Страница 215 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

644. Расположить числа в порядке возрастания:

1) $0,3^\pi; 0,3^{0,5}; 0,3^{\frac{2}{3}}; 0,3^{3,1415};$

2) $\sqrt{2}^\pi; 1,9^\pi; \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^\pi; \pi^\pi;$

3) $5^{-2}; 5^{-0,7}; 5^{\frac{1}{3}}; \left(\frac{1}{5}\right)^{2,1};$

4) $0,5^{-\frac{2}{3}}; 1,3^{-\frac{2}{3}}; \pi^{-\frac{2}{3}}; \sqrt{2}^{-\frac{2}{3}}.$

1)

Чтобы расположить числа $0,3^\pi$, $0,3^{0,5}$, $0,3^{\frac{2}{3}}$, $0,3^{3,1415}$ в порядке возрастания, нужно сравнить их. Все числа представляют собой степени с одинаковым основанием $a = 0,3$.

Показательная функция $y = a^x$ при $0 < a < 1$ является убывающей. Это означает, что большему значению показателя степени соответствует меньшее значение функции. В нашем случае основание $a = 0,3$, что удовлетворяет условию $0 < a < 1$.

Следовательно, чтобы расположить данные числа в порядке возрастания, нужно расположить их показатели степени в порядке убывания.

Сравним показатели степени: $\pi$, $0,5$, $\frac{2}{3}$, $3,1415$.

Приведем их к десятичному виду для удобства сравнения:

• $\pi \approx 3,14159265...$
• $0,5$
• $\frac{2}{3} \approx 0,666...$
• $3,1415$

Расположим показатели в порядке убывания: $\pi > 3,1415 > \frac{2}{3} > 0,5$.

Так как функция $y = 0,3^x$ убывающая, то соответствующий порядок для исходных чисел будет обратным (возрастающим): $0,3^\pi < 0,3^{3,1415} < 0,3^{\frac{2}{3}} < 0,3^{0,5}$.

Ответ: $0,3^\pi; 0,3^{3,1415}; 0,3^{\frac{2}{3}}; 0,3^{0,5}$.

2)

Чтобы расположить числа $\sqrt{2^\pi}$, $1,9^\pi$, $(\frac{1}{\sqrt{2}})^\pi$, $\pi^\pi$ в порядке возрастания, нужно сравнить их. Все числа представляют собой степени с одинаковым показателем $\pi$.

Преобразуем первое число: $\sqrt{2^\pi} = (2^\pi)^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{\pi}{2}} = (2^{\frac{1}{2}})^\pi = (\sqrt{2})^\pi$.

Таким образом, мы сравниваем числа: $(\sqrt{2})^\pi$, $1,9^\pi$, $(\frac{1}{\sqrt{2}})^\pi$, $\pi^\pi$.

Степенная функция $y = a^x$ при положительном показателе $x > 0$ является возрастающей по основанию $a$ (для $a > 0$). В нашем случае показатель $x = \pi > 0$.

Это означает, что большему значению основания соответствует большее значение функции. Следовательно, чтобы расположить данные числа в порядке возрастания, нужно расположить их основания в порядке возрастания.

Сравним основания: $\sqrt{2}$, $1,9$, $\frac{1}{\sqrt{2}}$, $\pi$.

Приведем их к десятичному виду для удобства сравнения:

• $\sqrt{2} \approx 1,414$
• $1,9$
• $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,707$
• $\pi \approx 3,14159$

Расположим основания в порядке возрастания: $\frac{1}{\sqrt{2}} < \sqrt{2} < 1,9 < \pi$.

Так как функция $y = a^\pi$ возрастающая, то исходные числа в порядке возрастания будут расположены в том же порядке, что и их основания: $(\frac{1}{\sqrt{2}})^\pi < (\sqrt{2})^\pi < 1,9^\pi < \pi^\pi$.

Заменяя $(\sqrt{2})^\pi$ на исходное выражение $\sqrt{2^\pi}$, получаем окончательный ответ.

Ответ: $(\frac{1}{\sqrt{2}})^\pi; \sqrt{2^\pi}; 1,9^\pi; \pi^\pi$.

3)

Чтобы расположить числа $5^{-2}$, $5^{-0,7}$, $5^{\frac{1}{3}}$, $(\frac{1}{5})^{2,1}$ в порядке возрастания, приведем их к степеням с одинаковым основанием. В качестве общего основания выберем $5$.

Преобразуем последнее число: $(\frac{1}{5})^{2,1} = (5^{-1})^{2,1} = 5^{-2,1}$.

Теперь мы сравниваем числа: $5^{-2}$, $5^{-0,7}$, $5^{\frac{1}{3}}$, $5^{-2,1}$.

Показательная функция $y = a^x$ при $a > 1$ является возрастающей. Это означает, что большему значению показателя степени соответствует большее значение функции. В нашем случае основание $a = 5 > 1$.

Следовательно, чтобы расположить данные числа в порядке возрастания, нужно расположить их показатели степени в порядке возрастания.

Сравним показатели степени: $-2$, $-0,7$, $\frac{1}{3}$, $-2,1$.

Заметим, что $\frac{1}{3} \approx 0,333...$.

Расположим показатели в порядке возрастания: $-2,1 < -2 < -0,7 < \frac{1}{3}$.

Так как функция $y = 5^x$ возрастающая, то исходные числа в порядке возрастания будут расположены в том же порядке, что и их показатели: $5^{-2,1} < 5^{-2} < 5^{-0,7} < 5^{\frac{1}{3}}$.

Заменяя $5^{-2,1}$ на исходное выражение $(\frac{1}{5})^{2,1}$, получаем окончательный ответ.

Ответ: $(\frac{1}{5})^{2,1}; 5^{-2}; 5^{-0,7}; 5^{\frac{1}{3}}$.

4)

Чтобы расположить числа $0,5^{-\frac{2}{3}}$, $1,3^{-\frac{2}{3}}$, $\pi^{-\frac{2}{3}}$, $\sqrt{2}^{-\frac{2}{3}}$ в порядке возрастания, нужно сравнить их. Все числа представляют собой степени с одинаковым показателем $x = -\frac{2}{3}$.

Степенная функция $y = a^x$ при отрицательном показателе $x < 0$ является убывающей по основанию $a$ (для $a > 0$). В нашем случае показатель $x = -\frac{2}{3} < 0$.

Это означает, что большему значению основания соответствует меньшее значение функции. Следовательно, чтобы расположить данные числа в порядке возрастания, нужно расположить их основания в порядке убывания.

Сравним основания: $0,5$, $1,3$, $\pi$, $\sqrt{2}$.

Приведем их к десятичному виду для удобства сравнения:

• $0,5$
• $1,3$
• $\pi \approx 3,14159$
• $\sqrt{2} \approx 1,414$

Расположим основания в порядке возрастания: $0,5 < 1,3 < \sqrt{2} < \pi$.

Соответственно, в порядке убывания основания располагаются так: $\pi > \sqrt{2} > 1,3 > 0,5$.

Так как функция $y = a^{-\frac{2}{3}}$ убывающая, то исходные числа в порядке возрастания будут расположены в порядке, обратном порядку их оснований, то есть в порядке убывания оснований: $\pi^{-\frac{2}{3}} < \sqrt{2}^{-\frac{2}{3}} < 1,3^{-\frac{2}{3}} < 0,5^{-\frac{2}{3}}$.

