Страница 217 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

6. Какую функцию называют обратимой?

Функцию $y = f(x)$ называют обратимой, если можно выразить аргумент $x$ через значение функции $y$ таким образом, что для каждого значения $y$ из области значений функции существует только одно соответствующее значение $x$ из области её определения. Иначе говоря, обратимая функция принимает каждое свое значение ровно один раз.

Это свойство называется взаимной однозначностью или инъективностью. Формально, функция $f$, определённая на множестве $X$, является обратимой, если для любых двух различных элементов $x_1$ и $x_2$ из множества $X$ их образы также различны:

$x_1 \neq x_2 \implies f(x_1) \neq f(x_2)$

Для обратимой функции $y = f(x)$ существует обратная функция, обозначаемая как $y = f^{-1}(x)$, которая каждому значению $y_0$ из области значений исходной функции ставит в соответствие единственное значение $x_0$ из её области определения, такое что $f(x_0) = y_0$.

Критерии обратимости:

• Строгая монотонность: Если функция является строго возрастающей или строго убывающей на всей своей области определения, то она обратима. Это является достаточным, но не необходимым условием. Например, функция $y = 1/x$ не является монотонной на всей области определения $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$, но является обратимой.
• Графический критерий (тест горизонтальной линией): Функция обратима, если любая горизонтальная прямая $y = c$ пересекает её график не более чем в одной точке.

Примеры:

• Линейная функция $y = kx + b$ (при $k \neq 0$) является обратимой, так как она строго монотонна. Например, для $y = 3x - 6$ обратной будет $y = \frac{1}{3}x + 2$.
• Степенная функция $y = x^3$ обратима, так как является строго возрастающей. Обратная ей функция — $y = \sqrt[3]{x}$.
• Функция $y = x^2$ не является обратимой на всей числовой оси, так как, например, $f(-2) = 4$ и $f(2) = 4$, то есть разным аргументам соответствует одно и то же значение. Однако, если ограничить её область определения, например, промежутком $[0, +\infty)$, то на этом промежутке она будет строго возрастать и станет обратимой. Её обратной функцией будет $y = \sqrt{x}$.

Графики прямой ($y=f(x)$) и обратной ($y=f^{-1}(x)$) функций симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: Обратимой называют функцию, которая каждое своё значение принимает ровно один раз, то есть разным значениям аргумента всегда соответствуют разные значения функции.

Какую функцию называют обратной.

7. Как расположены графики взаимно обратных функций?

7. Графики взаимно обратных функций $y = f(x)$ и $y = f^{-1}(x)$ расположены симметрично друг другу относительно прямой $y = x$.

Это свойство вытекает непосредственно из определения обратной функции. Если точка с координатами $(a, b)$ принадлежит графику функции $y = f(x)$, то это означает, что выполняется равенство $b = f(a)$.

По определению обратной функции, из равенства $b = f(a)$ следует, что $a = f^{-1}(b)$. Это значит, что точка с координатами $(b, a)$ принадлежит графику обратной функции $y = f^{-1}(x)$.

Точки $(a, b)$ и $(b, a)$ являются симметричными относительно прямой $y = x$, которая является биссектрисой первого и третьего координатных углов. Поскольку это утверждение справедливо для любой точки графика исходной функции, то и весь график обратной функции является зеркальным отражением графика исходной функции относительно прямой $y = x$.

Например, графики функций $y = e^x$ и $y = \ln x$ являются классическим примером взаимно обратных функций, и их графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой $y = x$.

8. Доказать, что монотонная функция является обратимой.

Чтобы доказать, что монотонная функция является обратимой, необходимо показать, что она является инъективной, то есть устанавливает взаимно однозначное соответствие между областью определения и областью значений. Функция $f$ называется инъективной, если для любых двух различных аргументов $x_1$ и $x_2$ из ее области определения их значения также различны: если $x_1 \neq x_2$, то $f(x_1) \neq f(x_2)$.

В задаче под "монотонной" функцией обычно подразумевается "строго монотонная" функция, так как нестрого монотонные функции (например, константа) не всегда обратимы. Рассмотрим два случая для строго монотонной функции.

Пусть функция $f(x)$ строго возрастает на своей области определения $D(f)$. Это означает, что для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из $D(f)$, если $x_1 < x_2$, то выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.

Возьмем две произвольные различные точки $x_1$ и $x_2$ из $D(f)$. Так как $x_1 \neq x_2$, то либо $x_1 < x_2$, либо $x_2 < x_1$.
- Если $x_1 < x_2$, то по определению строго возрастающей функции $f(x_1) < f(x_2)$. Следовательно, $f(x_1) \neq f(x_2)$.
- Если $x_2 < x_1$, то аналогично, по определению, $f(x_2) < f(x_1)$. Следовательно, $f(x_1) \neq f(x_2)$.

В обоих случаях мы показали, что различным значениям аргумента соответствуют различные значения функции. Таким образом, строго возрастающая функция является инъективной.

Пусть функция $f(x)$ строго убывает на своей области определения $D(f)$. Это означает, что для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из $D(f)$, если $x_1 < x_2$, то выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.

Снова возьмем две произвольные различные точки $x_1$ и $x_2$ из $D(f)$, то есть $x_1 \neq x_2$.
- Если $x_1 < x_2$, то по определению строго убывающей функции $f(x_1) > f(x_2)$. Следовательно, $f(x_1) \neq f(x_2)$.
- Если $x_2 < x_1$, то аналогично, по определению, $f(x_2) > f(x_1)$. Следовательно, $f(x_1) \neq f(x_2)$.

Таким образом, строго убывающая функция также является инъективной.

Поскольку любая строго монотонная функция (строго возрастающая или строго убывающая) является инъективной, она устанавливает взаимно однозначное соответствие между своей областью определения $X$ и своей областью значений $Y=f(X)$. Это по определению означает, что существует обратная функция $f^{-1}: Y \to X$. Таким образом, любая строго монотонная функция является обратимой.

Ответ: Доказано, что любая строго монотонная функция является инъективной, то есть разным значениям аргумента она сопоставляет разные значения функции. Это является достаточным условием для существования обратной функции на ее области значений. Следовательно, монотонная (в строгом смысле) функция является обратимой. Что и требовалось доказать.

