Номер 6, страница 217 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

6. Какую функцию называют обратимой?

Функцию $y = f(x)$ называют обратимой, если можно выразить аргумент $x$ через значение функции $y$ таким образом, что для каждого значения $y$ из области значений функции существует только одно соответствующее значение $x$ из области её определения. Иначе говоря, обратимая функция принимает каждое свое значение ровно один раз.

Это свойство называется взаимной однозначностью или инъективностью. Формально, функция $f$, определённая на множестве $X$, является обратимой, если для любых двух различных элементов $x_1$ и $x_2$ из множества $X$ их образы также различны:

$x_1 \neq x_2 \implies f(x_1) \neq f(x_2)$

Для обратимой функции $y = f(x)$ существует обратная функция, обозначаемая как $y = f^{-1}(x)$, которая каждому значению $y_0$ из области значений исходной функции ставит в соответствие единственное значение $x_0$ из её области определения, такое что $f(x_0) = y_0$.

Критерии обратимости:

• Строгая монотонность: Если функция является строго возрастающей или строго убывающей на всей своей области определения, то она обратима. Это является достаточным, но не необходимым условием. Например, функция $y = 1/x$ не является монотонной на всей области определения $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$, но является обратимой.
• Графический критерий (тест горизонтальной линией): Функция обратима, если любая горизонтальная прямая $y = c$ пересекает её график не более чем в одной точке.

Примеры:

• Линейная функция $y = kx + b$ (при $k \neq 0$) является обратимой, так как она строго монотонна. Например, для $y = 3x - 6$ обратной будет $y = \frac{1}{3}x + 2$.
• Степенная функция $y = x^3$ обратима, так как является строго возрастающей. Обратная ей функция — $y = \sqrt[3]{x}$.
• Функция $y = x^2$ не является обратимой на всей числовой оси, так как, например, $f(-2) = 4$ и $f(2) = 4$, то есть разным аргументам соответствует одно и то же значение. Однако, если ограничить её область определения, например, промежутком $[0, +\infty)$, то на этом промежутке она будет строго возрастать и станет обратимой. Её обратной функцией будет $y = \sqrt{x}$.

Графики прямой ($y=f(x)$) и обратной ($y=f^{-1}(x)$) функций симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: Обратимой называют функцию, которая каждое своё значение принимает ровно один раз, то есть разным значениям аргумента всегда соответствуют разные значения функции.