Номер 14, страница 217 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

14. Верно ли утверждение: «Если функции $f(x)$, $g(x)$ и $\varphi(x)$ определены на множестве $X$, то для всех $x \in X$

$(f(x) = g(x)) \Leftrightarrow (f(x)\varphi(x) = g(x)\varphi(x))$?»

Данное утверждение в общем случае неверно.

Утверждение представляет собой эквивалентность (равносильность) двух равенств: $(f(x) = g(x)) \Leftrightarrow (f(x)\phi(x) = g(x)\phi(x))$. Для того чтобы эквивалентность $A \Leftrightarrow B$ была истинной, необходимо, чтобы обе импликации (следствия) были истинными: $A \Rightarrow B$ и $B \Rightarrow A$. Проверим каждую из них.

1. Импликация $(f(x) = g(x)) \Rightarrow (f(x)\phi(x) = g(x)\phi(x))$.
Эта импликация верна. Если для некоторого $x$ из множества $X$ верно равенство $f(x) = g(x)$, то, по свойству числовых равенств, мы можем умножить обе части на одно и то же число $\phi(x)$ (которое определено для данного $x$ по условию) и получить верное равенство $f(x)\phi(x) = g(x)\phi(x)$.

2. Импликация $(f(x)\phi(x) = g(x)\phi(x)) \Rightarrow (f(x) = g(x))$.
Эта импликация не всегда верна. Преобразуем исходное равенство:
$f(x)\phi(x) - g(x)\phi(x) = 0$
$(f(x) - g(x))\phi(x) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю. Это означает, что равенство выполняется, если:
- либо $f(x) - g(x) = 0$, что равносильно $f(x) = g(x)$;
- либо $\phi(x) = 0$.
Если для некоторого $x_0 \in X$ значение функции $\phi(x_0) = 0$, то равенство $(f(x_0) - g(x_0))\cdot 0 = 0$ будет верным при любых значениях $f(x_0)$ и $g(x_0)$, в том числе и при $f(x_0) \neq g(x_0)$.
Следовательно, из того, что $f(x)\phi(x) = g(x)\phi(x)$, не всегда следует, что $f(x) = g(x)$.

Чтобы доказать ложность исходного утверждения, достаточно привести один контрпример, в котором эквивалентность нарушается.
Пусть $X = \mathbb{R}$ (множество действительных чисел).
Выберем функции $f(x) = 1$, $g(x) = 2$ и $\phi(x) = x$.
Рассмотрим точку $x = 0$.
Для этой точки левая часть эквивалентности, $f(0) = g(0)$, является ложным утверждением, так как $1 \neq 2$.
Правая часть эквивалентности, $f(0)\phi(0) = g(0)\phi(0)$, является истинным утверждением, так как $1 \cdot 0 = 2 \cdot 0$, что сводится к верному равенству $0 = 0$.
Поскольку для $x=0$ мы имеем случай "Ложь $\Leftrightarrow$ Истина", что является ложью, то исходное утверждение "для всех $x \in X$ ... " неверно.

Ответ: Утверждение неверно.