9. Какую функцию называют сложной функцией? Привести пример сложной функции.

Какую функцию называют сложной функцией?

Сложной функцией (также её называют композицией функций или суперпозицией функций) называют функцию, аргументом которой, в свою очередь, является другая функция.

Если переменная $y$ является функцией от переменной $u$, то есть $y = f(u)$, а переменная $u$ сама является функцией от независимой переменной $x$, то есть $u = g(x)$, то говорят, что $y$ — это сложная функция от $x$. Записывается это в виде $y = f(g(x))$.

В такой записи функцию $f(u)$ называют внешней функцией, а функцию $g(x)$ — внутренней функцией.

Привести пример сложной функции.

Рассмотрим функцию $y = \sqrt{x^2+1}$.

Эту функцию можно представить как композицию двух более простых функций:

1. Внутренняя функция: $u = g(x) = x^2+1$. Она находится "внутри" знака корня.

2. Внешняя функция: $y = f(u) = \sqrt{u}$. Она применяется к результату внутренней функции.

Таким образом, мы получаем сложную функцию $y = f(g(x)) = \sqrt{x^2+1}$.

Другие примеры сложных функций: $y = \sin(2x)$, $y = (3x-5)^4$, $y = \ln(\cos(x))$.

Ответ: Сложной функцией (или композицией) называется функция вида $y = f(g(x))$, где результат одной функции ($g(x)$) является аргументом для другой функции ($f(u)$). Например, в функции $y = \sin(x^2)$ внешней функцией является $f(u) = \sin(u)$, а внутренней — $g(x) = x^2$.

10. Какую функцию называют дробно-линейной? Привести пример дробно-линейной функции.

Какую функцию называют дробно-линейной?

Дробно-линейной функцией называют функцию, которую можно задать формулой вида $y = \frac{ax + b}{cx + d}$, где $x$ — переменная, а $a, b, c, d$ — некоторые действительные числа, при выполнении двух ключевых условий.

Первое условие: коэффициент при переменной в знаменателе не должен быть равен нулю, то есть $c \neq 0$. Если это условие не выполняется ($c=0$), функция принимает вид $y = \frac{ax+b}{d}$, что является линейной функцией, а не дробно-линейной.

Второе условие: должно выполняться неравенство $ad - bc \neq 0$. Если $ad - bc = 0$, то при условии $cx+d \neq 0$ функция вырождается в постоянную ($y = \text{const}$), так как числитель становится пропорционален знаменателю. Такой случай также не считается дробно-линейной функцией.

Областью определения дробно-линейной функции является множество всех действительных чисел, за исключением значения $x$, которое обращает знаменатель в ноль, то есть $x \neq -\frac{d}{c}$.

Графиком дробно-линейной функции всегда является гипербола. Эта гипербола имеет две асимптоты (прямые, к которым график функции стремится, но не пересекает их): вертикальную асимптоту $x = -\frac{d}{c}$ и горизонтальную асимптоту $y = \frac{a}{c}$.

Ответ: Дробно-линейной называют функцию вида $y = \frac{ax + b}{cx + d}$, где $a, b, c, d$ — числа, для которых выполняются условия $c \neq 0$ и $ad - bc \neq 0$.

11. Какие уравнения называют равносильными?

Равносильными (или эквивалентными) называют уравнения, которые имеют одинаковые множества решений (корней). Это означает, что каждый корень первого уравнения является корнем второго, и наоборот, каждый корень второго является корнем первого.

Уравнения, не имеющие корней, также считаются равносильными, так как их множество решений одинаково — оно является пустым множеством ($ \emptyset $).

Для обозначения равносильности уравнений используется знак $ \Leftrightarrow $. Если уравнения $f(x) = g(x)$ и $p(x) = h(x)$ равносильны, это записывают так: $f(x) = g(x) \Leftrightarrow p(x) = h(x)$.

Примеры равносильных уравнений

1. Уравнения $x + 3 = 7$ и $2x = 8$.
Решим первое уравнение: $x = 7 - 3$, откуда $x = 4$. Множество решений: $\{4\}$.
Решим второе уравнение: $x = 8 / 2$, откуда $x = 4$. Множество решений: $\{4\}$.
Так как множества решений совпадают, уравнения равносильны.

2. Уравнения $x^2 + 5 = 0$ и $|x| = -1$.
Первое уравнение не имеет действительных корней, так как $x^2 \ge 0$, а значит $x^2 + 5 > 0$ для любого $x$.
Второе уравнение также не имеет корней, так как модуль числа — величина неотрицательная.
Поскольку оба уравнения не имеют решений, они равносильны.

Пример неравносильных уравнений

Уравнения $x = 5$ и $x^2 = 25$ не являются равносильными.
Первое уравнение имеет единственный корень $x=5$. Его множество решений — $\{5\}$.
Второе уравнение имеет два корня $x=5$ и $x=-5$. Его множество решений — $\{-5, 5\}$.
Множества решений не совпадают, следовательно, уравнения не равносильны.

Решение уравнений, как правило, сводится к последовательной замене исходного уравнения на более простое, но равносильное ему. Это достигается с помощью равносильных преобразований:

• Перенос любого члена уравнения из одной части в другую с противоположным знаком.
• Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число или на выражение, которое не обращается в нуль ни при каких значениях переменной из области допустимых значений (ОДЗ).
• Применение тождественных преобразований (например, раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых) в левой и правой частях уравнения.

Ответ: Равносильными уравнениями называются уравнения, у которых множества всех их корней полностью совпадают. Уравнения, которые не имеют корней, также являются равносильными.

12. Какое уравнение называется уравнением-следствием? Привести пример уравнения и его уравнения-следствия.

Какое уравнение называется уравнением-следствием?