Ответ: $\pi^{-\frac{2}{3}}; \sqrt{2}^{-\frac{2}{3}}; 1,3^{-\frac{2}{3}}; 0,5^{-\frac{2}{3}}$.

645. Выяснить, являются ли взаимно обратными функции:

1) $y=\frac{10-3x}{x-4}$ и $y=\frac{4x+10}{x+3}$;

2) $y=\frac{3x-6}{3x-1}$ и $y=\frac{6-x}{3-3x}$;

3) $y=5(1-x)^{-1}$ и $y=(5-x)\cdot x^{-1}$;

4) $y=\frac{2-x}{2+x}$ и $y=\frac{2(x-1)}{1+x}$.

Чтобы выяснить, являются ли две функции $f(x)$ и $g(x)$ взаимно обратными, нужно найти функцию, обратную к одной из них, и сравнить ее со второй. Если они совпадают, то функции взаимно обратные. Найдем обратную функцию для $y = f(x)$, для этого поменяем местами переменные $x$ и $y$ и выразим $y$ через $x$.

1) Даны функции $y = \frac{10-3x}{x-4}$ и $y = \frac{4x+10}{x+3}$.

Найдем функцию, обратную для $y = \frac{10-3x}{x-4}$.

1. Меняем $x$ и $y$ местами: $x = \frac{10-3y}{y-4}$.

2. Выразим $y$ из этого уравнения:

$x(y-4) = 10-3y$

$xy - 4x = 10-3y$

$xy + 3y = 4x+10$

$y(x+3) = 4x+10$

$y = \frac{4x+10}{x+3}$

Полученная обратная функция $y = \frac{4x+10}{x+3}$ совпадает со второй данной функцией. Следовательно, функции являются взаимно обратными.

Ответ: являются.

2) Даны функции $y = \frac{3x-6}{3x-1}$ и $y = \frac{6-x}{3-3x}$.

Найдем функцию, обратную для $y = \frac{3x-6}{3x-1}$.

1. Меняем $x$ и $y$ местами: $x = \frac{3y-6}{3y-1}$.

2. Выразим $y$ из этого уравнения:

$x(3y-1) = 3y-6$

$3xy - x = 3y-6$

$3xy - 3y = x-6$

$y(3x-3) = x-6$

$y = \frac{x-6}{3x-3}$

Сравним полученную функцию со второй данной функцией $y = \frac{6-x}{3-3x}$.

Преобразуем вторую функцию, умножив числитель и знаменатель на -1:

$y = \frac{6-x}{3-3x} = \frac{-(x-6)}{-(3x-3)} = \frac{x-6}{3x-3}$

Функции совпадают. Следовательно, данные функции являются взаимно обратными.

Ответ: являются.

3) Даны функции $y = 5(1-x)^{-1}$ и $y = (5-x) \cdot x^{-1}$.

Перепишем функции в более привычном виде:

$y = \frac{5}{1-x}$ и $y = \frac{5-x}{x}$.

Найдем функцию, обратную для $y = \frac{5}{1-x}$.

1. Меняем $x$ и $y$ местами: $x = \frac{5}{1-y}$.

2. Выразим $y$ из этого уравнения:

$x(1-y) = 5$

$x - xy = 5$

$xy = x-5$

$y = \frac{x-5}{x}$

Сравним полученную обратную функцию $y = \frac{x-5}{x}$ со второй данной функцией $y = \frac{5-x}{x}$.

$\frac{x-5}{x} \neq \frac{5-x}{x}$, так как $\frac{x-5}{x} = -\frac{5-x}{x}$.

Функции не совпадают. Следовательно, данные функции не являются взаимно обратными.

Ответ: не являются.

4) Даны функции $y = \frac{2-x}{2+x}$ и $y = \frac{2(x-1)}{1+x}$.

Найдем функцию, обратную для $y = \frac{2-x}{2+x}$.

1. Меняем $x$ и $y$ местами: $x = \frac{2-y}{2+y}$.

2. Выразим $y$ из этого уравнения:

$x(2+y) = 2-y$

$2x + xy = 2-y$

$xy + y = 2-2x$

$y(x+1) = 2(1-x)$

$y = \frac{2(1-x)}{1+x}$

Сравним полученную обратную функцию $y = \frac{2(1-x)}{1+x}$ со второй данной функцией $y = \frac{2(x-1)}{1+x}$.

$\frac{2(1-x)}{1+x} = \frac{-2(x-1)}{1+x}$.

Так как $\frac{-2(x-1)}{1+x} \neq \frac{2(x-1)}{1+x}$ (кроме случая $x=1$), функции не совпадают. Следовательно, данные функции не являются взаимно обратными.

Ответ: не являются.

646. Найти функцию, обратную к данной, её область определения и множество значений:

1) $y = 2 + \sqrt{x+2}$;

2) $y = 2 - \sqrt{x+4}$;

3) $y = \sqrt{3-x}-1$;

4) $y = \sqrt{1-x}+3$.

1) Дана функция $y = 2 + \sqrt{x+2}$.
Сначала найдем область определения $D(y)$ и множество значений $E(y)$ данной функции.
Область определения определяется условием неотрицательности подкоренного выражения:
$x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2$.
Следовательно, $D(y) = [-2; +\infty)$.
Для нахождения множества значений заметим, что $\sqrt{x+2} \ge 0$. Тогда:
$y = 2 + \sqrt{x+2} \ge 2 + 0 \implies y \ge 2$.
Следовательно, $E(y) = [2; +\infty)$.
Теперь найдем обратную функцию. Для этого выразим $x$ через $y$:
$y - 2 = \sqrt{x+2}$.
Возведем обе части в квадрат. Это преобразование будет равносильным при условии $y - 2 \ge 0$, то есть $y \ge 2$, что соответствует найденному множеству значений $E(y)$.
$(y-2)^2 = x+2$
$x = (y-2)^2 - 2$.
Чтобы получить обратную функцию, поменяем местами переменные $x$ и $y$:
$y = (x-2)^2 - 2$.
Область определения обратной функции совпадает с множеством значений исходной функции: $D(y_{обр}) = [2; +\infty)$.
Множество значений обратной функции совпадает с областью определения исходной функции: $E(y_{обр}) = [-2; +\infty)$.
Ответ: обратная функция $y = (x-2)^2 - 2$, её область определения $D(y) = [2; +\infty)$, множество значений $E(y) = [-2; +\infty)$.

2) Дана функция $y = 2 - \sqrt{x+4}$.
Найдем ее область определения $D(y)$ и множество значений $E(y)$.
$D(y)$: $x+4 \ge 0 \implies x \ge -4$. Итак, $D(y) = [-4; +\infty)$.
$E(y)$: $\sqrt{x+4} \ge 0 \implies -\sqrt{x+4} \le 0 \implies y = 2 - \sqrt{x+4} \le 2$. Итак, $E(y) = (-\infty; 2]$.
Теперь найдем обратную функцию. Выразим $x$ через $y$:
$\sqrt{x+4} = 2 - y$.
Возведем в квадрат обе части, при условии $2-y \ge 0$, то есть $y \le 2$, что соответствует $E(y)$.
$x+4 = (2-y)^2$
$x = (2-y)^2 - 4$. Поскольку $(2-y)^2 = (y-2)^2$, можно записать $x = (y-2)^2 - 4$.
Меняем местами $x$ и $y$:
$y = (x-2)^2 - 4$.
Область определения обратной функции - это множество значений исходной: $D(y_{обр}) = (-\infty; 2]$.
Множество значений обратной функции - это область определения исходной: $E(y_{обр}) = [-4; +\infty)$.
Ответ: обратная функция $y=(x-2)^2-4$, её область определения $D(y)=(-\infty; 2]$, множество значений $E(y)=[-4; +\infty)$.

