Номер 645, страница 215 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

645. Выяснить, являются ли взаимно обратными функции:

1) $y=\frac{10-3x}{x-4}$ и $y=\frac{4x+10}{x+3}$;

2) $y=\frac{3x-6}{3x-1}$ и $y=\frac{6-x}{3-3x}$;

3) $y=5(1-x)^{-1}$ и $y=(5-x)\cdot x^{-1}$;

4) $y=\frac{2-x}{2+x}$ и $y=\frac{2(x-1)}{1+x}$.

Чтобы выяснить, являются ли две функции $f(x)$ и $g(x)$ взаимно обратными, нужно найти функцию, обратную к одной из них, и сравнить ее со второй. Если они совпадают, то функции взаимно обратные. Найдем обратную функцию для $y = f(x)$, для этого поменяем местами переменные $x$ и $y$ и выразим $y$ через $x$.

1) Даны функции $y = \frac{10-3x}{x-4}$ и $y = \frac{4x+10}{x+3}$.

Найдем функцию, обратную для $y = \frac{10-3x}{x-4}$.

1. Меняем $x$ и $y$ местами: $x = \frac{10-3y}{y-4}$.

2. Выразим $y$ из этого уравнения:

$x(y-4) = 10-3y$

$xy - 4x = 10-3y$

$xy + 3y = 4x+10$

$y(x+3) = 4x+10$

$y = \frac{4x+10}{x+3}$

Полученная обратная функция $y = \frac{4x+10}{x+3}$ совпадает со второй данной функцией. Следовательно, функции являются взаимно обратными.

Ответ: являются.

2) Даны функции $y = \frac{3x-6}{3x-1}$ и $y = \frac{6-x}{3-3x}$.

Найдем функцию, обратную для $y = \frac{3x-6}{3x-1}$.

1. Меняем $x$ и $y$ местами: $x = \frac{3y-6}{3y-1}$.

2. Выразим $y$ из этого уравнения:

$x(3y-1) = 3y-6$

$3xy - x = 3y-6$

$3xy - 3y = x-6$

$y(3x-3) = x-6$

$y = \frac{x-6}{3x-3}$

Сравним полученную функцию со второй данной функцией $y = \frac{6-x}{3-3x}$.

Преобразуем вторую функцию, умножив числитель и знаменатель на -1:

$y = \frac{6-x}{3-3x} = \frac{-(x-6)}{-(3x-3)} = \frac{x-6}{3x-3}$

Функции совпадают. Следовательно, данные функции являются взаимно обратными.

Ответ: являются.

3) Даны функции $y = 5(1-x)^{-1}$ и $y = (5-x) \cdot x^{-1}$.

Перепишем функции в более привычном виде:

$y = \frac{5}{1-x}$ и $y = \frac{5-x}{x}$.

Найдем функцию, обратную для $y = \frac{5}{1-x}$.

1. Меняем $x$ и $y$ местами: $x = \frac{5}{1-y}$.

2. Выразим $y$ из этого уравнения:

$x(1-y) = 5$

$x - xy = 5$

$xy = x-5$

$y = \frac{x-5}{x}$

Сравним полученную обратную функцию $y = \frac{x-5}{x}$ со второй данной функцией $y = \frac{5-x}{x}$.

$\frac{x-5}{x} \neq \frac{5-x}{x}$, так как $\frac{x-5}{x} = -\frac{5-x}{x}$.

Функции не совпадают. Следовательно, данные функции не являются взаимно обратными.

Ответ: не являются.

4) Даны функции $y = \frac{2-x}{2+x}$ и $y = \frac{2(x-1)}{1+x}$.

Найдем функцию, обратную для $y = \frac{2-x}{2+x}$.

1. Меняем $x$ и $y$ местами: $x = \frac{2-y}{2+y}$.

2. Выразим $y$ из этого уравнения:

$x(2+y) = 2-y$

$2x + xy = 2-y$

$xy + y = 2-2x$

$y(x+1) = 2(1-x)$

$y = \frac{2(1-x)}{1+x}$

Сравним полученную обратную функцию $y = \frac{2(1-x)}{1+x}$ со второй данной функцией $y = \frac{2(x-1)}{1+x}$.

$\frac{2(1-x)}{1+x} = \frac{-2(x-1)}{1+x}$.

Так как $\frac{-2(x-1)}{1+x} \neq \frac{2(x-1)}{1+x}$ (кроме случая $x=1$), функции не совпадают. Следовательно, данные функции не являются взаимно обратными.

Ответ: не являются.