Номер 8, страница 217 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

8. Доказать, что монотонная функция является обратимой.

Чтобы доказать, что монотонная функция является обратимой, необходимо показать, что она является инъективной, то есть устанавливает взаимно однозначное соответствие между областью определения и областью значений. Функция $f$ называется инъективной, если для любых двух различных аргументов $x_1$ и $x_2$ из ее области определения их значения также различны: если $x_1 \neq x_2$, то $f(x_1) \neq f(x_2)$.

В задаче под "монотонной" функцией обычно подразумевается "строго монотонная" функция, так как нестрого монотонные функции (например, константа) не всегда обратимы. Рассмотрим два случая для строго монотонной функции.

Пусть функция $f(x)$ строго возрастает на своей области определения $D(f)$. Это означает, что для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из $D(f)$, если $x_1 < x_2$, то выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.

Возьмем две произвольные различные точки $x_1$ и $x_2$ из $D(f)$. Так как $x_1 \neq x_2$, то либо $x_1 < x_2$, либо $x_2 < x_1$.
- Если $x_1 < x_2$, то по определению строго возрастающей функции $f(x_1) < f(x_2)$. Следовательно, $f(x_1) \neq f(x_2)$.
- Если $x_2 < x_1$, то аналогично, по определению, $f(x_2) < f(x_1)$. Следовательно, $f(x_1) \neq f(x_2)$.

В обоих случаях мы показали, что различным значениям аргумента соответствуют различные значения функции. Таким образом, строго возрастающая функция является инъективной.

Пусть функция $f(x)$ строго убывает на своей области определения $D(f)$. Это означает, что для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из $D(f)$, если $x_1 < x_2$, то выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.

Снова возьмем две произвольные различные точки $x_1$ и $x_2$ из $D(f)$, то есть $x_1 \neq x_2$.
- Если $x_1 < x_2$, то по определению строго убывающей функции $f(x_1) > f(x_2)$. Следовательно, $f(x_1) \neq f(x_2)$.
- Если $x_2 < x_1$, то аналогично, по определению, $f(x_2) > f(x_1)$. Следовательно, $f(x_1) \neq f(x_2)$.

Таким образом, строго убывающая функция также является инъективной.

Поскольку любая строго монотонная функция (строго возрастающая или строго убывающая) является инъективной, она устанавливает взаимно однозначное соответствие между своей областью определения $X$ и своей областью значений $Y=f(X)$. Это по определению означает, что существует обратная функция $f^{-1}: Y \to X$. Таким образом, любая строго монотонная функция является обратимой.

Ответ: Доказано, что любая строго монотонная функция является инъективной, то есть разным значениям аргумента она сопоставляет разные значения функции. Это является достаточным условием для существования обратной функции на ее области значений. Следовательно, монотонная (в строгом смысле) функция является обратимой. Что и требовалось доказать.