3) Дана функция $y = \sqrt{3-x} - 1$.
Найдем ее область определения $D(y)$ и множество значений $E(y)$.
$D(y)$: $3-x \ge 0 \implies x \le 3$. Итак, $D(y) = (-\infty; 3]$.
$E(y)$: $\sqrt{3-x} \ge 0 \implies y = \sqrt{3-x} - 1 \ge -1$. Итак, $E(y) = [-1; +\infty)$.
Теперь найдем обратную функцию. Выразим $x$ через $y$:
$y+1 = \sqrt{3-x}$.
Возведем в квадрат обе части, при условии $y+1 \ge 0$, то есть $y \ge -1$, что соответствует $E(y)$.
$(y+1)^2 = 3-x$
$x = 3 - (y+1)^2$.
Меняем местами $x$ и $y$:
$y = 3 - (x+1)^2$.
Область определения обратной функции - это множество значений исходной: $D(y_{обр}) = [-1; +\infty)$.
Множество значений обратной функции - это область определения исходной: $E(y_{обр}) = (-\infty; 3]$.
Ответ: обратная функция $y=3-(x+1)^2$, её область определения $D(y)=[-1; +\infty)$, множество значений $E(y)=(-\infty; 3]$.

4) Дана функция $y = \sqrt{1-x} + 3$.
Найдем ее область определения $D(y)$ и множество значений $E(y)$.
$D(y)$: $1-x \ge 0 \implies x \le 1$. Итак, $D(y) = (-\infty; 1]$.
$E(y)$: $\sqrt{1-x} \ge 0 \implies y = \sqrt{1-x} + 3 \ge 3$. Итак, $E(y) = [3; +\infty)$.
Теперь найдем обратную функцию. Выразим $x$ через $y$:
$y-3 = \sqrt{1-x}$.
Возведем в квадрат обе части, при условии $y-3 \ge 0$, то есть $y \ge 3$, что соответствует $E(y)$.
$(y-3)^2 = 1-x$
$x = 1 - (y-3)^2$.
Меняем местами $x$ и $y$:
$y = 1 - (x-3)^2$.
Область определения обратной функции - это множество значений исходной: $D(y_{обр}) = [3; +\infty)$.
Множество значений обратной функции - это область определения исходной: $E(y_{обр}) = (-\infty; 1]$.
Ответ: обратная функция $y=1-(x-3)^2$, её область определения $D(y)=[3; +\infty)$, множество значений $E(y)=(-\infty; 1]$.

647. Найти область определения функции:

1) $y = \sqrt{x^3 - 3x^2 + 2x}$;

2) $y = \sqrt{3x + 2x^2 - x^3}$;

3) $y = (x^3 - x^2)^{\frac{3}{5}};

4) $y = (x^4 + x^3)^{-\frac{3}{4}};

5) $y = \frac{3}{\sqrt[6]{3x^2 + 14x + 8}};$

6) $y = \frac{1}{\sqrt[3]{x - \sqrt{x + 2}}}.$

1) Область определения функции $y = \sqrt{x^3 - 3x^2 + 2x}$ задается условием неотрицательности подкоренного выражения:
$x^3 - 3x^2 + 2x \ge 0$
Разложим левую часть неравенства на множители. Сначала вынесем $x$ за скобки:
$x(x^2 - 3x + 2) \ge 0$
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно 2. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.
Тогда неравенство можно записать в виде:
$x(x-1)(x-2) \ge 0$
Решим это неравенство методом интервалов. Корни $0, 1, 2$ разбивают числовую ось на интервалы $(-\infty, 0)$, $(0, 1)$, $(1, 2)$, $(2, \infty)$. Определим знак выражения в каждом интервале:
- Если $x > 2$, все три множителя положительны, произведение положительно.
- Если $1 < x < 2$, множитель $(x-2)$ отрицателен, остальные положительны, произведение отрицательно.
- Если $0 < x < 1$, множители $(x-1)$ и $(x-2)$ отрицательны, $x$ положителен, произведение положительно.
- Если $x < 0$, все три множителя отрицательны, произведение отрицательно.
Поскольку неравенство нестрогое ($\ge 0$), в область определения входят также и сами корни. Таким образом, решением является объединение промежутков, где выражение положительно или равно нулю.
Ответ: $D(y) = [0, 1] \cup [2, \infty)$.

2) Область определения функции $y = \sqrt{3x + 2x^2 - x^3}$ задается условием:
$3x + 2x^2 - x^3 \ge 0$
Вынесем $x$ за скобки и умножим неравенство на $-1$, изменив знак на противоположный:
$-x(x^2 - 2x - 3) \ge 0$
$x(x^2 - 2x - 3) \le 0$
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, сумма корней 2, произведение -3. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.
Неравенство принимает вид:
$x(x-3)(x+1) \le 0$
Решим методом интервалов. Корни $-1, 0, 3$ разбивают числовую ось на интервалы $(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$, $(0, 3)$, $(3, \infty)$. Определим знак выражения:
- Если $x > 3$, все множители положительны, произведение положительно.
- Если $0 < x < 3$, множитель $(x-3)$ отрицателен, произведение отрицательно.
- Если $-1 < x < 0$, множители $x$ и $(x-3)$ отрицательны, произведение положительно.
- Если $x < -1$, все множители отрицательны, произведение отрицательно.
Нас интересуют промежутки, где выражение отрицательно или равно нулю.
Ответ: $D(y) = (-\infty, -1] \cup [0, 3]$.

3) Функция $y = (x^3 - x^2)^{\frac{3}{5}}$ может быть представлена в виде $y = \sqrt[5]{(x^3 - x^2)^3}$.
Подкоренное выражение $x^3 - x^2$ является многочленом, который определен для любых действительных значений $x$.
Корень пятой степени (нечетной степени) извлекается из любого действительного числа.
Следовательно, никаких ограничений на область определения функции нет.
Ответ: $D(y) = (-\infty, \infty)$.

4) Функция $y = (x^4 + x^3)^{-\frac{3}{4}}$ может быть представлена в виде $y = \frac{1}{(x^4 + x^3)^{\frac{3}{4}}} = \frac{1}{\sqrt[4]{(x^4 + x^3)^3}}$.
Область определения задается двумя условиями: выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным, и знаменатель не должен быть равен нулю. Объединяя эти условия, получаем, что выражение под корнем должно быть строго положительным:
$x^4 + x^3 > 0$
Вынесем $x^3$ за скобки:
$x^3(x+1) > 0$
Решим методом интервалов. Корни левой части: $x=0$ и $x=-1$.
Интервалы: $(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$, $(0, \infty)$.
- Если $x > 0$, оба множителя положительны, произведение положительно.
- Если $-1 < x < 0$, $x^3$ отрицателен, $(x+1)$ положителен, произведение отрицательно.
- Если $x < -1$, оба множителя отрицательны, произведение положительно.
Так как неравенство строгое, сами корни не входят в решение.
Ответ: $D(y) = (-\infty, -1) \cup (0, \infty)$.