Уравнение (2), которое записывается в виде $f_2(x) = g_2(x)$, называется уравнением-следствием для уравнения (1), имеющего вид $f_1(x) = g_1(x)$, если множество корней уравнения (1) является подмножеством множества корней уравнения (2). Проще говоря, любой корень исходного уравнения (1) обязательно является корнем уравнения-следствия (2).
При решении уравнений переход к уравнению-следствию — это распространенный приём. Однако при таких преобразованиях (например, при возведении обеих частей в квадрат или при освобождении от знаменателя) могут появиться посторонние корни. Это значения переменной, которые являются корнями уравнения-следствия, но не являются корнями исходного уравнения. Поэтому после нахождения корней уравнения-следствия всегда необходимо выполнять их проверку путем подстановки в исходное уравнение.

Ответ: Уравнение (2) называется уравнением-следствием уравнения (1), если каждый корень уравнения (1) также является корнем уравнения (2).

Привести пример уравнения и его уравнения-следствия.

Рассмотрим в качестве примера иррациональное уравнение:
$ \sqrt{2x+3} = x $

Для того чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части этого уравнения в квадрат. Данное преобразование не является равносильным и приводит к уравнению-следствию.
$ (\sqrt{2x+3})^2 = x^2 $
$ 2x+3 = x^2 $

Перенесем все члены в одну сторону и получим квадратное уравнение, которое является уравнением-следствием для исходного:
$ x^2 - 2x - 3 = 0 $

Найдем корни этого уравнения-следствия, например, с помощью теоремы Виета:
$ x_1 = 3 $
$ x_2 = -1 $

Теперь выполним проверку найденных корней, подставив их в исходное уравнение $ \sqrt{2x+3} = x $:
1. Проверка для $x_1=3$:
$ \sqrt{2 \cdot 3 + 3} = 3 $
$ \sqrt{9} = 3 $
$ 3 = 3 $ (верно).
Значит, $x=3$ является корнем исходного уравнения.
2. Проверка для $x_2=-1$:
$ \sqrt{2 \cdot (-1) + 3} = -1 $
$ \sqrt{1} = -1 $
$ 1 = -1 $ (неверно).
Значит, $x=-1$ — это посторонний корень, который появился в результате возведения в квадрат.

Таким образом, исходное уравнение $ \sqrt{2x+3} = x $ имеет один корень $\{3\}$, а его уравнение-следствие $ x^2 - 2x - 3 = 0 $ имеет два корня $\{3, -1\}$. Множество корней первого является подмножеством множества корней второго.

Ответ: Пример исходного уравнения: $ \sqrt{2x+3} = x $. Его уравнение-следствие: $ x^2 - 2x - 3 = 0 $.

13. Привести пример преобразования уравнения, в результате которого получится уравнение, равносильное данному.

Равносильными (или эквивалентными) называются уравнения, имеющие одно и то же множество решений. Преобразование уравнения, в результате которого получается равносильное ему уравнение, называется равносильным преобразованием.

Основные виды равносильных преобразований:

• Перенос любого члена уравнения из одной его части в другую с противоположным знаком.
• Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число или выражение, которое имеет смысл и не обращается в ноль для всех допустимых значений переменной.
• Применение тождеств, то есть замена выражения на тождественно равное ему (например, раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых).

Пример равносильного преобразования:

Возьмем простое линейное уравнение:

$3x - 5 = 10$

Найдем его корень. Для этого сначала перенесем слагаемое $-5$ из левой части в правую, изменив его знак на "+". Это и есть равносильное преобразование.

$3x = 10 + 5$

Получилось новое уравнение $3x = 15$, которое равносильно исходному. Убедимся, что их корни совпадают.

Решим первое уравнение, $3x - 5 = 10$:

$3x = 15$

$x = \frac{15}{3}$

$x = 5$

Теперь решим второе уравнение, $3x = 15$:

$x = \frac{15}{3}$

$x = 5$

Множества корней обоих уравнений совпадают и состоят из одного числа $\{5\}$. Следовательно, преобразование переноса слагаемого из одной части в другую с изменением знака является равносильным.

Другой пример преобразования: умножим обе части исходного уравнения $3x - 5 = 10$ на число $2$:

$2 \cdot (3x - 5) = 2 \cdot 10$

$6x - 10 = 20$

Получилось новое уравнение, $6x - 10 = 20$. Найдем его корень:

$6x = 20 + 10$

$6x = 30$

$x = \frac{30}{6}$

$x = 5$

Корень снова равен $5$, что доказывает равносильность выполненного преобразования.

Ответ: Примером преобразования уравнения является перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с изменением знака. Например, преобразование уравнения $7x + 8 = 22$ в уравнение $7x = 22 - 8$ является равносильным, так как оба уравнения имеют единственный корень $x=2$.

14. Верно ли утверждение: «Если функции $f(x)$, $g(x)$ и $\varphi(x)$ определены на множестве $X$, то для всех $x \in X$

$(f(x) = g(x)) \Leftrightarrow (f(x)\varphi(x) = g(x)\varphi(x))$?»

Данное утверждение в общем случае неверно.

Утверждение представляет собой эквивалентность (равносильность) двух равенств: $(f(x) = g(x)) \Leftrightarrow (f(x)\phi(x) = g(x)\phi(x))$. Для того чтобы эквивалентность $A \Leftrightarrow B$ была истинной, необходимо, чтобы обе импликации (следствия) были истинными: $A \Rightarrow B$ и $B \Rightarrow A$. Проверим каждую из них.

1. Импликация $(f(x) = g(x)) \Rightarrow (f(x)\phi(x) = g(x)\phi(x))$.
Эта импликация верна. Если для некоторого $x$ из множества $X$ верно равенство $f(x) = g(x)$, то, по свойству числовых равенств, мы можем умножить обе части на одно и то же число $\phi(x)$ (которое определено для данного $x$ по условию) и получить верное равенство $f(x)\phi(x) = g(x)\phi(x)$.

2. Импликация $(f(x)\phi(x) = g(x)\phi(x)) \Rightarrow (f(x) = g(x))$.
Эта импликация не всегда верна. Преобразуем исходное равенство:
$f(x)\phi(x) - g(x)\phi(x) = 0$
$(f(x) - g(x))\phi(x) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю. Это означает, что равенство выполняется, если:
- либо $f(x) - g(x) = 0$, что равносильно $f(x) = g(x)$;
- либо $\phi(x) = 0$.
Если для некоторого $x_0 \in X$ значение функции $\phi(x_0) = 0$, то равенство $(f(x_0) - g(x_0))\cdot 0 = 0$ будет верным при любых значениях $f(x_0)$ и $g(x_0)$, в том числе и при $f(x_0) \neq g(x_0)$.
Следовательно, из того, что $f(x)\phi(x) = g(x)\phi(x)$, не всегда следует, что $f(x) = g(x)$.

