Номер 650, страница 215 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

650. 1) $\sqrt{x+4}-3\sqrt[4]{x+4}+2=0;$

2) $\sqrt{x-3}=3\sqrt[4]{x-3}+4;$

3) $\sqrt[6]{1-x}-5\sqrt[3]{1-x}=-6;$

4) $x^2+3x+\sqrt{x^2+3x}=2;$

5) $\sqrt{x+6-4\sqrt{x+2}}+\sqrt{11+x-6\sqrt{x+2}}=1.$

Дано уравнение: $\sqrt{x+4} - 3\sqrt[4]{x+4} + 2 = 0$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным: $x+4 \ge 0$, следовательно, $x \ge -4$.

Введем замену переменной. Пусть $y = \sqrt[4]{x+4}$. Тогда $y^2 = (\sqrt[4]{x+4})^2 = \sqrt{x+4}$. Так как корень четвертой степени является арифметическим, должно выполняться условие $y \ge 0$.

После подстановки замены в исходное уравнение, получаем квадратное уравнение относительно $y$: $y^2 - 3y + 2 = 0$.

Решим это уравнение. По теореме Виета, его корни $y_1=1$ и $y_2=2$. Оба корня удовлетворяют условию $y \ge 0$, поэтому оба являются действительными решениями для $y$.

Выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.

1. При $y=1$: $\sqrt[4]{x+4} = 1$. Возведем обе части уравнения в четвертую степень: $x+4 = 1^4 \implies x+4 = 1 \implies x_1 = -3$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($-3 \ge -4$).

2. При $y=2$: $\sqrt[4]{x+4} = 2$. Возведем обе части уравнения в четвертую степень: $x+4 = 2^4 \implies x+4 = 16 \implies x_2 = 12$. Этот корень также удовлетворяет ОДЗ ($12 \ge -4$).

Ответ: $x = -3, x = 12$.

Дано уравнение: $\sqrt{x-3} = 3\sqrt[4]{x-3} + 4$.

Перенесем все члены в левую часть: $\sqrt{x-3} - 3\sqrt[4]{x-3} - 4 = 0$.

ОДЗ: $x-3 \ge 0$, откуда $x \ge 3$.

Сделаем замену. Пусть $y = \sqrt[4]{x-3}$. Тогда $y^2 = \sqrt{x-3}$. Условие для $y$: $y \ge 0$.

Уравнение принимает вид: $y^2 - 3y - 4 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение, например, по теореме Виета: произведение корней равно -4, сумма равна 3. Корни: $y_1 = 4$ и $y_2 = -1$.

Согласно условию $y \ge 0$, корень $y_2 = -1$ является посторонним. Таким образом, единственное решение для $y$ - это $y_1 = 4$.

Выполним обратную замену: $\sqrt[4]{x-3} = 4$.

Возведем обе части в четвертую степень: $x-3 = 4^4 \implies x-3 = 256 \implies x = 259$.

Найденный корень $x=259$ удовлетворяет ОДЗ ($259 \ge 3$).

Ответ: $x = 259$.

Дано уравнение: $\sqrt[6]{1-x} - 5\sqrt[3]{1-x} = -6$.

Перенесем все члены в правую часть для удобства: $5\sqrt[3]{1-x} - \sqrt[6]{1-x} - 6 = 0$.

ОДЗ: $1-x \ge 0$, откуда $x \le 1$.

Введем замену. Пусть $y = \sqrt[6]{1-x}$. Тогда $y^2 = (\sqrt[6]{1-x})^2 = \sqrt[3]{1-x}$. Условие для $y$: $y \ge 0$.

Уравнение принимает вид: $5y^2 - y - 6 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4(5)(-6) = 1 + 120 = 121 = 11^2$. Корни: $y = \frac{1 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 5} = \frac{1 \pm 11}{10}$. $y_1 = \frac{1+11}{10} = \frac{12}{10} = 1.2$. $y_2 = \frac{1-11}{10} = -1$.

Так как $y \ge 0$, корень $y_2 = -1$ является посторонним. Остается $y_1 = 1.2$.

Выполним обратную замену: $\sqrt[6]{1-x} = 1.2 = \frac{6}{5}$.

Возведем обе части в шестую степень: $1-x = (\frac{6}{5})^6 = \frac{46656}{15625}$. $x = 1 - \frac{46656}{15625} = \frac{15625 - 46656}{15625} = -\frac{31031}{15625}$.

Полученное значение $x$ является отрицательным, следовательно, удовлетворяет ОДЗ ($x \le 1$).

Ответ: $x = -\frac{31031}{15625}$.

Дано уравнение: $x^2 + 3x + \sqrt{x^2+3x} = 2$.