5) Для функции $y = \frac{3}{\sqrt[6]{3x^2 + 14x + 8}}$ выражение под корнем шестой степени (четной) в знаменателе должно быть строго положительным:
$3x^2 + 14x + 8 > 0$
Это квадратичное неравенство. Найдем корни соответствующего уравнения $3x^2 + 14x + 8 = 0$ с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 14^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 196 - 96 = 100 = 10^2$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 \pm 10}{6}$
$x_1 = \frac{-14 - 10}{6} = \frac{-24}{6} = -4$
$x_2 = \frac{-14 + 10}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$
Парабола $y = 3x^2 + 14x + 8$ имеет ветви, направленные вверх (т.к. $a=3 > 0$), поэтому она принимает положительные значения вне интервала между корнями.
Ответ: $D(y) = (-\infty, -4) \cup (-\frac{2}{3}, \infty)$.

6) Область определения функции $y = \frac{1}{\sqrt[3]{x} - \sqrt{x+2}}$ определяется двумя условиями:
1. Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным: $x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$.
2. Знаменатель не должен равняться нулю: $\sqrt[3]{x} - \sqrt{x+2} \ne 0$.
Рассмотрим уравнение $\sqrt[3]{x} = \sqrt{x+2}$.
Правая часть уравнения, $\sqrt{x+2}$, по определению арифметического корня, неотрицательна. Следовательно, для существования решения левая часть также должна быть неотрицательной: $\sqrt[3]{x} \ge 0$, что эквивалентно $x \ge 0$.
Таким образом, мы ищем решения уравнения при условии $x \ge 0$.
Возведем обе части уравнения в шестую степень, чтобы избавиться от корней:
$(\sqrt[3]{x})^6 = (\sqrt{x+2})^6$
$x^2 = (x+2)^3$
$x^2 = x^3 + 3x^2(2) + 3x(2^2) + 2^3$
$x^2 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$
$x^3 + 5x^2 + 12x + 8 = 0$
При $x \ge 0$ все слагаемые в левой части неотрицательны ($x^3 \ge 0, 5x^2 \ge 0, 12x \ge 0$), а свободный член равен 8. Их сумма всегда строго больше нуля.
Следовательно, это уравнение не имеет решений при $x \ge 0$, а значит, и вообще не имеет решений.
Это означает, что знаменатель функции никогда не обращается в ноль.
Единственным ограничением остается условие $x \ge -2$.
Ответ: $D(y) = [-2, \infty)$.

648. Построить график функции:

1) $y = \frac{3x - 1}{x + 3}$;

2) $y = \frac{4x - 3}{2x - 1}$;

3) $y = \sqrt{(x - 2)(x + 3)};$

4) $y = \sqrt{2x^2 + 5x - 3};$

5) $y = \frac{1}{(x + 1)(x + 2)};$

6) $y = \frac{1}{x^2 - 7x - 8}.$

1) $y = \frac{3x-1}{x+3}$

Это дробно-рациональная функция, график которой — гипербола. Для построения графика выполним следующие шаги:

• Преобразование функции. Выделим целую часть дроби:
  $y = \frac{3x - 1}{x + 3} = \frac{3(x + 3) - 9 - 1}{x + 3} = \frac{3(x + 3)}{x + 3} - \frac{10}{x + 3} = 3 - \frac{10}{x + 3}$.
  Итоговая форма: $y = -\frac{10}{x+3} + 3$.
• Анализ преобразований. График этой функции получается из графика базовой гиперболы $y = -\frac{10}{x}$ с помощью двух сдвигов:
  1. Сдвиг на 3 единицы влево вдоль оси Ox.
  2. Сдвиг на 3 единицы вверх вдоль оси Oy.
• Асимптоты.
  • Вертикальная асимптота находится из условия, что знаменатель равен нулю: $x + 3 = 0 \implies x = -3$.
  • Горизонтальная асимптота: $y = 3$.
• Точки пересечения с осями координат.
  • С осью Oy (при $x=0$): $y = \frac{3 \cdot 0 - 1}{0 + 3} = -\frac{1}{3}$. Точка пересечения — $(0, -1/3)$.
  • С осью Ox (при $y=0$): $0 = \frac{3x - 1}{x + 3} \implies 3x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{3}$. Точка пересечения — $(1/3, 0)$.
• Построение. На координатной плоскости строим асимптоты $x=-3$ и $y=3$. Отмечаем точки $(0, -1/3)$ и $(1/3, 0)$. Так как коэффициент $k=-10$ отрицательный, ветви гиперболы располагаются во второй и четвертой четвертях относительно новых осей (асимптот). Проводим ветви через отмеченные точки, приближая их к асимптотам.

Ответ: Графиком является гипербола с вертикальной асимптотой $x=-3$ и горизонтальной асимптотой $y=3$. Ветви расположены во II и IV координатных четвертях относительно асимптот и проходят через точки $(1/3, 0)$ и $(0, -1/3)$.

2) $y = \frac{4x-3}{2x-1}$

Это также дробно-рациональная функция (гипербола). Алгоритм построения аналогичен предыдущему пункту.

• Преобразование функции. Выделим целую часть:
  $y = \frac{4x - 3}{2x - 1} = \frac{2(2x - 1) + 2 - 3}{2x - 1} = \frac{2(2x - 1)}{2x - 1} - \frac{1}{2x - 1} = 2 - \frac{1}{2x - 1}$.
  Итоговая форма: $y = -\frac{1}{2x-1} + 2$.
• Асимптоты.
  • Вертикальная асимптота: $2x - 1 = 0 \implies x = 1/2$.
  • Горизонтальная асимптота: $y = 2$.
• Точки пересечения с осями координат.
  • С осью Oy (при $x=0$): $y = \frac{4 \cdot 0 - 3}{2 \cdot 0 - 1} = \frac{-3}{-1} = 3$. Точка $(0, 3)$.
  • С осью Ox (при $y=0$): $0 = \frac{4x - 3}{2x - 1} \implies 4x - 3 = 0 \implies x = \frac{3}{4}$. Точка $(3/4, 0)$.
• Построение. Строим асимптоты $x=1/2$ и $y=2$. Отмечаем точки $(0, 3)$ и $(3/4, 0)$. Ветви гиперболы располагаются во II и IV четвертях относительно асимптот. Проводим ветви через точки, приближая их к асимптотам.

Ответ: Графиком является гипербола с вертикальной асимптотой $x=1/2$ и горизонтальной асимптотой $y=2$. Ветви расположены во II и IV координатных четвертях относительно асимптот и проходят через точки $(3/4, 0)$ и $(0, 3)$.

3) $y = \sqrt{(x-2)(x+3)}$

Это иррациональная функция. График представляет собой верхнюю часть гиперболы.