Чтобы доказать ложность исходного утверждения, достаточно привести один контрпример, в котором эквивалентность нарушается.
Пусть $X = \mathbb{R}$ (множество действительных чисел).
Выберем функции $f(x) = 1$, $g(x) = 2$ и $\phi(x) = x$.
Рассмотрим точку $x = 0$.
Для этой точки левая часть эквивалентности, $f(0) = g(0)$, является ложным утверждением, так как $1 \neq 2$.
Правая часть эквивалентности, $f(0)\phi(0) = g(0)\phi(0)$, является истинным утверждением, так как $1 \cdot 0 = 2 \cdot 0$, что сводится к верному равенству $0 = 0$.
Поскольку для $x=0$ мы имеем случай "Ложь $\Leftrightarrow$ Истина", что является ложью, то исходное утверждение "для всех $x \in X$ ... " неверно.

Ответ: Утверждение неверно.

15. Какие неравенства называются равносильными? Привести пример равносильных неравенств.

Какие неравенства называются равносильными?
Два неравенства с одной или несколькими переменными называются равносильными (или эквивалентными), если множества их решений полностью совпадают. Это означает, что каждое решение первого неравенства является решением второго, и, наоборот, каждое решение второго неравенства является решением первого.
Также равносильными считаются два неравенства, если оба они не имеют решений.
Например, если неравенство $f(x) > g(x)$ имеет множество решений $M_1$, а неравенство $p(x) > q(x)$ имеет множество решений $M_2$, то эти неравенства равносильны тогда и только тогда, когда $M_1 = M_2$.
Равносильность неравенств обозначается знаком $\Leftrightarrow$. Таким образом, запись $f(x) > g(x) \Leftrightarrow p(x) > q(x)$ означает, что эти два неравенства равносильны.
Ответ: Равносильными называются неравенства, у которых множества решений совпадают.

Привести пример равносильных неравенств.
Рассмотрим два неравенства: $x + 5 > 7$ и $3x > 6$.
Найдем множество решений для каждого из них.
1. Решим первое неравенство:
$x + 5 > 7$
Вычтем 5 из обеих частей неравенства:
$x > 7 - 5$
$x > 2$
Множество решений этого неравенства — все числа, большие 2, то есть интервал $(2; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство:
$3x > 6$
Разделим обе части неравенства на положительное число 3 (знак неравенства при этом сохраняется):
$x > \frac{6}{3}$
$x > 2$
Множество решений этого неравенства — также все числа, большие 2, то есть интервал $(2; +\infty)$.

Поскольку множества решений обоих неравенств одинаковы (это интервал $(2; +\infty)$), данные неравенства являются равносильными.
$x + 5 > 7 \Leftrightarrow 3x > 6$
Ответ: Примером равносильных неравенств являются $x + 5 > 7$ и $3x > 6$, так как они имеют одно и то же множество решений: $x \in (2; +\infty)$.

16. На каком утверждении основан способ подстановки при решении систем уравнений?

Способ подстановки при решении систем уравнений основан на фундаментальном свойстве равносильности систем уравнений. Суть этого свойства заключается в следующем утверждении:

Если в системе уравнений из одного уравнения выразить одну переменную через другие и подставить полученное выражение в остальные уравнения системы, то новая полученная система будет равносильна (эквивалентна) исходной.

Равносильные системы имеют одно и то же множество решений. Это означает, что любое решение исходной системы является решением новой системы, и наоборот. Таким образом, выполняя подстановку, мы преобразуем систему к более простому виду (уменьшая количество переменных в одном из уравнений), не рискуя при этом потерять существующие решения или приобрести посторонние.

Рассмотрим, как это работает на общем примере системы двух линейных уравнений с двумя переменными:

$$\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1 \\a_2x + b_2y = c_2\end{cases}$$

Предположим, что мы можем выразить переменную $y$ из первого уравнения (то есть $b_1 \neq 0$):

$y = \frac{c_1 - a_1x}{b_1}$

Утверждение, лежащее в основе метода подстановки, гласит, что исходная система равносильна следующей системе:

$$\begin{cases}y = \frac{c_1 - a_1x}{b_1} \\a_2x + b_2\left(\frac{c_1 - a_1x}{b_1}\right) = c_2\end{cases}$$

Второе уравнение в новой системе теперь зависит только от одной переменной $x$. Решив его, мы находим значение $x$. Затем, подставив это найденное значение в первое уравнение ($y = \frac{c_1 - a_1x}{b_1}$), мы находим соответствующее значение $y$. Найденная пара $(x, y)$ и будет решением исходной системы, так как преобразования были равносильными.

Ответ: Способ подстановки основан на утверждении о том, что если из одного уравнения системы выразить одну переменную через другие и подставить это выражение в любое другое уравнение той же системы, то полученная новая система будет равносильна исходной (то есть будет иметь то же самое множество решений).

17. Верно ли утверждение: $(f(x) = g(x)) \iff ((f(x))^n = (g(x))^n)$, где $n \in N$?

Данное утверждение представляет собой равносильность (эквивалентность), которая верна только в том случае, когда верны обе импликации (следствия) в обе стороны. Проверим каждую из них.

1. Импликация $f(x)=g(x) \implies (f(x))^n = (g(x))^n$.
Это следствие верно для любого натурального числа $n \in \mathbb{N}$. Если два числа равны, то при возведении их в одну и ту же натуральную степень результаты также будут равны. Это фундаментальное свойство операции возведения в степень.

2. Импликация $(f(x))^n = (g(x))^n \implies f(x)=g(x)$.
Истинность этого следствия зависит от четности показателя степени $n$.

