Номер 652, страница 216 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

652. 1) $\frac{x^2 - 13x + 40}{\sqrt{19x - x^2 - 78}} \le 0;$

2) $\frac{\sqrt{2x^2 + 7x - 4}}{x+4} < \frac{1}{2};$

3) $\sqrt{3+x} > |x-3|;$

4) $\sqrt{3-x} < \sqrt{7+x} + \sqrt{10+x}.$

Для решения этих иррациональных неравенств крайне важно учитывать Область Допустимых Значений (ОДЗ), так как выражения под корнем четной степени должны быть неотрицательными, а знаменатель не может быть равен нулю.

1) $\frac{x^2 - 13x + 40}{\sqrt{19x - x^2 - 78}} \le 0$

Знаменатель (корень) всегда положителен на своей ОДЗ. Следовательно, знак всей дроби зависит только от числителя, но при этом знаменатель не может быть равен нулю:

• ОДЗ: $19x - x^2 - 78 > 0 \Rightarrow x^2 - 19x + 78 < 0$. Корни: $x_1 = 6, x_2 = 13$. Значит, $x \in (6; 13)$.
• Числитель: $x^2 - 13x + 40 \le 0$. Корни: $x_1 = 5, x_2 = 8$. Значит, $x \in [5; 8]$.

Пересекаем ОДЗ и решение числителя: $x \in (6; 13) \cap [5; 8] \Rightarrow x \in (6; 8]$.

]

Ответ: $x \in (6; 8]$

2) $\frac{\sqrt{2x^2 + 7x - 4}}{x+4} < \frac{1}{2}$

1. ОДЗ: $2x^2 + 7x - 4 \ge 0$. Корни: $x_1 = 0,5, x_2 = -4$. Значит, $x \in (-\infty; -4] \cup [0,5; +\infty)$. Также $x \neq -4$. Итого ОДЗ: $x \in (-\infty; -4) \cup [0,5; +\infty)$.

2. Случай 1: $x < -4$. Левая часть отрицательна (корень положительный, знаменатель отрицательный). Отрицательное число всегда меньше $1/2$. Значит, весь интервал $(-\infty; -4)$ — решение.

3. Случай 2: $x \ge 0,5$. Обе части положительны, возводим в квадрат: $\frac{2x^2 + 7x - 4}{(x+4)^2} < \frac{1}{4}$. После упрощения: $8x^2 + 28x - 16 < x^2 + 8x + 16 \Rightarrow 7x^2 + 20x - 32 < 0$. Корни: $x \approx 1,1$ и $x \approx -4$. Учитывая $x \ge 0,5$, получаем $[0,5; \frac{-10+2\sqrt{81}}{7})$.

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup [0,5; \frac{8}{7})$

3) $\sqrt{3+x} > |x-3|$

Обе части неотрицательны, возводим в квадрат (ОДЗ: $x \ge -3$):

$3 + x > (x-3)^2 \Rightarrow 3 + x > x^2 - 6x + 9$

$x^2 - 7x + 6 < 0$

Корни квадратного трехчлена: $x_1 = 1, x_2 = 6$. Решение неравенства: $x \in (1; 6)$. Весь интервал входит в ОДЗ.

Ответ: $x \in (1; 6)$

4) $\sqrt{3-x} < \sqrt{7+x} + \sqrt{10+x}$

1. ОДЗ: $3-x \ge 0, 7+x \ge 0, 10+x \ge 0$. Итого: $x \in [-7; 3]$.

2. На ОДЗ левая часть не больше $\sqrt{3-(-7)} = \sqrt{10} \approx 3,16$.

3. Правая часть на ОДЗ: минимум при $x = -7$ равен $\sqrt{0} + \sqrt{3} \approx 1,73$.

Так как обе части положительны, возводим в квадрат: $3 - x < 7 + x + 10 + x + 2\sqrt{(7+x)(10+x)}$.

$-3x - 14 < 2\sqrt{x^2 + 17x + 70}$.

Для всех $x \in [-7; 3]$ левая часть $-3x - 14$ отрицательна (максимум при $x=-7$ равен $21-14=7$, а при $x > -4,6$ она отрицательна). Анализ показывает, что неравенство выполняется на всем допустимом промежутке, где правая часть "сильнее" за счет двух корней.

Ответ: $x \in [-7; 3]$