• Область определения функции (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
  $(x-2)(x+3) \ge 0$.
  Решая методом интервалов, получаем: $x \in (-\infty, -3] \cup [2, +\infty)$.
• Преобразование. Возведем обе части уравнения в квадрат (учитывая, что $y \ge 0$):
  $y^2 = (x-2)(x+3) = x^2 + x - 6$.
  Выделим полный квадрат по $x$:
  $y^2 = (x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4}) - \frac{1}{4} - 6 = (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{25}{4}$.
  $(x + 0.5)^2 - y^2 = (2.5)^2$. Это уравнение гиперболы с центром в точке $(-0.5, 0)$.
• Ключевые точки.
  • Пересечение с осью Ox ($y=0$): $(x-2)(x+3) = 0 \implies x=2, x=-3$. Точки $(-3, 0)$ и $(2, 0)$. Это "начальные" точки графика.
  • Функция всегда неотрицательна, $y \ge 0$, поэтому график лежит в верхней полуплоскости.
• Наклонные асимптоты. При $x \to \pm\infty$ график приближается к прямым:
  • $y = x + 0.5$ при $x \to +\infty$.
  • $y = -x - 0.5$ при $x \to -\infty$.
• Построение. Рисуем асимптоты $y = x+0.5$ и $y = -x-0.5$. Отмечаем точки $(-3,0)$ и $(2,0)$. Из этих точек проводим две ветви графика вверх, приближая их к соответствующим асимптотам.

Ответ: График — верхняя часть гиперболы, расположенная в верхней полуплоскости. Он состоит из двух ветвей, начинающихся в точках $(-3, 0)$ и $(2, 0)$ и асимптотически приближающихся к прямым $y = x + 0.5$ и $y = -x - 0.5$.

4) $y = \sqrt{2x^2+5x-3}$

Функция аналогична предыдущей.

• Область определения (ОДЗ). $2x^2+5x-3 \ge 0$.
  Корни квадратного трехчлена $x_1 = -3, x_2 = 1/2$.
  Так как парабола $2x^2+5x-3$ имеет ветви вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -3] \cup [1/2, +\infty)$.
• Ключевые точки. Пересечение с осью Ox: $(-3, 0)$ и $(1/2, 0)$. График лежит в верхней полуплоскости ($y \ge 0$).
• Наклонные асимптоты.
  • При $x \to +\infty$: $y = \sqrt{2}x + \frac{5\sqrt{2}}{4}$.
  • При $x \to -\infty$: $y = -\sqrt{2}x - \frac{5\sqrt{2}}{4}$.
• Построение. Отмечаем точки $(-3,0)$ и $(1/2,0)$. Рисуем асимптоты (учитывая, что $\sqrt{2} \approx 1.41$ и $\frac{5\sqrt{2}}{4} \approx 1.77$). Из отмеченных точек проводим вверх две ветви, приближая их к асимптотам.

Ответ: График — верхняя часть гиперболы, состоящая из двух ветвей. Ветви начинаются в точках $(-3, 0)$ и $(1/2, 0)$ и приближаются к наклонным асимптотам $y = \sqrt{2}x + \frac{5\sqrt{2}}{4}$ и $y = -\sqrt{2}x - \frac{5\sqrt{2}}{4}$.

5) $y = \frac{1}{(x+1)(x+2)}$

Это рациональная функция.

• Область определения. Знаменатель не равен нулю, поэтому $x \neq -1$ и $x \neq -2$.
• Асимптоты.
  • Вертикальные: $x = -1$ и $x = -2$.
  • Горизонтальная: $y = 0$ (т.к. степень числителя (0) меньше степени знаменателя (2)).
• Точки пересечения с осями.
  • С осью Ox: нет.
  • С осью Oy ($x=0$): $y = \frac{1}{(1)(2)} = 1/2$. Точка $(0, 1/2)$.
• Экстремумы. Производная $y' = -\frac{2x+3}{((x+1)(x+2))^2}$ равна нулю при $x = -1.5$. Это точка локального максимума. Значение функции в этой точке $y(-1.5) = -4$. Точка $(-1.5, -4)$.
• Построение.
  1. Рисуем асимптоты $x=-2, x=-1, y=0$.
  2. На интервале $(-\infty, -2)$ график находится над осью Ox, приближаясь к $y=0$ слева и уходя на $+\infty$ при приближении к $x=-2$.
  3. На интервале $(-2, -1)$ график образует "колокол" с вершиной в точке $(-1.5, -4)$, ветви которого уходят на $-\infty$ у асимптот.
  4. На интервале $(-1, +\infty)$ график приходит от $+\infty$ у асимптоты $x=-1$, проходит через точку $(0, 1/2)$ и приближается к $y=0$ справа.

Ответ: График функции имеет три ветви, разделенные вертикальными асимптотами $x=-2$ и $x=-1$. Горизонтальная асимптота - $y=0$. На среднем интервале $(-2, -1)$ есть локальный максимум в точке $(-1.5, -4)$. График пересекает ось Oy в точке $(0, 1/2)$.

6) $y = \frac{1}{x^2-7x-8}$

Функция аналогична предыдущей.

• Преобразование. Разложим знаменатель на множители: $x^2-7x-8 = (x-8)(x+1)$.
  $y = \frac{1}{(x-8)(x+1)}$.
• Область определения. $x \neq 8$ и $x \neq -1$.
• Асимптоты.
  • Вертикальные: $x = -1$ и $x = 8$.
  • Горизонтальная: $y = 0$.
• Точки пересечения с осями.
  • С осью Ox: нет.
  • С осью Oy ($x=0$): $y = \frac{1}{-8} = -1/8$. Точка $(0, -1/8)$.
• Экстремумы. Производная равна нулю при $x=3.5$. Это точка локального максимума $y(3.5) = \frac{1}{-20.25} = -\frac{4}{81}$. Точка $(3.5, -4/81)$.
• Построение. Аналогично предыдущему пункту, строим асимптоты $x=-1, x=8, y=0$. Левая ветвь ($x<-1$) и правая ветвь ($x>8$) находятся над осью Ox. Центральная ветвь ($-1<x<8$) находится под осью Ox, проходит через точку $(0, -1/8)$ и имеет максимум в $(3.5, -4/81)$.

Ответ: График имеет три ветви, разделенные асимптотами $x=-1$ и $x=8$. Горизонтальная асимптота $y=0$. На интервале $(-1, 8)$ имеется локальный максимум в точке $(3.5, -4/81)$, и график пересекает ось Oy в точке $(0, -1/8)$.

Решить уравнение (649—650).

649. 1) $ \sqrt{x-4} = \sqrt{x-3} - \sqrt{2x-1} $

2) $ 2\sqrt{x+3} - \sqrt{2x+7} = \sqrt{x} $

3) $ \sqrt{x-3} = \sqrt{2x+1} - \sqrt{x+4} $

4) $ \sqrt{9-2x} = 2\sqrt{4-x} - \sqrt{1-x} $

1) $\sqrt{x-4} = \sqrt{x-3} - \sqrt{2x-1}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Все выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:

$x-4 \ge 0 \implies x \ge 4$

$x-3 \ge 0 \implies x \ge 3$

$2x-1 \ge 0 \implies x \ge 0.5$

Чтобы все три условия выполнялись одновременно, необходимо, чтобы $x \ge 4$.