Если $n$ — нечетное натуральное число (например, $1, 3, 5, \dots$), то функция $y=t^n$ является строго монотонной и взаимно-однозначной. Это значит, что из равенства $a^n = b^n$ при нечетном $n$ однозначно следует, что $a=b$. Таким образом, для нечетных $n$ эта импликация верна.

Если $n$ — четное натуральное число (например, $2, 4, 6, \dots$), то импликация в общем случае неверна. Из равенства $a^n=b^n$ при четном $n$ следует, что $|a|=|b|$, что в свою очередь означает либо $a=b$, либо $a=-b$. Так как существует вторая возможность, нельзя однозначно утверждать, что $f(x)=g(x)$.

Приведем контрпример для четного $n$. Пусть $n=2$. Возьмем функции $f(x)=x$ и $g(x)=-x$.
Тогда $(f(x))^2 = x^2$ и $(g(x))^2 = (-x)^2 = x^2$.
Равенство $(f(x))^2 = (g(x))^2$ выполняется для любого значения $x$.
Однако равенство $f(x) = g(x)$ (то есть $x=-x$) выполняется только при $x=0$. Для всех $x \neq 0$ оно неверно.

Поскольку исходное утверждение о равносильности должно быть верным для всех натуральных $n$, а мы показали, что оно не выполняется для любого четного $n$, то общее утверждение является неверным.

Ответ: Утверждение неверно. Равносильность $(f(x)=g(x)) \iff ((f(x))^n = (g(x))^n)$ справедлива только для нечетных натуральных значений $n$.

1. Найти область определения функции:

1) $y=3(x-1)^{-2}$;

2) $y=\sqrt[4]{x^2-3x-4}$.

1) $y = 3(x-1)^{-2}$

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл.
Данную функцию можно представить в виде дроби, используя свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$y = \frac{3}{(x-1)^2}$
Основное ограничение для дробей заключается в том, что знаменатель не может быть равен нулю. Поэтому мы должны исключить значения $x$, при которых знаменатель $(x-1)^2$ обращается в ноль.
Составим и решим условие:
$(x-1)^2 \neq 0$
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:
$x - 1 \neq 0$
Отсюда следует, что:
$x \neq 1$
Таким образом, область определения функции включает все действительные числа, кроме 1.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2) $y = \sqrt[4]{x^2 - 3x - 4}$

Данная функция содержит корень четной степени (четвертой степени). Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным (больше или равно нулю), так как извлечение корня четной степени из отрицательного числа в области действительных чисел не определено.
Следовательно, для нахождения области определения функции необходимо решить неравенство:
$x^2 - 3x - 4 \ge 0$
Это квадратное неравенство. Для его решения сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$.
Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = -1$
$x_2 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = 4$
Корни уравнения, -1 и 4, являются границами интервалов. Графиком функции $f(x) = x^2 - 3x - 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен). Это означает, что парабола находится выше или на оси $x$ (то есть $f(x) \ge 0$) на интервалах вне корней, включая сами корни.
Следовательно, решение неравенства $x^2 - 3x - 4 \ge 0$ есть объединение промежутков $x \le -1$ и $x \ge 4$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; -1] \cup [4; +\infty)$.

2. Построить график функции:

1) $y = \sqrt[3]{x} + 1$;

2) $y = 2x^{-2}$;

3) $y = \frac{x^4}{2}$.

Для каждой функции указать область определения и те значения $x$, при которых $y > 0$.

1) $y = \sqrt[3]{x} + 1$

Построение графика:

График данной функции получается из графика базовой функции $y = \sqrt[3]{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) на 1 единицу вверх вдоль оси ординат (оси Oy). График функции $y = \sqrt[3]{x}$ проходит через точки $(-8, -2)$, $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(8, 2)$. Соответственно, для построения графика $y = \sqrt[3]{x} + 1$ мы сдвигаем эти точки на 1 вверх:

• $(-8, -2+1) = (-8, -1)$
• $(-1, -1+1) = (-1, 0)$ (точка пересечения с осью Ox)
• $(0, 0+1) = (0, 1)$ (точка пересечения с осью Oy)
• $(1, 1+1) = (1, 2)$
• $(8, 2+1) = (8, 3)$

График представляет собой возрастающую на всей числовой оси кривую, проходящую через эти точки.

Область определения:

Функция кубического корня определена для любых действительных значений аргумента. Следовательно, область определения $D(y)$ — это множество всех действительных чисел.

$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Значения x, при которых y > 0:

Для нахождения этих значений решим неравенство:

$\sqrt[3]{x} + 1 > 0$

$\sqrt[3]{x} > -1$

Так как функция $f(t) = t^3$ является возрастающей, мы можем возвести обе части неравенства в куб, сохранив знак неравенства:

$(\sqrt[3]{x})^3 > (-1)^3$

$x > -1$

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$. $y > 0$ при $x \in (-1; +\infty)$.

2) $y = 2x^{-2}$

Преобразуем вид функции для удобства: $y = \frac{2}{x^2}$.

Построение графика:

График этой функции получается из графика $y = \frac{1}{x^2}$ путем растяжения от оси Ox в 2 раза (умножение всех ординат на 2). Функция является четной, так как $y(-x) = \frac{2}{(-x)^2} = \frac{2}{x^2} = y(x)$, а значит, ее график симметричен относительно оси Oy. Составим таблицу значений:

• $x = \pm 0.5 \implies y = \frac{2}{(0.5)^2} = \frac{2}{0.25} = 8$
• $x = \pm 1 \implies y = \frac{2}{1^2} = 2$
• $x = \pm 2 \implies y = \frac{2}{2^2} = \frac{2}{4} = 0.5$

Ось Ox ($y=0$) является горизонтальной асимптотой, так как при $x \to \pm\infty$, $y \to 0$. Ось Oy ($x=0$) является вертикальной асимптотой, так как при $x \to 0$, $y \to +\infty$. График состоит из двух ветвей, расположенных в первом и втором координатных квадрантах.

Область определения:

Функция определена для всех $x$, при которых знаменатель не равен нулю.

$x^2 \neq 0 \implies x \neq 0$.

Следовательно, область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Значения x, при которых y > 0:

Решим неравенство:

$\frac{2}{x^2} > 0$

Числитель $2$ всегда положителен. Знаменатель $x^2$ положителен для любого действительного числа $x$, кроме $x=0$. Таким образом, дробь положительна для всех $x$ из области определения функции.

