Номер 2, страница 216 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

2. В каком случае функция принимает наименьшее (наибольшее) значение на некотором множестве?

Вопрос о нахождении наименьшего и наибольшего значений функции на некотором множестве является одной из центральных задач математического анализа. Существование таких значений гарантируется при выполнении определенных условий, которые формулируются в теореме Вейерштрасса.

Согласно этой теореме, если функция $f(x)$ непрерывна на замкнутом и ограниченном множестве (например, на отрезке $[a, b]$), то она обязательно достигает на этом множестве своего наименьшего значения (глобального минимума) и своего наибольшего значения (глобального максимума).

Это означает, что существуют такие точки $x_{min}$ и $x_{max}$ в этом множестве, что для любой другой точки $x$ из этого множества выполняются неравенства: $f(x_{min}) \le f(x) \le f(x_{max})$

Если хотя бы одно из условий теоремы Вейерштрасса не выполняется (например, функция имеет разрыв, или множество не является замкнутым или ограниченным), то существование наименьшего или наибольшего значения не гарантируется. Например, функция $f(x) = 1/x$ на интервале $(0, 1]$ имеет наименьшее значение $f(1) = 1$, но не имеет наибольшего, так как стремится к $+\infty$ при $x \to 0+$.

Наименьшее или наибольшее значение на отрезке $[a, b]$ функция может принимать в следующих точках:

• В критических точках функции, которые лежат внутри отрезка. Критическими точками называются внутренние точки области определения функции, в которых ее производная $f'(x)$ равна нулю или не существует. Точки, где $f'(x)=0$, также называют стационарными.
• На концах отрезка, то есть в точках $x=a$ и $x=b$.

Таким образом, для нахождения наименьшего и наибольшего значения непрерывной функции на отрезке $[a, b]$ необходимо выполнить следующий алгоритм:

1. Найти производную функции $f'(x)$.
2. Найти все критические точки функции, решив уравнение $f'(x)=0$ и определив точки, где производная не существует.
3. Выбрать из найденных критических точек только те, которые принадлежат интервалу $(a, b)$.
4. Вычислить значения функции в отобранных критических точках и на концах отрезка (в точках $a$ и $b$).
5. Среди всех полученных значений выбрать наименьшее и наибольшее.

Ответ: Функция гарантированно принимает свое наименьшее и наибольшее значение на некотором множестве, если она непрерывна на этом множестве, и само множество является замкнутым и ограниченным (например, отрезок $[a, b]$). Эти значения достигаются либо в критических точках функции (где производная равна нулю или не существует) внутри множества, либо на его границах (например, на концах отрезка).