выпуклый вверх, при $p>1$ — выпуклый вниз.

4) $p < 0$, $p$ — нецелое действительное число

В этом случае показатель степени $p$ является отрицательным, но не целым числом (например, -0.5, -2.5, $-\sqrt{2}$).

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (0; +\infty)$. Основание должно быть положительным, и, так как показатель отрицательный ($y=1/x^{-p}$), основание не может быть равно нулю.
• Область значений: $E(y) = (0; +\infty)$.
• Четность: функция не является ни четной, ни нечетной.
• Нули функции: отсутствуют.
• Монотонность: функция строго убывает на всей области определения.
• Выпуклость: график является выпуклым вниз (выпуклым).
• Асимптоты: вертикальная асимптота $x=0$ (ось OY) и горизонтальная асимптота $y=0$ (ось OX).
• График проходит через точку $(1; 1)$.

Схематический график:

Ответ: Функция $y = x^p$ ($p<0, p \notin \mathbb{Z}$) определена для $x > 0$, убывает, выпукла вниз, имеет асимптоты $x=0$ и $y=0$. График расположен в I координатной четверти и проходит через точку $(1;1)$.