Ответ: Область определения: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

3) $y = \frac{x^4}{2}$

Построение графика:

Это степенная функция, ее график получается из графика $y = x^4$ путем сжатия к оси Ox в 2 раза (умножение ординат на коэффициент $\frac{1}{2}$). Функция является четной, $y(-x) = \frac{(-x)^4}{2} = \frac{x^4}{2} = y(x)$, поэтому ее график симметричен относительно оси Oy. Найдем несколько точек:

• $x = 0 \implies y = 0$
• $x = \pm 1 \implies y = \frac{1^4}{2} = 0.5$
• $x = \pm 2 \implies y = \frac{2^4}{2} = \frac{16}{2} = 8$

График имеет U-образную форму, похожую на параболу, но более "плоский" у начала координат и растущий быстрее при $|x| > 1$.

Область определения:

Данная функция является многочленом, который определен для любых действительных значений $x$.

$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Значения x, при которых y > 0:

Решим неравенство:

$\frac{x^4}{2} > 0$

Умножим обе части на 2:

$x^4 > 0$

Четвертая степень любого ненулевого числа является положительной. При $x=0$, $x^4=0$. Следовательно, неравенство выполняется для всех действительных чисел, кроме нуля.

$x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$. $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

3. Решить уравнение:

1) $\sqrt[4]{x-3}=5;$

2) $\sqrt{3-x-x^2}=x.$

1) Дано иррациональное уравнение $\sqrt[4]{x-3}=5$.
Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным:
$x-3 \ge 0$
$x \ge 3$
Теперь решим само уравнение. Для того чтобы избавиться от корня четвертой степени, возведем обе части уравнения в четвертую степень:
$(\sqrt[4]{x-3})^4 = 5^4$
$x-3 = 625$
Перенесем -3 в правую часть уравнения:
$x = 625 + 3$
$x = 628$
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень условию ОДЗ ($x \ge 3$).
$628 \ge 3$. Условие выполняется, следовательно, корень является действительным решением уравнения.
Ответ: $x=628$.

2) Дано иррациональное уравнение $\sqrt{3-x-x^2}=x$.
Данное уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} 3-x-x^2 = x^2 \\ x \ge 0 \end{cases} $
Условие $x \ge 0$ необходимо, так как арифметический квадратный корень не может быть отрицательным. Условие $3-x-x^2 \ge 0$ будет выполнено автоматически, если $3-x-x^2 = x^2$ и $x \ge 0$, так как $x^2$ всегда неотрицательно.
Решим первое уравнение системы:
$3-x-x^2 = x^2$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$2x^2 + x - 3 = 0$
Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$
$\sqrt{D} = 5$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -1.5$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$
Теперь необходимо проверить найденные корни на соответствие условию $x \ge 0$.
Корень $x_1 = -1.5$ не удовлетворяет условию $x \ge 0$, так как $-1.5 < 0$. Следовательно, это посторонний корень.
Корень $x_2 = 1$ удовлетворяет условию $x \ge 0$, так как $1 > 0$.
Таким образом, уравнение имеет единственный корень.
Ответ: $x=1$.

1. Найти область определения функции

$y = \sqrt{x+1+\sqrt[6]{x^2+2x-3}}$.

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Данная функция $y = \sqrt{x+1} + \sqrt[6]{x^2+2x-3}$ представляет собой сумму двух слагаемых. Её область определения является пересечением областей определения каждого из слагаемых.

Для того чтобы функция была определена, должны одновременно выполняться два условия, так как оба корня имеют четную степень (2 и 6):

1. Выражение под первым корнем (квадратным) должно быть неотрицательным:

$x+1 \ge 0$

Решая это линейное неравенство, получаем:

$x \ge -1$

Это соответствует числовому промежутку $[-1; +\infty)$.

2. Выражение под вторым корнем (шестой степени) также должно быть неотрицательным:

$x^2+2x-3 \ge 0$

Это квадратное неравенство. Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2+2x-3=0$. По теореме Виета, сумма корней равна $-2$, а их произведение равно $-3$. Легко подобрать корни:

$x_1 = 1$

$x_2 = -3$

Графиком функции $f(x) = x^2+2x-3$ является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Следовательно, неравенство $x^2+2x-3 \ge 0$ выполняется, когда $x$ находится левее или на меньшем корне и правее или на большем корне.

Таким образом, решением второго неравенства является объединение промежутков:

$x \in (-\infty; -3] \cup [1; +\infty)$

3. Область определения исходной функции является пересечением множеств решений, полученных в пунктах 1 и 2:

$D(y) = \{ x \mid x \ge -1 \} \cap \{ x \mid x \in (-\infty; -3] \cup [1; +\infty) \}$

Найдем это пересечение. Из всех чисел, которые больше или равны $-1$, нам нужно выбрать те, которые меньше или равны $-3$ или больше или равны $1$.

Условию $x \le -3$ не удовлетворяет ни одно число из промежутка $[-1; +\infty)$.

Условию $x \ge 1$ удовлетворяют все числа из промежутка $[1; +\infty)$, который является частью промежутка $[-1; +\infty)$.

Следовательно, пересечением является промежуток $[1; +\infty)$.

Ответ: $x \in [1; +\infty)$.

2. Построить график функции:

1) $y=(x+2)^4-1;$

2) $y=(|x|+1)^{\frac{1}{3}}.$

1) Для построения графика функции $y=(x+2)^4-1$ мы будем использовать метод геометрических преобразований графика базовой функции $y=x^4$.

Построение выполняется в несколько шагов:
1. Базовый график: Строим график функции $y=x^4$. Это степенная функция с четным показателем. Ее график симметричен относительно оси ординат OY, проходит через начало координат $(0,0)$, которое является точкой минимума, а также через точки $(1,1)$ и $(-1,1)$. Внешне он напоминает параболу $y=x^2$, но его ветви растут быстрее, и он более "плоский" у вершины.
2. Горизонтальный сдвиг: Следующим шагом является построение графика $y=(x+2)^4$. Это соответствует сдвигу графика $y=x^4$ на 2 единицы влево вдоль оси абсцисс OX. Вершина графика смещается из точки $(0,0)$ в точку $(-2,0)$.
3. Вертикальный сдвиг: Наконец, для получения графика искомой функции $y=(x+2)^4-1$, мы сдвигаем график $y=(x+2)^4$ на 1 единицу вниз вдоль оси ординат OY. Вершина графика смещается из точки $(-2,0)$ в точку $(-2,-1)$.