ОДЗ: $x^2+3x \ge 0$, что равносильно $x(x+3) \ge 0$. Решением этого неравенства является объединение промежутков $x \in (-\infty, -3] \cup [0, +\infty)$.

Введем замену. Пусть $y = \sqrt{x^2+3x}$. Тогда $y^2 = x^2+3x$. Условие для $y$: $y \ge 0$.

Уравнение принимает вид: $y^2 + y = 2$, или $y^2 + y - 2 = 0$.

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $y_1=1$ и $y_2=-2$.

Так как $y \ge 0$, корень $y_2 = -2$ является посторонним. Остается $y_1 = 1$.

Выполним обратную замену: $\sqrt{x^2+3x} = 1$.

Возведем обе части в квадрат: $x^2+3x = 1$, или $x^2+3x-1=0$.

Решим это квадратное уравнение через дискриминант: $D = 3^2 - 4(1)(-1) = 9+4=13$. Корни: $x = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}$.

Проверим, удовлетворяют ли корни ОДЗ. 1. $x_1 = \frac{-3+\sqrt{13}}{2}$. Так как $3 < \sqrt{13} < 4$, то $0 < -3+\sqrt{13} < 1$, и $0 < x_1 < 0.5$. Этот корень входит в ОДЗ ($x \ge 0$). 2. $x_2 = \frac{-3-\sqrt{13}}{2}$. Так как $3 < \sqrt{13} < 4$, то $-7 < -3-\sqrt{13} < -6$, и $-3.5 < x_2 < -3$. Этот корень входит в ОДЗ ($x \le -3$).

Оба корня являются решениями.

Ответ: $x = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}$.

Дано уравнение: $\sqrt{x+6-4\sqrt{x+2}} + \sqrt{11+x-6\sqrt{x+2}} = 1$.

ОДЗ: $x+2 \ge 0$, то есть $x \ge -2$.

Упростим выражения под знаками внешних корней, выделив в них полные квадраты по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Для первого подкоренного выражения: $x+6-4\sqrt{x+2} = (x+2) - 4\sqrt{x+2} + 4 = (\sqrt{x+2})^2 - 2\cdot\sqrt{x+2}\cdot 2 + 2^2 = (\sqrt{x+2} - 2)^2$. Следовательно, $\sqrt{x+6-4\sqrt{x+2}} = \sqrt{(\sqrt{x+2}-2)^2} = |\sqrt{x+2}-2|$.

Для второго подкоренного выражения: $11+x-6\sqrt{x+2} = (x+2) - 6\sqrt{x+2} + 9 = (\sqrt{x+2})^2 - 2\cdot\sqrt{x+2}\cdot 3 + 3^2 = (\sqrt{x+2} - 3)^2$. Следовательно, $\sqrt{11+x-6\sqrt{x+2}} = \sqrt{(\sqrt{x+2}-3)^2} = |\sqrt{x+2}-3|$.

Уравнение принимает вид: $|\sqrt{x+2}-2| + |\sqrt{x+2}-3| = 1$.

Сделаем замену $y = \sqrt{x+2}$, где $y \ge 0$. Получаем уравнение с модулями: $|y-2| + |y-3| = 1$.

Решим это уравнение, рассмотрев три случая, на которые числовая ось разбивается точками $y=2$ и $y=3$: 1. При $y < 2$: $(-(y-2)) + (-(y-3)) = 1 \implies 2-y + 3-y = 1 \implies 5 - 2y = 1 \implies 2y=4 \implies y=2$. Этот корень не входит в рассматриваемый интервал $y<2$. 2. При $2 \le y \le 3$: $(y-2) + (-(y-3)) = 1 \implies y-2 + 3-y = 1 \implies 1 = 1$. Это верное тождество, значит, решением является весь отрезок $2 \le y \le 3$. 3. При $y > 3$: $(y-2) + (y-3) = 1 \implies 2y - 5 = 1 \implies 2y=6 \implies y=3$. Этот корень является границей интервала и уже учтен в пункте 2.

Объединяя результаты, получаем, что решение для $y$ — это отрезок $[2, 3]$.

Выполним обратную замену: $2 \le \sqrt{x+2} \le 3$.

Так как все части двойного неравенства неотрицательны, возведем их в квадрат: $2^2 \le (\sqrt{x+2})^2 \le 3^2 \implies 4 \le x+2 \le 9$.

Вычтем 2 из всех частей неравенства: $4-2 \le x \le 9-2 \implies 2 \le x \le 7$.

Все значения из этого отрезка удовлетворяют ОДЗ ($x \ge -2$).

Ответ: $x \in [2, 7]$.