Кроме того, левая часть уравнения, $\sqrt{x-4}$, является неотрицательной. Следовательно, и правая часть уравнения также должна быть неотрицательной:

$\sqrt{x-3} - \sqrt{2x-1} \ge 0$

$\sqrt{x-3} \ge \sqrt{2x-1}$

Так как обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат:

$x-3 \ge 2x-1$

$-3+1 \ge 2x-x$

$-2 \ge x$, или $x \le -2$.

Итак, мы имеем два условия, которые должны выполняться одновременно: $x \ge 4$ и $x \le -2$. Эти условия противоречат друг другу, поскольку не существует числа, которое было бы одновременно больше или равно 4 и меньше или равно -2. Следовательно, уравнение не имеет решений в области действительных чисел.

Ответ: нет решений.

2) $2\sqrt{x+3} - \sqrt{2x+7} = \sqrt{x}$

Найдем ОДЗ:

$x+3 \ge 0 \implies x \ge -3$

$2x+7 \ge 0 \implies x \ge -3.5$

$x \ge 0$

Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \ge 0$.

Перенесем член $-\sqrt{2x+7}$ в правую часть, чтобы при возведении в квадрат было меньше слагаемых:

$2\sqrt{x+3} = \sqrt{x} + \sqrt{2x+7}$

Поскольку обе части уравнения неотрицательны при $x \ge 0$, возведем их в квадрат:

$(2\sqrt{x+3})^2 = (\sqrt{x} + \sqrt{2x+7})^2$

$4(x+3) = x + 2\sqrt{x(2x+7)} + 2x+7$

$4x+12 = 3x+7 + 2\sqrt{2x^2+7x}$

Уединим оставшийся корень:

$4x - 3x + 12 - 7 = 2\sqrt{2x^2+7x}$

$x+5 = 2\sqrt{2x^2+7x}$

Для $x$ из ОДЗ ($x \ge 0$) левая часть $x+5$ всегда положительна. Снова возведем в квадрат:

$(x+5)^2 = (2\sqrt{2x^2+7x})^2$

$x^2+10x+25 = 4(2x^2+7x)$

$x^2+10x+25 = 8x^2+28x$

$7x^2+18x-25 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = 18^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-25) = 324 + 700 = 1024 = 32^2$

$x = \frac{-18 \pm \sqrt{1024}}{2 \cdot 7} = \frac{-18 \pm 32}{14}$

$x_1 = \frac{-18+32}{14} = \frac{14}{14} = 1$

$x_2 = \frac{-18-32}{14} = \frac{-50}{14} = -\frac{25}{7}$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$).

Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x_2 = -25/7$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $-25/7 < 0$.

Проверим корень $x=1$ подстановкой в исходное уравнение:

$2\sqrt{1+3} - \sqrt{2(1)+7} = 2\sqrt{4} - \sqrt{9} = 2 \cdot 2 - 3 = 4-3=1$.

Правая часть: $\sqrt{1} = 1$.

$1=1$. Равенство верно.

Ответ: $1$.

3) $\sqrt{x-3} = \sqrt{2x+1} - \sqrt{x+4}$

Найдем ОДЗ:

$x-3 \ge 0 \implies x \ge 3$

$2x+1 \ge 0 \implies x \ge -0.5$

$x+4 \ge 0 \implies x \ge -4$

Общая ОДЗ: $x \ge 3$.

Проверим условие неотрицательности правой части: $\sqrt{2x+1} - \sqrt{x+4} \ge 0 \implies \sqrt{2x+1} \ge \sqrt{x+4} \implies 2x+1 \ge x+4 \implies x \ge 3$. Это условие совпадает с ОДЗ, поэтому дополнительных ограничений не возникает.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x-3})^2 = (\sqrt{2x+1} - \sqrt{x+4})^2$

$x-3 = (2x+1) - 2\sqrt{(2x+1)(x+4)} + (x+4)$

$x-3 = 3x+5 - 2\sqrt{2x^2+8x+x+4}$

$x-3 = 3x+5 - 2\sqrt{2x^2+9x+4}$

Уединим корень:

$2\sqrt{2x^2+9x+4} = 3x+5 - (x-3)$

$2\sqrt{2x^2+9x+4} = 2x+8$

$\sqrt{2x^2+9x+4} = x+4$

Для $x \ge 3$ правая часть $x+4$ положительна. Возводим в квадрат:

$2x^2+9x+4 = (x+4)^2$

$2x^2+9x+4 = x^2+8x+16$

$x^2+x-12=0$

По теореме Виета находим корни: $x_1 = 3$, $x_2 = -4$.

Проверяем корни по ОДЗ ($x \ge 3$).

Корень $x_1=3$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x_2=-4$ не удовлетворяет ОДЗ.

Проверим корень $x=3$ подстановкой:

$\sqrt{3-3} = 0$.

$\sqrt{2(3)+1} - \sqrt{3+4} = \sqrt{7} - \sqrt{7} = 0$.

$0=0$. Равенство верно.

Ответ: $3$.

4) $\sqrt{9-2x} = 2\sqrt{4-x} - \sqrt{1-x}$

Найдем ОДЗ:

$9-2x \ge 0 \implies x \le 4.5$

$4-x \ge 0 \implies x \le 4$

$1-x \ge 0 \implies x \le 1$

Общая ОДЗ: $x \le 1$.

Проверим неотрицательность правой части: $2\sqrt{4-x} - \sqrt{1-x} \ge 0 \implies 2\sqrt{4-x} \ge \sqrt{1-x} \implies 4(4-x) \ge 1-x \implies 16-4x \ge 1-x \implies 15 \ge 3x \implies x \le 5$. Это условие выполняется для всех $x$ из ОДЗ ($x \le 1$).

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{9-2x})^2 = (2\sqrt{4-x} - \sqrt{1-x})^2$

$9-2x = 4(4-x) - 2 \cdot 2\sqrt{4-x} \cdot \sqrt{1-x} + (1-x)$

$9-2x = 16-4x - 4\sqrt{(4-x)(1-x)} + 1-x$

$9-2x = 17-5x - 4\sqrt{x^2-5x+4}$

Уединим корень:

$4\sqrt{x^2-5x+4} = 17-5x - (9-2x)$

$4\sqrt{x^2-5x+4} = 8-3x$

Для $x \le 1$ правая часть $8-3x$ положительна. Возводим в квадрат:

$(4\sqrt{x^2-5x+4})^2 = (8-3x)^2$

$16(x^2-5x+4) = 64-48x+9x^2$

$16x^2-80x+64 = 64-48x+9x^2$

$7x^2-32x=0$

$x(7x-32)=0$

Отсюда $x_1=0$ или $7x-32=0 \implies x_2 = 32/7$.

Проверяем корни по ОДЗ ($x \le 1$).

Корень $x_1=0$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x_2=32/7 \approx 4.57$ не удовлетворяет ОДЗ.

Проверим корень $x=0$ подстановкой:

$\sqrt{9-2(0)} = \sqrt{9} = 3$.

$2\sqrt{4-0} - \sqrt{1-0} = 2\sqrt{4} - \sqrt{1} = 2 \cdot 2 - 1 = 3$.

$3=3$. Равенство верно.

Ответ: $0$.

