Номер 13, страница 217 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

13. Привести пример преобразования уравнения, в результате которого получится уравнение, равносильное данному.

Равносильными (или эквивалентными) называются уравнения, имеющие одно и то же множество решений. Преобразование уравнения, в результате которого получается равносильное ему уравнение, называется равносильным преобразованием.

Основные виды равносильных преобразований:

• Перенос любого члена уравнения из одной его части в другую с противоположным знаком.
• Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число или выражение, которое имеет смысл и не обращается в ноль для всех допустимых значений переменной.
• Применение тождеств, то есть замена выражения на тождественно равное ему (например, раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых).

Пример равносильного преобразования:

Возьмем простое линейное уравнение:

$3x - 5 = 10$

Найдем его корень. Для этого сначала перенесем слагаемое $-5$ из левой части в правую, изменив его знак на "+". Это и есть равносильное преобразование.

$3x = 10 + 5$

Получилось новое уравнение $3x = 15$, которое равносильно исходному. Убедимся, что их корни совпадают.

Решим первое уравнение, $3x - 5 = 10$:

$3x = 15$

$x = \frac{15}{3}$

$x = 5$

Теперь решим второе уравнение, $3x = 15$:

$x = \frac{15}{3}$

$x = 5$

Множества корней обоих уравнений совпадают и состоят из одного числа $\{5\}$. Следовательно, преобразование переноса слагаемого из одной части в другую с изменением знака является равносильным.

Другой пример преобразования: умножим обе части исходного уравнения $3x - 5 = 10$ на число $2$:

$2 \cdot (3x - 5) = 2 \cdot 10$

$6x - 10 = 20$

Получилось новое уравнение, $6x - 10 = 20$. Найдем его корень:

$6x = 20 + 10$

$6x = 30$

$x = \frac{30}{6}$

$x = 5$

Корень снова равен $5$, что доказывает равносильность выполненного преобразования.

Ответ: Примером преобразования уравнения является перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с изменением знака. Например, преобразование уравнения $7x + 8 = 22$ в уравнение $7x = 22 - 8$ является равносильным, так как оба уравнения имеют единственный корень $x=2$.