Номер 652, страница 216 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

652. 1) $\frac{x^2 - 13x + 40}{\sqrt{19x - x^2 - 78}} \le 0;$

2) $\frac{\sqrt{2x^2 + 7x - 4}}{x+4} < \frac{1}{2};$

3) $\sqrt{3+x} > |x-3|;$

4) $\sqrt{3-x} < \sqrt{7+x} + \sqrt{10+x}.$

Решим неравенство $\frac{x^2-13x+40}{\sqrt{19x-x^2-78}} \le 0$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго больше нуля:

$19x-x^2-78 > 0$

Умножим на -1 и изменим знак неравенства:

$x^2-19x+78 < 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2-19x+78=0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни $x_1=6$ и $x_2=13$.

Неравенство $(x-6)(x-13) < 0$ выполняется на интервале $(6, 13)$. Это и есть ОДЗ.

Теперь решим исходное неравенство. Так как знаменатель $\sqrt{19x-x^2-78}$ в области ОДЗ всегда положителен, знак дроби зависит только от знака числителя. Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} x^2-13x+40 \le 0 \\ 19x-x^2-78 > 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2-13x+40 \le 0$.

Найдем корни уравнения $x^2-13x+40=0$. По теореме Виета корни $x_3=5$ и $x_4=8$.

Неравенство $(x-5)(x-8) \le 0$ выполняется на отрезке $[5, 8]$.

Найдем пересечение решения $[5, 8]$ с ОДЗ $(6, 13)$:

$[5, 8] \cap (6, 13) = (6, 8]$.

Ответ: $x \in (6, 8]$.

Решим неравенство $\sqrt{\frac{2x^2+7x-4}{x+4}} < \frac{1}{2}$.

Найдем ОДЗ. Потребуем, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

$\frac{2x^2+7x-4}{x+4} \ge 0$

Разложим числитель на множители. Корни уравнения $2x^2+7x-4=0$: $x_1=-4$, $x_2=\frac{1}{2}$.

Неравенство принимает вид $\frac{2(x+4)(x-1/2)}{x+4} \ge 0$.

Так как $x \ne -4$, сокращаем дробь: $2(x-\frac{1}{2}) \ge 0$, откуда $x \ge \frac{1}{2}$.

ОДЗ: $x \in [\frac{1}{2}, +\infty)$.

На ОДЗ обе части исходного неравенства неотрицательны, поэтому можно возвести их в квадрат:

$\frac{2x^2+7x-4}{x+4} < \frac{1}{4}$

$\frac{2x^2+7x-4}{x+4} - \frac{1}{4} < 0$

$\frac{4(2x^2+7x-4) - (x+4)}{4(x+4)} < 0$

$\frac{8x^2+28x-16 - x - 4}{4(x+4)} < 0$

$\frac{8x^2+27x-20}{4(x+4)} < 0$

Найдем корни числителя $8x^2+27x-20=0$. Корни $x_3=-4$, $x_4=\frac{5}{8}$.

Неравенство принимает вид $\frac{