Для большей точности найдем ключевые точки графика:
- Вершина: Как было установлено, вершина графика, являющаяся его точкой минимума, находится в точке $(-2,-1)$.
- Пересечение с осью ординат (OY): Подставим $x=0$ в уравнение функции: $y=(0+2)^4-1 = 16-1 = 15$. Точка пересечения с OY — $(0,15)$.
- Пересечение с осью абсцисс (OX): Решим уравнение $y=0$:
$(x+2)^4-1 = 0$
$(x+2)^4 = 1$
Отсюда $x+2 = 1$ или $x+2 = -1$.
Из первого уравнения получаем $x = -1$.
Из второго уравнения получаем $x = -3$.
Точки пересечения с OX — $(-1,0)$ и $(-3,0)$.

Ответ: График функции $y=(x+2)^4-1$ является графиком функции $y=x^4$, смещенным на 2 единицы влево и на 1 единицу вниз. Вершина графика находится в точке $(-2, -1)$. График пересекает ось OX в точках $(-3, 0)$ и $(-1, 0)$ и ось OY в точке $(0, 15).

2) Построим график функции $y=(|x|+1)^3$.

Особенностью данной функции является наличие модуля $|x|$. Это означает, что функция является четной, так как $y(-x) = (|-x|+1)^3 = (|x|+1)^3 = y(x)$. График четной функции симметричен относительно оси ординат OY.Это свойство позволяет нам построить сначала часть графика для $x \ge 0$, а затем получить вторую часть графика путем симметричного отражения относительно оси OY.

Шаг 1: Построение графика для $x \ge 0$.
Когда $x \ge 0$, имеем $|x|=x$. Функция принимает вид $y=(x+1)^3$.
Этот график можно получить из графика базовой функции $y=x^3$ (кубическая парабола) путем сдвига на 1 единицу влево вдоль оси OX. График $y=x^3$ проходит через точки $(-1,-1)$, $(0,0)$, $(1,1)$. После сдвига, график $y=(x+1)^3$ будет проходить через точки $(-2,-1)$, $(-1,0)$, $(0,1)$.
Нам нужна только та часть этого графика, которая соответствует условию $x \ge 0$. Эта часть начинается в точке пересечения с осью OY. При $x=0$, $y=(0+1)^3=1$. Итак, наша ветвь начинается в точке $(0,1)$ и уходит вверх. Например, при $x=1$, $y=(1+1)^3=8$.

Шаг 2: Построение всего графика.
Теперь отражаем построенную для $x \ge 0$ ветвь симметрично относительно оси OY. Точка $(1,8)$ перейдет в точку $(-1,8)$, точка $(2,27)$ — в $(-2,27)$ и так далее. Точка $(0,1)$ лежит на оси симметрии и останется на месте.

Итоговый график состоит из двух ветвей, симметрично расходящихся вверх от точки $(0,1)$. Эта точка является точкой минимума функции. В точке $(0,1)$ график имеет излом, так как касательные к левой и правой ветвям в этой точке различны.

Ответ: График функции $y=(|x|+1)^3$ симметричен относительно оси OY. Для $x \ge 0$ он совпадает с графиком функции $y=(x+1)^3$, который является графиком $y=x^3$, сдвинутым на 1 единицу влево. Эта часть графика начинается в точке $(0,1)$ и возрастает. Часть графика для $x < 0$ получается зеркальным отражением первой части относительно оси OY. Точка $(0,1)$ является точкой минимума функции.

3. Решить уравнение:

1) $\sqrt{x+5}-\sqrt{x-1}=\sqrt{2x+4}$;

2) $\sqrt[4]{x-1}+\sqrt{x-1}=30$.

1) $\sqrt{x+5}-\sqrt{x-1}=\sqrt{2x+4}$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:

$x+5 \ge 0 \implies x \ge -5$
$x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$
$2x+4 \ge 0 \implies 2x \ge -4 \implies x \ge -2$

Пересечением этих трех условий является $x \ge 1$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [1; +\infty)$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:

$(\sqrt{x+5}-\sqrt{x-1})^2 = (\sqrt{2x+4})^2$

$(x+5) - 2\sqrt{(x+5)(x-1)} + (x-1) = 2x+4$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$2x+4 - 2\sqrt{x^2+4x-5} = 2x+4$

Вычтем $2x+4$ из обеих частей уравнения:

$-2\sqrt{x^2+4x-5} = 0$

$\sqrt{x^2+4x-5} = 0$

Снова возведем в квадрат обе части:

$x^2+4x-5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней. По теореме Виета, сумма корней равна $-4$, а произведение равно $-5$. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -5$.

Теперь проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 1$).

Корень $x_1 = 1$ принадлежит ОДЗ.

Корень $x_2 = -5$ не принадлежит ОДЗ, поэтому это посторонний корень.

Выполним проверку для $x=1$, подставив его в исходное уравнение:

$\sqrt{1+5}-\sqrt{1-1} = \sqrt{2(1)+4}$

$\sqrt{6}-\sqrt{0} = \sqrt{6}$

$\sqrt{6} = \sqrt{6}$

Равенство верное, значит, корень найден правильно.

Ответ: $1$.

2) $\sqrt[4]{x-1}+\sqrt{x-1}=30$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$

ОДЗ: $x \in [1; +\infty)$.

Заметим, что $\sqrt{x-1} = (\sqrt[4]{x-1})^2$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[4]{x-1}$.

Поскольку корень четвертой степени из неотрицательного числа всегда неотрицателен, то $t \ge 0$.

Подставим $t$ в исходное уравнение:

$t + t^2 = 30$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$t^2+t-30=0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта или теоремы Виета.