650. 1) $\sqrt{x+4}-3\sqrt[4]{x+4}+2=0;$

2) $\sqrt{x-3}=3\sqrt[4]{x-3}+4;$

3) $\sqrt[6]{1-x}-5\sqrt[3]{1-x}=-6;$

4) $x^2+3x+\sqrt{x^2+3x}=2;$

5) $\sqrt{x+6-4\sqrt{x+2}}+\sqrt{11+x-6\sqrt{x+2}}=1.$

Дано уравнение: $\sqrt{x+4} - 3\sqrt[4]{x+4} + 2 = 0$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным: $x+4 \ge 0$, следовательно, $x \ge -4$.

Введем замену переменной. Пусть $y = \sqrt[4]{x+4}$. Тогда $y^2 = (\sqrt[4]{x+4})^2 = \sqrt{x+4}$. Так как корень четвертой степени является арифметическим, должно выполняться условие $y \ge 0$.

После подстановки замены в исходное уравнение, получаем квадратное уравнение относительно $y$: $y^2 - 3y + 2 = 0$.

Решим это уравнение. По теореме Виета, его корни $y_1=1$ и $y_2=2$. Оба корня удовлетворяют условию $y \ge 0$, поэтому оба являются действительными решениями для $y$.

Выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.

1. При $y=1$: $\sqrt[4]{x+4} = 1$. Возведем обе части уравнения в четвертую степень: $x+4 = 1^4 \implies x+4 = 1 \implies x_1 = -3$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($-3 \ge -4$).

2. При $y=2$: $\sqrt[4]{x+4} = 2$. Возведем обе части уравнения в четвертую степень: $x+4 = 2^4 \implies x+4 = 16 \implies x_2 = 12$. Этот корень также удовлетворяет ОДЗ ($12 \ge -4$).

Ответ: $x = -3, x = 12$.

Дано уравнение: $\sqrt{x-3} = 3\sqrt[4]{x-3} + 4$.

Перенесем все члены в левую часть: $\sqrt{x-3} - 3\sqrt[4]{x-3} - 4 = 0$.

ОДЗ: $x-3 \ge 0$, откуда $x \ge 3$.

Сделаем замену. Пусть $y = \sqrt[4]{x-3}$. Тогда $y^2 = \sqrt{x-3}$. Условие для $y$: $y \ge 0$.

Уравнение принимает вид: $y^2 - 3y - 4 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение, например, по теореме Виета: произведение корней равно -4, сумма равна 3. Корни: $y_1 = 4$ и $y_2 = -1$.

Согласно условию $y \ge 0$, корень $y_2 = -1$ является посторонним. Таким образом, единственное решение для $y$ - это $y_1 = 4$.

Выполним обратную замену: $\sqrt[4]{x-3} = 4$.

Возведем обе части в четвертую степень: $x-3 = 4^4 \implies x-3 = 256 \implies x = 259$.

Найденный корень $x=259$ удовлетворяет ОДЗ ($259 \ge 3$).

Ответ: $x = 259$.

Дано уравнение: $\sqrt[6]{1-x} - 5\sqrt[3]{1-x} = -6$.

Перенесем все члены в правую часть для удобства: $5\sqrt[3]{1-x} - \sqrt[6]{1-x} - 6 = 0$.

ОДЗ: $1-x \ge 0$, откуда $x \le 1$.

Введем замену. Пусть $y = \sqrt[6]{1-x}$. Тогда $y^2 = (\sqrt[6]{1-x})^2 = \sqrt[3]{1-x}$. Условие для $y$: $y \ge 0$.

Уравнение принимает вид: $5y^2 - y - 6 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4(5)(-6) = 1 + 120 = 121 = 11^2$. Корни: $y = \frac{1 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 5} = \frac{1 \pm 11}{10}$. $y_1 = \frac{1+11}{10} = \frac{12}{10} = 1.2$. $y_2 = \frac{1-11}{10} = -1$.

Так как $y \ge 0$, корень $y_2 = -1$ является посторонним. Остается $y_1 = 1.2$.

Выполним обратную замену: $\sqrt[6]{1-x} = 1.2 = \frac{6}{5}$.

Возведем обе части в шестую степень: $1-x = (\frac{6}{5})^6 = \frac{46656}{15625}$. $x = 1 - \frac{46656}{15625} = \frac{15625 - 46656}{15625} = -\frac{31031}{15625}$.

Полученное значение $x$ является отрицательным, следовательно, удовлетворяет ОДЗ ($x \le 1$).

Ответ: $x = -\frac{31031}{15625}$.

Дано уравнение: $x^2 + 3x + \sqrt{x^2+3x} = 2$.

ОДЗ: $x^2+3x \ge 0$, что равносильно $x(x+3) \ge 0$. Решением этого неравенства является объединение промежутков $x \in (-\infty, -3] \cup [0, +\infty)$.

Введем замену. Пусть $y = \sqrt{x^2+3x}$. Тогда $y^2 = x^2+3x$. Условие для $y$: $y \ge 0$.

Уравнение принимает вид: $y^2 + y = 2$, или $y^2 + y - 2 = 0$.

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $y_1=1$ и $y_2=-2$.

Так как $y \ge 0$, корень $y_2 = -2$ является посторонним. Остается $y_1 = 1$.

Выполним обратную замену: $\sqrt{x^2+3x} = 1$.

Возведем обе части в квадрат: $x^2+3x = 1$, или $x^2+3x-1=0$.

Решим это квадратное уравнение через дискриминант: $D = 3^2 - 4(1)(-1) = 9+4=13$. Корни: $x = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}$.

Проверим, удовлетворяют ли корни ОДЗ. 1. $x_1 = \frac{-3+\sqrt{13}}{2}$. Так как $3 < \sqrt{13} < 4$, то $0 < -3+\sqrt{13} < 1$, и $0 < x_1 < 0.5$. Этот корень входит в ОДЗ ($x \ge 0$). 2. $x_2 = \frac{-3-\sqrt{13}}{2}$. Так как $3 < \sqrt{13} < 4$, то $-7 < -3-\sqrt{13} < -6$, и $-3.5 < x_2 < -3$. Этот корень входит в ОДЗ ($x \le -3$).

Оба корня являются решениями.

Ответ: $x = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}$.

Дано уравнение: $\sqrt{x+6-4\sqrt{x+2}} + \sqrt{11+x-6\sqrt{x+2}} = 1$.

ОДЗ: $x+2 \ge 0$, то есть $x \ge -2$.

Упростим выражения под знаками внешних корней, выделив в них полные квадраты по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Для первого подкоренного выражения: $x+6-4\sqrt{x+2} = (x+2) - 4\sqrt{x+2} + 4 = (\sqrt{x+2})^2 - 2\cdot\sqrt{x+2}\cdot 2 + 2^2 = (\sqrt{x+2} - 2)^2$. Следовательно, $\sqrt{x+6-4\sqrt{x+2}} = \sqrt{(\sqrt{x+2}-2)^2} = |\sqrt{x+2}-2|$.

Для второго подкоренного выражения: $11+x-6\sqrt{x+2} = (x+2) - 6\sqrt{x+2} + 9 = (\sqrt{x+2})^2 - 2\cdot\sqrt{x+2}\cdot 3 + 3^2 = (\sqrt{x+2} - 3)^2$. Следовательно, $\sqrt{11+x-6\sqrt{x+2}} = \sqrt{(\sqrt{x+2}-3)^2} = |\sqrt{x+2}-3|$.