По теореме Виета: сумма корней равна $-1$, произведение равно $-30$. Корни: $t_1 = 5$ и $t_2 = -6$.

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.

$t_1 = 5$ удовлетворяет условию $t \ge 0$.

$t_2 = -6$ не удовлетворяет условию, поэтому это посторонний корень для переменной $t$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, используя $t=5$.

$\sqrt[4]{x-1} = 5$

Возведем обе части уравнения в четвертую степень:

$(\sqrt[4]{x-1})^4 = 5^4$

$x-1 = 625$

$x = 626$

Найденный корень $x=626$ принадлежит ОДЗ ($x \ge 1$).

Выполним проверку:

$\sqrt[4]{626-1}+\sqrt{626-1} = \sqrt[4]{625}+\sqrt{625} = 5 + 25 = 30$

$30=30$

Равенство верное.

Ответ: $626$.

4. Решить неравенство $\sqrt{2x^2 - 5x - 3} > x-1$.

Данное иррациональное неравенство $\sqrt{2x^2-5x-3} > x-1$ решается путем рассмотрения двух случаев, в зависимости от знака выражения в правой части неравенства.

Случай 1: Правая часть отрицательна

Рассматриваем случай, когда $x-1 < 0$, то есть $x < 1$. В этом случае левая часть неравенства (арифметический квадратный корень) всегда неотрицательна и, следовательно, будет больше любого отрицательного числа. Единственное ограничение, которое необходимо учесть, — это область допустимых значений (ОДЗ) подкоренного выражения.

Таким образом, мы решаем систему:

$\begin{cases} x - 1 < 0 \\ 2x^2 - 5x - 3 \ge 0 \end{cases}$

Первое неравенство дает нам $x < 1$.

Для решения второго неравенства $2x^2 - 5x - 3 \ge 0$ найдем корни квадратного уравнения $2x^2 - 5x - 3 = 0$.

Вычисляем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.

Находим корни: $x_1 = \frac{5 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$; $x_2 = \frac{5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$.

Так как ветви параболы $y = 2x^2 - 5x - 3$ направлены вверх, неравенство $2x^2 - 5x - 3 \ge 0$ выполняется для $x \in (-\infty; -\frac{1}{2}] \cup [3; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений системы: $\begin{cases} x < 1 \\ x \in (-\infty; -\frac{1}{2}] \cup [3; +\infty) \end{cases}$.

Пересечением этих множеств является промежуток $(-\infty; -\frac{1}{2}]$.

Случай 2: Правая часть неотрицательна

Рассматриваем случай, когда $x-1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$. В этом случае обе части исходного неравенства неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства. Условие ОДЗ ($2x^2 - 5x - 3 \ge 0$) будет выполнено автоматически, так как $2x^2 - 5x - 3 > (x-1)^2 \ge 0$.

Решаем систему:

$\begin{cases} x - 1 \ge 0 \\ 2x^2 - 5x - 3 > (x - 1)^2 \end{cases}$

Первое неравенство дает нам $x \ge 1$.

Решаем второе неравенство:

$2x^2 - 5x - 3 > x^2 - 2x + 1$

$2x^2 - x^2 - 5x + 2x - 3 - 1 > 0$

$x^2 - 3x - 4 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$. Используя теорему Виета или формулу корней, получаем $x_1 = -1$ и $x_2 = 4$.

Так как ветви параболы $y = x^2 - 3x - 4$ направлены вверх, неравенство $x^2 - 3x - 4 > 0$ выполняется для $x \in (-\infty; -1) \cup (4; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений системы: $\begin{cases} x \ge 1 \\ x \in (-\infty; -1) \cup (4; +\infty) \end{cases}$.

Пересечением этих множеств является промежуток $(4; +\infty)$.

Объединение решений

Итоговое решение исходного неравенства является объединением решений, полученных в первом и втором случаях.

Объединяем множества: $(-\infty; -\frac{1}{2}] \cup (4; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{2}] \cup (4; +\infty)$.

5. Решить систему уравнений

$\begin{cases} \sqrt{x+1} - 2\sqrt{2-y} = 0, \\ \sqrt{x+1} + 3\sqrt{2-y} = 2,5. \end{cases}$

Дана система уравнений:

$$\begin{cases}\sqrt{x+1} - 2\sqrt{2-y} = 0 \\\sqrt{x+1} + 3\sqrt{2-y} = 2,5\end{cases}$$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменных $x$ и $y$. Выражения под знаком квадратного корня должны быть неотрицательными:

$$\begin{cases}x+1 \ge 0 \\2-y \ge 0\end{cases}\implies\begin{cases}x \ge -1 \\y \le 2\end{cases}$$

Для упрощения решения системы введем замену переменных. Пусть $a = \sqrt{x+1}$ и $b = \sqrt{2-y}$. По определению арифметического квадратного корня, $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

После замены исходная система примет вид:

$$\begin{cases}a - 2b = 0 \\a + 3b = 2,5\end{cases}$$

Получилась система линейных уравнений относительно $a$ и $b$. Из первого уравнения выразим $a$ через $b$:

$a = 2b$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(2b) + 3b = 2,5$

$5b = 2,5$

$b = \frac{2,5}{5} = 0,5$

Теперь найдем значение $a$, подставив найденное значение $b$ в выражение $a = 2b$:

$a = 2 \cdot 0,5 = 1$

Итак, мы нашли значения для наших новых переменных: $a=1$ и $b=0,5$. Оба значения неотрицательны, что соответствует условию.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$.

Из $a = \sqrt{x+1}$ и $a=1$ следует:

$\sqrt{x+1} = 1$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$x+1 = 1^2$

$x+1 = 1$

$x = 0$

Из $b = \sqrt{2-y}$ и $b=0,5$ следует:

$\sqrt{2-y} = 0,5$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$2-y = (0,5)^2$

$2-y = 0,25$

$y = 2 - 0,25$

$y = 1,75$

Получили решение $(0; 1,75)$. Проверим, соответствует ли это решение ОДЗ:

$x = 0$ (что больше или равно $-1$)

$y = 1,75$ (что меньше или равно $2$)

Оба условия выполняются, следовательно, найденное решение является верным.

Ответ: $(0; 1,75)$.