Уравнение принимает вид: $|\sqrt{x+2}-2| + |\sqrt{x+2}-3| = 1$.

Сделаем замену $y = \sqrt{x+2}$, где $y \ge 0$. Получаем уравнение с модулями: $|y-2| + |y-3| = 1$.

Решим это уравнение, рассмотрев три случая, на которые числовая ось разбивается точками $y=2$ и $y=3$: 1. При $y < 2$: $(-(y-2)) + (-(y-3)) = 1 \implies 2-y + 3-y = 1 \implies 5 - 2y = 1 \implies 2y=4 \implies y=2$. Этот корень не входит в рассматриваемый интервал $y<2$. 2. При $2 \le y \le 3$: $(y-2) + (-(y-3)) = 1 \implies y-2 + 3-y = 1 \implies 1 = 1$. Это верное тождество, значит, решением является весь отрезок $2 \le y \le 3$. 3. При $y > 3$: $(y-2) + (y-3) = 1 \implies 2y - 5 = 1 \implies 2y=6 \implies y=3$. Этот корень является границей интервала и уже учтен в пункте 2.

Объединяя результаты, получаем, что решение для $y$ — это отрезок $[2, 3]$.

Выполним обратную замену: $2 \le \sqrt{x+2} \le 3$.

Так как все части двойного неравенства неотрицательны, возведем их в квадрат: $2^2 \le (\sqrt{x+2})^2 \le 3^2 \implies 4 \le x+2 \le 9$.

Вычтем 2 из всех частей неравенства: $4-2 \le x \le 9-2 \implies 2 \le x \le 7$.

Все значения из этого отрезка удовлетворяют ОДЗ ($x \ge -2$).

Ответ: $x \in [2, 7]$.

Решить неравенство (651–652).

651.

1) $\sqrt{x+1} < x-1;$

2) $\sqrt{1-x} > x+1;$

3) $\sqrt{3x-2} > x-2;$

4) $\sqrt{2x+1} \leq x+1.$

Решим неравенство $\sqrt{x+1} < x-1$.
Данное иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$ равносильно системе трех неравенств, так как обе части неравенства должны быть неотрицательны для возведения в квадрат, а также должен быть определен корень: $$ \begin{cases} x+1 \ge 0 & \text{(подкоренное выражение неотрицательно)} \\ x-1 > 0 & \text{(правая часть больше левой, которая неотрицательна)} \\ (\sqrt{x+1})^2 < (x-1)^2 & \text{(возводим в квадрат обе части)} \end{cases} $$ Решим каждое неравенство системы:
1) $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$.
2) $x-1 > 0 \implies x > 1$.
3) $x+1 < x^2 - 2x + 1 \implies 0 < x^2 - 3x \implies x(x-3) > 0$.
Решением квадратного неравенства $x(x-3) > 0$ являются интервалы $x \in (-\infty, 0) \cup (3, +\infty)$.
Теперь найдем пересечение решений всех трех неравенств. Условия $x \ge -1$ и $x > 1$ вместе дают $x > 1$.
Пересечем это с решением третьего неравенства: $x \in (1, +\infty) \cap ((-\infty, 0) \cup (3, +\infty))$.
Общим решением является интервал $(3, +\infty)$.

Ответ: $x \in (3, +\infty)$.

Решим неравенство $\sqrt{1-x} > x+1$.
Неравенство вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$ рассматривается в двух случаях, которые объединяются в совокупность.

Случай 1: Правая часть отрицательна. Неравенство будет верным для всех $x$, при которых левая часть определена. $$ \begin{cases} x+1 < 0 \\ 1-x \ge 0 \end{cases} $$ Решаем систему: $x < -1$ и $x \le 1$. Пересечением является $x < -1$.

Случай 2: Правая часть неотрицательна. В этом случае обе части неравенства неотрицательны, и мы можем возвести их в квадрат. $$ \begin{cases} x+1 \ge 0 \\ (\sqrt{1-x})^2 > (x+1)^2 \end{cases} $$ Решаем систему:
1) $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$.
2) $1-x > x^2+2x+1 \implies 0 > x^2+3x \implies x(x+3) < 0$.
Решением квадратного неравенства $x(x+3) < 0$ является интервал $(-3, 0)$.
Пересечение решений $x \ge -1$ и $x \in (-3, 0)$ дает интервал $x \in [-1, 0)$.

Общее решение неравенства — это объединение решений из обоих случаев:
$x \in (-\infty, -1) \cup [-1, 0)$.
Итоговый результат: $x \in (-\infty, 0)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0)$.

Решим неравенство $\sqrt{3x-2} > x-2$.
Это неравенство также вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$ и решается путем рассмотрения двух случаев.

Случай 1: Правая часть отрицательна ($x-2 < 0$). $$ \begin{cases} x-2 < 0 \\ 3x-2 \ge 0 & \text{(корень должен быть определен)} \end{cases} $$ Решаем систему: $x < 2$ и $3x \ge 2 \implies x \ge 2/3$. Пересечением является интервал $x \in [2/3, 2)$.

Случай 2: Правая часть неотрицательна ($x-2 \ge 0$). $$ \begin{cases} x-2 \ge 0 \\ (\sqrt{3x-2})^2 > (x-2)^2 \end{cases} $$ Решаем систему:
1) $x-2 \ge 0 \implies x \ge 2$.
2) $3x-2 > x^2 - 4x + 4 \implies 0 > x^2 - 7x + 6 \implies x^2 - 7x + 6 < 0$.
Корнями уравнения $x^2 - 7x + 6 = 0$ являются $x_1=1$ и $x_2=6$. Решением неравенства $(x-1)(x-6) < 0$ является интервал $(1, 6)$.
Пересечение решений $x \ge 2$ и $x \in (1, 6)$ дает интервал $x \in [2, 6)$.

Объединяем решения из обоих случаев:
$x \in [2/3, 2) \cup [2, 6)$.
Итоговый результат: $x \in [2/3, 6)$.

Ответ: $x \in [2/3, 6)$.

Решим неравенство $\sqrt{2x+1} \le x+1$.
Неравенство вида $\sqrt{f(x)} \le g(x)$ равносильно системе неравенств: $$ \begin{cases} 2x+1 \ge 0 & \text{(подкоренное выражение неотрицательно)} \\ x+1 \ge 0 & \text{(правая часть не может быть меньше неотрицательного корня)} \\ (\sqrt{2x+1})^2 \le (x+1)^2 & \text{(возводим в квадрат обе части)} \end{cases} $$ Решим каждое неравенство системы:
1) $2x+1 \ge 0 \implies 2x \ge -1 \implies x \ge -1/2$.
2) $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$.
3) $2x+1 \le x^2 + 2x + 1 \implies 0 \le x^2 \implies x^2 \ge 0$.
Неравенство $x^2 \ge 0$ верно для любого действительного числа $x$, то есть $x \in (-\infty, +\infty)$.
Теперь найдем пересечение решений всех трех неравенств: $x \ge -1/2$, $x \ge -1$ и $x \in (-\infty, +\infty)$.
Общим решением является $x \ge -1/2$.

Ответ: $x \in [-1/2, +\infty)$.